Tu guía para invertir el signo de desigualdad (y resolver desigualdades)

Coescrito por Grace Imson, MA

Apenas estás agarrándole el truco a resolver ecuaciones básicas cuando de pronto ese $=$ es un $>$ o un $<$ . Por lo general, las desigualdades se resuelven del mismo modo que las ecuaciones, con una diferencia importante: en ocasiones, debes invertir el signo de desigualdad de forma que mire en la otra dirección. Si no estás seguro de exactamente cuándo debes hacerlo, no eres el único. Sigue leyendo para aprender cuándo debes invertir el signo de desigualdad para resolver una desigualdad de la forma correcta cada vez. Incluso puedes poner a prueba tus habilidades con unos cuantos problemas de práctica.

Cosas que debes saber

Resuelve las desigualdades con los mismos principios básicos que utilizas para resolver ecuaciones
Invierte el signo de desigualdad cuando multipliques o dividas ambos lados por un número negativo.
Invierte el signo de desigualdad si obtienes la recíproca en ambos lados de números que tengan el mismo signo (positivo o negativo).
La solución a una desigualdad representa un rango de números, por lo que debes revisar varios números dentro de ese rango para asegurarte de que la solución sea correcta.

Método 1

Método 1 de 4:

Resolver desigualdades

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Las ecuaciones y desigualdades siguen los mismos principios básicos. Como repaso, al igual que las ecuaciones estándar, debes aislar la variable a un lado de la ecuación dividiendo, multiplicando, sumando y restando los mismos números a ambos lados de la ecuación. ^{[1]
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Fuente de investigación}
- A diferencia de una ecuación, en la cual obtienes un número final como respuesta, la solución a una desigualdad es un rango de números. Por ejemplo, si la solución es $x>4$ , quiere decir que cualquier número mayor que $4$ es una posible solución.
- Al revisar posibles soluciones a desigualdades, intentas determinar si el enunciado que hace la desigualdad es verdadero o falso . Si el enunciado es falso, la solución es incorrecta. Por ejemplo, podrías terminar con $5<4$ . Este es un enunciado falso debido a que 5 no es menor que 4.
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2
Invierte el signo de desigualdad si multiplicas o divides entre un número negativo en ambos lados. La suma y la resta nunca cambian la dirección del signo de desigualdad. La multiplicación y la división sí cambian la dirección de la desigualdad, pero únicamente si el número por el que vas a multiplicar o dividir es negativo. ^{[2]
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Fuente de investigación} Fíjate como funciona con la desigualdad $-2x>6$ :
- Para aislar la $x$ , debes dividir entre $-2$ . Como vas a dividir entre un número negativo, también debes invertir el signo de desigualdad: ${\frac {-2x}{-2}}<{\frac {6}{-2}}$ .
- Simplifica en ambos lados de la desigualdad para obtener la solución: $x<-3$
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Revisa más de una de las soluciones posibles. A diferencia de una ecuación, una desigualdad no tiene una sola solución. ¡Tiene muchas! Después de resolver una desigualdad, es una buena práctica adoptar el hábito de revisar varias de esas posibles soluciones solo para asegurarte de que tu respuesta sea correcta. Si lo es, literalmente cualquier número dentro de ese rango debe funcionar, así que elige números que sean más fáciles de calcular en tu mente. ^{[3]
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Fuente de investigación}
- Volviendo al ejemplo anterior, la desigualdad original era $-2x>6$ , y la solución era $x<-3$ .
- Empieza por $-3$ . La solución es menor que $-3$ , por lo que debes obtener una ecuación, y así es: $-2(-3)=6$ . Así que se comprueba.
- Ahora, prueba con cualquier número menor que $-3$ , como $-10$ : $-2(-10)>6$ se simplifica a $20>6$ .
- En palabras, dirías que "20 es mayor que 6", y ese es un enunciado verdadero, así que tu solución se comprueba. ¡Buen trabajo!
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Método 2

Método 2 de 4:

Trabajar con recíprocas

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Invierte una fracción para obtener su recíproca. Para obtener la recíproca, tan solo invierte la posición del numerador y el denominador. Entonces, la recíproca de la fracción ${\frac {2}{3}}$ sería ${\frac {3}{2}}$ . Al multiplicar una fracción por su recíproca, obtienes $1$ . ^{[4]
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Fuente de investigación} Observa cómo sucede:
- ${\frac {2}{3}}*{\frac {3}{2}}={\frac {6}{6}}=1$
- Si tienes un número entero como $5$ , considéralo como ${\frac {5}{1}}$ . Por ende, su recíproca es ${\frac {1}{5}}$ .
- Asimismo, obtener la recíproca es útil cuando quieres encontrar una variable en el denominador de una fracción. Obtener la recíproca en ambos lados te permite aislar esa variable.
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Invierte el signo de desigualdad si obtienes la recíproca en ambos lados. A esto se le conoce como la propiedad inversa multiplicativa de las desigualdades . Esta propiedad aplica si ambos lados son positivos o si ambos lados son negativos. Así es, aquí se realiza también para los positivos (en esencia, cada vez que los signos sean iguales en ambos lados). ^{[5]
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Fuente de investigación} Este es un ejemplo simple que demuestra por qué es así:
- Alex y Berta corren una maratón de 10 000 kilómetros. Alex termina primero corriendo a 5 km/h, en tanto que Berta corre a unos pausados 2 km/h.
- Alex tiene una mayor velocidad que Berta: $5>2$ .
- Para averiguar cuánto tiempo le tomó a cada uno correr los 10 000 kilómetros, divide la distancia entre la velocidad: ${\frac {10}{5}}$ para Alex y ${\frac {10}{2}}$ para Berta.
- Simplifica las fracciones y obtendrás $2$ y $5$ . El signo de desigualdad se ha invertido debido a que Alex terminó los 10 000 kilómetros en menos tiempo que Berta.
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