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Los cuadrados mágicos han crecido en popularidad con la llegada de los juegos matemáticos como el Sudoku. Un cuadrado mágico es un conjunto de números dispuestos en un cuadrado de forma tal que la suma de cada fila, columna y diagonal es el mismo número, también llamado “constante mágica". Este artículo te enseñará a resolver cualquier tipo de cuadrado mágico, ya sea impar, par o de doble paridad.
Pasos
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Calcula la constante mágica. [1] X Fuente de investigación Puedes encontrarla utilizando una fórmula matemática sencilla, donde n = el número de filas o columnas en el cuadrado mágico. Por ejemplo, en un cuadrado mágico de 3 x 3, n = 3. La constante mágica = [n * (n2 + 1)] / 2. En nuestro ejemplo con el cuadrado mágico de 3 x 3:
- sum = [3 * (32 + 1)] / 2
- sum = [3 * (9 + 1)] / 2
- sum = (3 * 10) / 2
- sum = 30 / 2
- La constante mágica para el cuadrado de 3 x 3 es 30/2 o 15.
- Al sumar las filas, columnas o diagonales debemos obtener este número.
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Ubica el número 1 en la casilla central en la fila superior. Siempre debes empezar en este lugar si el cuadrado mágico tiene lados impares, independientemente de lo grande o pequeño que sea. Retomando nuestro ejemplo, en el cuadrado de 3 x 3, ubicamos el número 1 en la casilla 2; en un cuadrado de 15 x 15, ubicamos el número 1 en la casilla 8, etc.
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Llena las casillas restantes moviéndote una casilla hacia arriba y luego una casilla hacia la derecha. Siempre utilizarás los números de forma secuencial (1, 2, 3, 4, etc) moviéndote una fila hacia arriba y luego una columna a la derecha. Te darás cuenta de inmediato que para poder ubicar el número 2, tendrás que moverte más allá de la fila superior, por fuera del cuadrado mágico. No pasa nada, aunque siempre vas a trabajar con la anterior secuencia, existen tres excepciones que también tienen reglas que siguen un patrón predecible:
- Si un movimiento te lleva a una "casilla" por encima de la fila superior del cuadrado mágico, permanece en esa columna, pero ubica el número en la fila inferior de dicha columna.
- Si el movimiento te lleva a una "casilla" fuera del límite derecho del cuadrado mágico, permanece en la fila de dicha casilla, pero ubica el número en la columna más alejada hacia la izquierda de esa fila.
- Si el movimiento te lleva a una casilla que ya está ocupada, regresa a la última casilla que llenaste y ubica el número debajo.
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Comprende el concepto de cuadrado mágico par. Todos saben que un número par es divisible por 2, pero en los cuadrados mágicos, existen diferentes metodologías para resolver cuadrados mágicos pares o de doble paridad.
- Un cuadrado mágico con casillas pares tiene un número de casillas en cualquier lado que es divisible por 2, pero no por 4. [2] X Fuente de investigación
- El cuadrado mágico par más pequeño posible es 6 x 6, ya que los cuadrados mágicos de 2 x 2 no se pueden resolver.
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Calcula la constante mágica. Utiliza el mismo método para resolver cuadrados impares: la constante mágica es igual a [n * (n2 + 1)] / 2, donde n = el número de casillas por lado. En el ejemplo con el cuadrado de 6 x 6:
- sum = [6 * (62 + 1)] / 2
- sum = [6 * (36 + 1)] / 2
- sum = (6 * 37) / 2
- sum = 222 / 2
- La constante mágica para el cuadrado de 6 x 6 es 222/2 o 111.
- Al sumar las filas, columnas o diagonales debemos obtener este número.
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Divide el cuadrado mágico en cuatro cuadrantes del mismo tamaño. Nómbralos A (cuadrante superior izquierdo), C (cuadrante superior derecho), D (cuadrante inferior izquierdo) y B (cuadrante inferior derecho). Para definir el tamaño de cada cuadrado, simplemente divide por la mitad el número total de casillas de cada fila o columna.
- En nuestro cuadrado de 6 x 6, cada cuadrante debe tener 3 x 3 casillas.
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Asigna a cada cuadrante un rango de números. Al cuadrante A se le asigna el primer cuarto de los números; al cuadrante B el segundo cuarto; al cuadrante C el tercer cuarto y al cuadrante D el cuarto final del rango total de números para un cuadrado mágico de 6 x 6.
- En nuestro ejemplo con el cuadrado de 6 x 6, resolveríamos el cuadrante A con los números del 1 al 9; el cuadrante b con los números del 10 al 18; el cuadrante C con los números del 19 al 27 y el cuadrante D con los números del 28 al 36.
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Resuelve cada cuadrante utilizando la metodología para resolver cuadrados mágicos impares. El cuadrante A será fácil de llenar, ya que empieza con el número uno. Sin embargo, en nuestro ejemplo, los cuadrantes B, C y D, empiezan con números extraños, 10, 19 y 28, respectivamente.
- Trata el primer número de cada cuadrante como si fuera el número uno. Ubícalo en la casilla central en la fila superior de cada cuadrante.
- Trata cada cuadrante como si fuera un cuadrado mágico individual. Incluso si hay una casilla disponible en un cuadrante adyacente, ignórala y aplica la regla de "excepción" que se explicó anteriormente.
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Resalta las áreas A y D. [3] X Fuente de investigación Si intentas sumar en este momento las columnas, filas y diagonales, notarás que no obtienes como resultado la constante mágica. Tendrás que intercambiar algunas casillas entre el cuadrante superior izquierdo y el cuadrante inferior izquierdo para terminar el cuadrado mágico. Llamaremos a estas zonas intercambiadas área resaltada A y área resaltada D.
- Utilizando un lápiz, marca todas las casillas en la fila superior hasta llegar a la casilla central del cuadrante A. En un cuadrado de 6 x 6, solo marcarías la casilla 1 (la cual tiene el número 8), pero en un cuadrado de 10 x 10, marcarías las casillas 1 y 2 (las que tendrías los números 17 y 24, respectivamente).
- Haz un cuadrado utilizando las casillas que acabas de marcar en la fila superior. Si solo marcaste una casilla, el cuadrado será solo dicha casilla. Llamaremos a esta zona, área resaltada A-1.
- En un cuadrado mágico de 10 x 10, el área resaltada A-1 consiste de las casillas 1 y 2 en las filas 1 y 2, creando un cuadrado de 2 x 2 en la parte superior izquierda del cuadrante.
- En la fila directamente debajo del área resalta A-1, salta el número en la primera columna, luego marca a lo ancho la misma cantidad de casillas que marcaste en el área resaltada A-1. Llamaremos a esta fila media área resaltada A-2.
- El área resaltada A-3 es un cuadrado idéntico a A-1, pero ubicado en la esquina inferior izquierda del cuadrante.
- Las áreas resaltadas A-1, A-2 y A-3 forman el área resaltada A.
- Repite este proceso en el cuadrante D, creando un área resaltada idéntica que vamos a llamar área resaltada D.
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Intercambia las áreas resaltadas A y D. Debes realizar un intercambio uno a uno; simplemente levanta y reemplaza las casillas entre el cuadrante A y el cuadrante D, sin modificar su orden. Cuando lo hayas hecho, si sumas todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado mágico obtendrás la constante mágica que calculaste al principio.
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Realiza un intercambio adicional para los cuadrados mágicos pares más grandes que 6 x 6. Además del intercambio para los cuadrantes A y D mencionado anteriormente, también necesitarás intercambiar los cuadrantes C y B. Resalta las columnas del lado derecho del cuadrado hacia la izquierda una menos que la cantidad de columnas resaltadas para el área A-1. Utiliza el mismo método uno a uno para intercambiar los valores en el cuadrante C con los del cuadrante B para esas columnas.
- Aquí hay dos imágenes de un cuadrado mágico de 14 x 14 antes y después de hacer ambos intercambios. El área de intercambio del cuadrante A está resaltada de azul; el área de intercambio del cuadrante D está resaltada de verde; el área de intercambio del cuadrante C está resaltada de amarillo; y el área de intercambio del cuadrante B está resaltada de naranja.
- Cuadrado mágico de 14 x 14 antes de hacer intercambios (pasos 6, 7, & 8)
- Cuadrado mágico de 14 x 14 después de hacer intercambios (pasos 6, 7, & 8)
Anuncio - Aquí hay dos imágenes de un cuadrado mágico de 14 x 14 antes y después de hacer ambos intercambios. El área de intercambio del cuadrante A está resaltada de azul; el área de intercambio del cuadrante D está resaltada de verde; el área de intercambio del cuadrante C está resaltada de amarillo; y el área de intercambio del cuadrante B está resaltada de naranja.
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Comprende el concepto de cuadrado mágico de doble paridad. Un cuadrado mágico par tiene un número de casillas por lado que es divisible por 2. Un cuadrado mágico de doble paridad tiene un número de casillas por lado que es divisible por el doble, es decir, 4. [4] X Fuente de investigación
- El menor cuadrado posible de doble paridad es de 4 x 4.
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Calcula la constante mágica. Utiliza el mismo método para resolver cuadrados impares o pares: halla la constante mágica con la fórmula = [n * (n2 + 1)] / 2, donde n = número de casillas por lado. En el ejemplo del cuadrado 4 x 4:
- sum = [4 * (42 + 1)] / 2
- sum = [4 * (16 + 1)] / 2
- sum = (4 * 17) / 2
- sum = 68 / 2
- La constante mágica de un cuadrado de 4 x 4 es 68/2 o 34.
- Al sumar las filas, columnas o diagonales debemos obtener este número.
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Crea las áreas resaltadas A, B, C y D. En todas las esquinas del cuadrado mágico, marca un cuadrado pequeño con lados cuya longitud sea n/4, donde n = la longitud de un lado del cuadrado mágico. [5] X Fuente de investigación Nombra dichas zonas de derecha a izquierda como áreas resaltadas A, B, C y D.
- En nuestro cuadrado de 4 x 4, simplemente marca las cuatro casillas de las esquinas.
- En un cuadrado de 8 x 8, cada zona resaltada sería un área de 2 x 2 en cada esquina.
- En un cuadrado de 12 x 12, cada zona resaltada sería un área de 3 x 3 en las esquinas y así sucesivamente.
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Crea un área resaltada central. Marca todas las casillas en el centro del cuadrado mágico en un área cuadrada con una longitud de n/2, donde n = la longitud de uno de los lados del cuadrado mágico entero. El área resaltada central no debe sobreponerse con las otras áreas resaltadas, sino que debe tocarlas en las esquinas.
- En un cuadrado de 4 x 4, el área resaltada central sería una zona de 2 x 2 en el centro del cuadrado.
- En un cuadrado de 8 x 8, el área resaltada central sería una zona de 4 x 4 en el centro del cuadrado y así sucesivamente.
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Llena solo las zonas resaltadas del cuadrado mágico. Llena el cuadrado con números empezando de izquierda a derecha, pero escribe solo en las casillas contenidas en las áreas resaltadas. En un cuadrado 4 x 4, tienes que llenar las siguientes casillas:
- 1 en la casilla superior izquierda y 4 en la casilla superior derecha.
- 6 y 7 en las casillas centrales de la fila 2.
- 10 y 11 en las casillas centrales de la fila 3.
- 13 en la casilla inferior izquierda y 16 en la casilla inferior derecha.
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Llena el resto del cuadrado mágico contando hacia atrás. Es básicamente lo inverso al paso anterior. Empieza de nuevo en la casilla superior izquierda, solo que esta vez, salta todas las casillas que caigan en un área resaltada y llena las casillas no resaltadas contando hacia atrás. Empieza con el mayor número del rango de números que tienes. Para llenar un cuadrado mágico de 4 x 4 debes hacerlo de la siguiente manera:
- 15 y 14 en las casillas centrales de la fila 1.
- 12 en la última casilla a la izquierda y 9 en la última casilla a la derecha en la fila 2.
- 8 en la última casilla a la izquierda y 5 en la última casilla a la derecha en la fila 3.
- 3 y 2 en las casillas centrales de la fila 4.
- En este punto, la suma de todas las columnas, filas y diagonales debería ser igual a la constante mágica.
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Consejos
- Intenta utilizar variaciones de los pasos expuestos en este artículo para descubrir tus propios métodos de solución.
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Cosas que necesitarás
- lápiz
- papel
- borrador
Referencias
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