Cómo usar la regla del 72

• El corolario de la regla del 72 de Felix se utiliza para aproximar el valor futuro de una anualidad (una serie de pagos regulares). En esta se establece que el valor futuro de una anualidad que tiene una tasa de interés y el número de pagos multiplicado por 72 se puede aproximar al multiplicar la suma de los pagos por 1.5. Por ejemplo, 12 pagos periódicos de $1,000 creciendo a una tasa del 6% por periodo equivale aproximadamente a $18,000 después del último periodo. Esta es una aplicación del corolario de la regla del 72 dado que 6 (la tasa de interés) multiplicado por 12 (el número de pagos) es igual a 72, por lo que el valor de la anualidad tiene un valor aproximado a 1.5 multiplicado por 12 multiplicado por $1,000.
• Aplicando la regla del 72 a tu favor, al comenzar a ahorrar ahora . A una tasa de crecimiento del 8% anual (una tasa aproximada de retorno en el mercado de valores), podrás duplicar tu dinero en 9 años (8 * 9 = 72), cuadruplicar tu dinero en 18 años y tener 16 veces más tu inversión en 36 años.

Composición periódica

1. Para la composición periódica, la fórmula es VF = VP (1 + r)^T, donde VF = valor futuro, VP = valor presente, r = tasa de crecimiento, T = tiempo.
2. Si el dinero se ha duplicado, entonces VF = 2*VP, es decir que 2VP = VP (1 + r)^T, o 2 = (1 + r)^T, suponiendo que el valor presente es diferente de cero.
3. Al resolver para T al aplicar el logaritmo natural en ambos lados, reacomodamos para obtener que T = ln(2) / ln(1 + r).
4. La serie de Taylor para ln(1 + r) al rededor de 0 es r - r ² /2 + r ³ /3 - ... Para valores bajos de r, la contribución de las potencias más grandes son menores, y la expresión se aproxima a r, po lo que t = ln(2) / r.
5. Ten en cuenta que el ln(2) ~ 0.693, de tal forma que T ~ 0.693 / r (o T = 69.3 / R, al expresar una tasa de interés como porcentaje R que va desde 0 a 100%), la cual es la regla del 69.3. Otros números utilizados para el cálculo son 69, 70 y 72 para facilitar las ecuaciones.

Composición continua

1. Para la composición periódica con componentes múltiples por año, el valor futuro es determinado por VF = VP (1 + r/n)^nT, donde VF = valor futuro, VP = valor presente, r = tasas de crecimiento, T = tiempo y n = número de períodos compuestos por año. Para la composición continua, n tiende al infinito. Usando la definición de que e = lim (1 + 1/n)^n dado que n tiende al infinito, la expresión se vuelve en VF = VP e^(rT).
2. Si el dinero se ha duplicado, entonces el VF = 2*VP, entonces 2VP = VP e^(rT), o 2 = e^(rT), suponiendo que el valor presente es positivo y diferente de cero.
3. Resuelve para T al aplicar el logaritmo natural para ambos lados y reacomodando para obtener T = ln(2)/r = 69.3/R (donde R = 100r para expresar la tasa de crecimiento como porcentaje). Esta es la regla del 69.3.

• El valor de 72 se eligió como un numerador conveniente , debido a que tiene mucho divisores pequeños: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. Le da una buena aproximación a crecimiento compuesto anual y a las tasas típicas de forma compuesta (de 6% a 10%). La aproximación es menos precisa a mayores tasas de interés.
• La regla de segundo orden de Eckart-McHale , o la regla E-M, le da una corrección multiplicativa a la regla del 69.3 o 70 (pero no a la del 72), para mayor precisión a mayores rangos de tasas de interés. Para calcular una aproximación E-M, multiplica el resultado de aplicar la regla del 69.3 (o 70) por 200/(200-R), por ejemplo, T = (69.3/R) * (200/(200-R)). Por ejemplo, si la tasa de interés es 18%, la regla del 69.3 dices que t=3.85 años. La regla E-M multiplica esto por 200/(200-18), proporcionando un tiempo de duplicación de 4.23 años, lo cuál sería una mejor aproximación al tiempo real que se necesita para duplicar a esta tasa de interés, que es de 4.19 años.
  • La regla de tercer orden de aproximación de Padé te da una mejor aproximación, usando el factor de corrección de (600 + 4R) / (600 + R), por ejemplo., T = (69.3/R) * ((600 + 4R) / (600 + R)). Si la tasa de interés es de 18%, la regla de tercer orden de la aproximación de Padé te da que T = 4.19 años.
• Para estimar el tiempo para duplicar a tasas más altas, ajusta el 72 al sumarle 1 por cada 3 puntos porcentuales mayores a 8%. Esto quiere decir que, T = [72 + (R - 8%)/3] / R. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 32%, el tiempo que tomaría que se duplica una cierta cantidad de dinero es T = [72 + (32 - 8)/3] / 32 = 2.5 años. Ten en cuenta que en este ejemplo utilizamos el 80 en lugar del 72, lo que te da un tiempo de duplicación de 2.25 años.
• Para la composición continua, 69.3 (o aproximadamente 69) ted a mucho mejores resultados, dado que el ln(2) es aproximadamente 69.3% y R * T = ln(2), donde R = tasa de crecimiento (o de decrecimiento), T = el tiempo para duplicar (o reducir a la mitad) y ln(2) es el logaritmo natural de 2. Usar el número 70 también puede ser una aproximación para la composición continua o diaria (que es cercana a la continua) para facilitar los cálculos. Estas variaciones son conocidas como la regla del 69.3 , la regla del 69 , o la regla del 70 .
  • Un ajuste similar de precision para la regla de 69.3 es utilizarla a tasas altas con composición diaria: T = (69.3 + R/3) / R.
• A continuación una tabla que te proporciona el número de años que se necesita para duplicar cualquier cantidad de dinero a diferentes tasas de interés, y comparando las aproximaciones con varias reglas: