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La pendiente de una línea indica lo rápido que cambia esa línea. Esto se aplica en líneas rectas, en donde la pendiente muestra exactamente qué tan lejos llega antes de subir o bajar. Sin embargo, las líneas curvas también tienen pendiente. En cálculo, la pendiente también se conoce como "derivada" de una función. De cualquier forma, debes pensar en la pendiente simplemente como la "razón de cambio" de una función: si aumenta el valor de "x", ¿en cuánto cambia el valor de "y"? Eso es la pendiente.
Pasos
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Utiliza la pendiente para determinar qué tan inclinada está una línea y en qué dirección. Encontrar la pendiente en ecuaciones lineales es muy fácil, siempre y cuando tengas la ecuación de la recta. Este método solo funciona en los siguientes casos:
- Si no hay exponentes.
- Si solo hay dos variables, y ninguna de ellas es una fracción (por ejemplo, no podrías tener ).
- Si la ecuación puede simplificarse en la forma , donde m y b son constantes (es decir, números, por ejemplo 3, 10, -12, ). [1] X Fuente de investigación
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Encuentra el número que va antes de la x, que generalmente se escribe como "m", para determinar la pendiente. Si tu ecuación ya está expresada de la forma correcta, simplemente toma el número que está en la posición de "m". ¡Esa es la pendiente! Ten en cuenta que ese número siempre va multiplicado por una variable, en este caso "x". Si te resulta confuso, observa los siguientes ejemplos:
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- Pendiente = 2
-
- Pendiente = -1
-
- Pendiente = [2] X Fuente de investigación
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Reordena la ecuación dejando una variable aislada, si la pendiente no es muy evidente en la ecuación. Puedes sumar, restar, multiplicar y realizar otras operaciones para aislar una variable, que generalmente es la "y". Solo recuerda que, todo lo que hagas de un lado de la ecuación (por ejemplo, sumar 5), debes hacerlo también del otro lado. El objetivo final es obtener una ecuación similar a . Por ejemplo:
- Encuentra la pendiente de
- Exprésala de la forma
:
- Encuentra la pendiente:
- Pendiente = M = 4 [3] X Fuente de investigación
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Utiliza un gráfico y dos puntos para encontrar la pendiente, si no tienes la ecuación a mano. Si tienes un gráfico y una línea, pero no una ecuación, igualmente puedes encontrar la pendiente con facilidad. Lo único que necesitas son dos puntos de la línea para reemplazarlos en la ecuación . Cuando vayas a calcular la pendiente, ten presente la siguiente información para asegurarte de que estés haciendo bien las cosas:
- Las pendientes positivas van aumentando a medida que te desplazas hacia la derecha.
- Las pendientes negativas van decreciendo a medida que te desplazas hacia la derecha.
- Las pendientes grandes son líneas muy inclinadas. Las pendientes pequeñas siempre son más graduales.
- Las líneas completamente horizontales tienen pendiente cero.
- Las líneas completamente verticales directamente no tienen pendiente. Más bien, su pendiente es "indefinida". [4] X Fuente de investigación
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Encuentra dos puntos colocándolos en la forma (x,y). Utiliza el gráfico (o prueba la ecuación) para hallar las coordenadas x e y de dos puntos del gráfico. Pueden ser dos puntos cualesquiera por donde pase la línea. Por ejemplo, supón que la línea de este ejemplo atraviesa los puntos (2,4) y (6,6). [5] X Fuente de investigación
- En cada par ordenado, la coordenada x es el primer número y la coordenada y va después de la coma.
- Cada coordenada x de la línea tiene asociada una coordenada y.
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Etiqueta tus puntos como x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , manteniendo cada punto con su par. Siguiendo con el primer ejemplo, con los puntos (2,4) y (6,6), etiqueta las coordenadas x e y de cada punto. Deberá quedarte así:
- x 1 : 2
- y 1 : 4
- x 2 : 6
- y 2 : 6 [6] X Fuente de investigación
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Reemplaza los puntos en la "ecuación punto-pendiente" para obtener la pendiente. La siguiente fórmula se utiliza para calcular la pendiente de una línea recta usando dos puntos: . Ahora simplemente reemplaza las variables con tus cuatro coordenadas y simplifica la ecuación:
- Puntos originales: (2,4) y (6,6).
- Reemplaza en la ecuación punto-pendiente:
- Simplifica para obtener la respuesta final:
- = Pendiente [7] X Fuente de investigación
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Comprende cómo funciona la ecuación punto-pendiente. La pendiente de una línea es "lo que sube sobre lo que avanza", es decir cuánto sube la línea dividido por cuánto "avanza" la línea hacia la derecha. Lo que "sube" la línea es la diferencia entre los valores de y (recuerda que el eje y se extiende hacia arriba y hacia abajo) y lo que "avanza" la línea es la diferencia entre los valores de x (el eje x se extiende hacia la izquierda y hacia la derecha).
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Aprende otros métodos con los cuales pueden pedirte que encuentres la pendiente. La ecuación de la pendiente es . Esto también puede aparecer con la letra griega "Δ", llamada "delta", que quiere decir "diferencia de". La pendiente puede expresarse como Δy/Δx, lo cual significa "diferencia de y / diferencia de x". Esto es exactamente lo mismo que cuando te piden que encuentres la pendiente entre dos puntos. [8] X Fuente de investigaciónAnuncio
Método 3
Método 3 de 3:
Utilizar operaciones de cálculo diferencial para encontrar la pendiente de una curva
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Repasa el cálculo de distintas derivadas a partir de funciones comunes. Las derivadas indican la razón de cambio (o pendiente) de un punto específico en una línea. La línea puede ser curva o recta, no importa. Imagina que la derivada es el cambio de una línea en un momento específico, en lugar de imaginarla como la pendiente de toda la línea. La forma en la que puedes calcular los cambios en la derivada depende de la función que tengas, así que antes de continuar, te recomendamos repasar cómo se calculan las derivadas más comunes.
- Puedes repasar cómo calcular derivadas aquí.
- Existen algunos atajos para encontrar las derivadas más simples, que son las de las ecuaciones exponenciales básicas. Para continuar con el resto de la explicación, se utilizarán esos atajos (puedes aprenderlos aquí ; este artículo está en inglés pero muestra las operaciones algebraicas paso a paso).
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Comprende las distintas formas en las cuales te pueden pedir que encuentres la pendiente de una función a través de su derivada. No siempre te pedirán explícitamente que encuentres la derivada o la pendiente de una curva. También pueden preguntarte por la "razón de cambio en el punto (x,y)" o la ecuación de la pendiente del gráfico, que simplemente quiere decir que tienes que hallar su derivada. Finalmente, podrían preguntarte cuál es "la pendiente de la línea tangente en el punto (x,y)". Una vez más, cuando te pregunten eso, quieren saber cuál es la pendiente de la curva en un punto específico, (x,y).
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Calcula la derivada de la función. En realidad ni siquiera necesitarás el gráfico de la función, solo necesitarás la función en sí o la ecuación del gráfico. En este caso, utiliza la función de ejemplo mencionada anteriormente . Siguiendo los pasos que se explican The_Shortcut_sub aquí , calcula la derivada de esta simple función.
- Derivada:
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Reemplaza el punto en la ecuación de la derivada para obtener la pendiente. El diferencial de una función te indicará cuál es la pendiente de la función en un punto dado. En otras palabras, f’(x) es la pendiente de la función en cualquier punto (x,f(x)). Por lo tanto, para resolver el problema de ejemplo:
- ¿Cuál es la pendiente de la línea en el punto (4,2)?
- Derivada de la ecuación:
- Reemplaza el punto en x:
- Encuentra la pendiente:
- La pendiente de en (4,2) es 22.
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Siempre que sea posible, verifica el resultado en el gráfico. Recuerda que en cálculo, no todos los puntos tienen pendiente. En cálculo existen ecuaciones complicadas y gráficos complejos en los cuales no todos los puntos tienen pendiente, o siquiera existen en todos los gráficos. Cada vez que sea posible, utiliza una calculadora gráfica para revisar la pendiente de tu gráfico. Si no puedes, dibuja la línea tangente usando el punto y la pendiente (recuerda: "lo que sube sobre lo que avanza") y comprueba si al menos parece tener sentido.
- Las líneas tangentes son simplemente líneas que tienen exactamente la misma pendiente que un punto en la curva. Para dibujar una tangente, desplázate por la pendiente hacia arriba (si es positiva) o hacia abajo (si es negativa). En el caso de ejemplo, serían 22 puntos hacia arriba. Luego desplázate un lugar (en este caso, hacia la derecha) y dibuja un punto. Conecta ambos puntos, (4,2) y (26,3), y obtendrás la tangente.
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Referencias
- ↑ http://www.numbertheory.org/book/cha1.pdf
- ↑ https://www.ixl.com/math/grade-8/find-the-slope-of-a-graph
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://www.virtualnerd.com/algebra-1/linear-equation-analysis/slope-rate-of-change/slope-examples/slope-from-graph
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/slope/
- ↑ http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/slope/
- ↑ https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/implicitdiffdirectory/ImplicitDiff.html
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