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Obtén rápidamente el ángulo y la magnitud de un vector
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Es fácil encontrar la dirección de un vector en un plano bidimensional. Tan solo se necesita un poco de trigonometría. Los componentes x e y de un vector forman un triángulo rectángulo. Puedes usar la función de la tangente para encontrar el ángulo entre el eje x y el vector. Este artículo de wikiHow te enseñará a encontrar la dirección de un vector y te guiará a través de cuatro ejemplos. Asimismo, repasará cómo encontrar la magnitud de un vector.
Cosas que debes saber
- Para este método, la cola del vector se encontrará en el origen de un plano de coordenadas xy , y la punta se encontrará en una coordenada (X, Y).
- Utiliza tan(𝛉) = Y/X para encontrar la dirección del ángulo 𝛉 del vector. Aplica "arctan" a ambos lados para obtener 𝛉.
- Si el vector se encuentra en el segundo, tercer, o cuarto cuadrante, deberás aplicar un ajuste. Súmale 180 grados a tu respuesta para los cuadrantes II y III. Suma 360 grados para el cuadrante IV.
- Utiliza ||a|| = sqrt(X^2 + Y^2) para calcular la magnitud del vector a .
Pasos
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Deberás saber unos cuantos términos sobre el plano de coordenadas. Un plano de coordenadas bidimensional cartesiano especifica puntos en un plano asignándoles distancias del origen.
- Un plano bidimensional es una superficie plana que tiene dos direcciones, x e y . Se extiende de manera infinita en la dirección x e y .
- El eje x es una línea horizontal que mide la distancia en el espacio en la dirección x . Los valores positivos apuntan hacia la derecha desde el origen (eje x positivo), y los valores negativos apuntan hacia la izquierda (eje x negativo).
- El eje y es una línea vertical que mide la distancia en el espacio en la dirección y . Es perpendicular al eje x . Los valores positivos apuntan hacia arriba desde el origen (eje y positivo), y los valores negativos apuntan hacia abajo (eje y negativo).
- El origen es en donde se intersecan los ejes x e y . Sus coordenadas son (0, 0).
- Las coordenadas son la ubicación de un punto. Se escriben ( x , y ), en donde x es la distancia que debes desplazarte en dirección horizontal e y es la distancia que debes desplazarte en dirección vertical para llegar al punto desde el origen.
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Asimismo, debes saber sobre los cuatro cuadrantes. Los cuadrantes son cuatro espacios en el plano de coordenadas definidos por los ejes x e y .
- El espacio encima del eje x y a la derecha del eje y es el primer cuadrante . Todo lo que se encuentra en este cuadrante es un valor positivo. Es el espacio superior derecho en el plano.
- Luego, los cuadrantes se ordenan en sentido antihorario empezando por el primer cuadrante.
- Entonces, el segundo cuadrante se encuentra encima del eje x y a la izquierda del eje y .
- El tercer cuadrante se encuentra debajo del eje x y a la izquierda del eje y .
- El cuarto cuadrante se encuentra debajo del eje x y a la derecha del eje y .
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Los vectores se definen por dos parámetros: la magnitud y la dirección. La magnitud se representa por la longitud del vector. La dirección es hacia dónde apunta el vector en un determinado plano de coordenadas. [2] X Fuente de investigación
- A los vectores se les suele ilustrar como una flecha en un plano de coordenadas. La cola del vector se encuentra en el origen del plano.
- Por ejemplo, un vector bidimensional podría tener una longitud de 3 y apuntar a 45 grados en sentido antihorario del eje x positivo.
- Nota: esta guía de wikiHow hablará sobre vectores en un espacio bidimensional, pero estos principios aplican también para espacios tridimensionales.
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Los componentes de los vectores se representan de dos formas comunes. Puedes usar notación de coordenadas o de vectores unitarios.
- La notación de coordenadas te indica en dónde se encuentra la punta de la flecha del vector. Suele escribirse como dos números apilados verticalmente dentro de corchetes. La coordenada x se encuentra en la parte superior, en tanto que la coordenada y se encuentra en la parte inferior.
- Si no los sabes, puedes descomponer un vector en sus componentes .
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La notación de vectores unitarios representa al vector como una ecuación. A esto también se le llama a veces notación de ingeniería. La ecuación es la siguiente:
- u = Xî + Yĵ
- Aquí, u es el vector (puede ser cualquier letra, y suele tener una flecha que apunta hacia la derecha sobre ella), X es la coordenada x , e Y es la coordenada y .
- Por ejemplo, u = 3î + 4ĵ sería un vector con la punta apuntando hacia la coordenada (3, 4).
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Ubica el ángulo 𝛉 que intentas encontrar. La dirección de un vector puede definirse como el ángulo entre el eje x positivo y el vector. [3] X Fuente de investigación
- Encuentra el ángulo empezando por el eje x positivo (0 grados) y luego desplazándote en sentido antihorario hasta llegar al vector.
- El vector puede apuntar en cualquier dirección en el plano, de 0 a 360 grados.
- A este ángulo se le llamará 𝛉 (el símbolo griego theta ).
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Identifica el triángulo creado por el vector. El vector se define por sus componentes X e Y. Puedes formar un triángulo rectángulo usando estos dos números.
- Un lado del triángulo estará alineado con el eje x . La longitud X de este lado es el componente X del vector. A este se le referirá como el lado adyacente.
- El segundo lado es perpendicular al eje x . La longitud Y de este lado es el componente Y del vector. A este se le referirá como el lado opuesto.
- El tercer lado del triángulo es la hipotenusa y también el vector en sí.
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Utiliza la definición de la función trigonométrica de la tangente. La tangente (tan) se define de la siguiente forma: [4] X Fuente de investigación
- tan(𝛉) = opuesto/adyacente
- Aquí:
- "opuesto" es la longitud del lado más lejano al ángulo 𝛉
- y "adyacente" es la longitud del lado más cercano al ángulo 𝛉 (que no es la hipotenusa)
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Introduce los componentes del vector en la ecuación de la tangente. La ecuación de la tangente usará el triángulo que crean los componentes x e y del vector. El formato de la ecuación será como sigue:
- tan(𝛉) = Y/X
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Encuentra 𝛉. Para encontrar 𝛉, deberás aplicar la inversa de la tangente (que se escribe como tan^-1 o arctan) a ambos lados de la ecuación. Esta guía usará "arctan", aunque es común ver tan^-1 en las calculadoras. Esto dará como resultado lo siguiente:
- 𝛉 = arctan(Y/X)
- Para resolverlo usando la calculadora, divide primero Y entre X y luego presiona el botón "arctan". Quizás debas presionar la tecla "Mayús" o "2nd" en la calculadora para acceder a la función "arctan".
- Nota: asegúrate de que la calculadora se encuentre en modo de grados (por lo general etiquetado como "Deg"). Si te encuentras en modo de radianes ("Rad"), la respuesta estará en radianes en lugar de grados.
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Aplica un ajuste al ángulo para obtener la medida correcta. Las calculadoras únicamente muestran ángulos en el primer y cuarto cuadrante (menos 90 grados a más 90 grados). Esto se debe a que la calculadora no evalúa en dónde se encuentran los negativos al obtener 𝛉. Para obtener el valor de 𝛉 correcto para cada cuadrante, deberás identificar en qué cuadrante se encuentra el vector y luego aplicar un ajuste:
- El primer cuadrante no necesita un ajuste.
- En el caso de los vectores en el segundo cuadrante , la función "arctan" dará como resultado un ángulo negativo que apunte hacia abajo y hacia la derecha (en el cuarto cuadrante). Este ángulo apunta en dirección opuesta al vector, por lo que deberás sumarle 180 grados al ángulo para obtener 𝛉.
- En el caso de los vectores en el tercer cuadrante , la función "arctan" dará como resultado un ángulo positivo apuntando hacia arriba y hacia la derecha (en el primer cuadrante). Este ángulo apunta en dirección opuesta al vector, por lo que deberás sumarle 180 grados al ángulo para obtener 𝛉. [5] X Fuente de investigación
- En el caso de los vectores en el cuarto cuadrante , la función "arctan" dará como resultado un ángulo negativo apuntando hacia abajo y hacia la derecha (en el cuarto cuadrante). Este ángulo apunta en la dirección correcta, pero el ángulo es negativo (medido en sentido horario desde el eje x positivo) en lugar de positivo (medido en sentido antihorario desde el eje x positivo). Deberás sumarle 360 grados al ángulo para obtener 𝛉.
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Consejos
- Dale un vistazo a Cómo sumar o restar vectores y Cómo normalizar un vector para encontrar más guías sobre vectores.
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Referencias
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:vectors/x9e81a4f98389efdf:vec-mag/v/finding-vector-magnitude-from-components?modal=1
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=A3OuFLHum6w
- ↑ https://mathworld.wolfram.com/SOHCAHTOA.html#:~:text=%22SOHCAHTOA%22%20is%20a%20helpful%20mnemonic,(1)
- ↑ https://www.youtube.com/watch?v=EX0Ha42WQ24
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