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Un hexagone est un polygone qui possède six côtés et six angles. On remarque d'ailleurs que les six angles d'un hexagone régulier ainsi que ces 6 côtés sont égaux. D'ailleurs, un hexagone régulier est en fait constitué de six triangles équilatéraux. Il existe plusieurs façons de calculer l'aire d'un hexagone, qu'il soit quelconque ou régulier.
Étapes
Méthode 1
Méthode 1 sur 4:
En connaissant la longueur du côté (hexagone régulier)
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Inscrivez et retenez la formule fondée sur la longueur d'un des côtés. Un hexagone régulier a 6 côtés égaux et est donc constitué de six triangles équilatéraux. On remarque que la formule donnant l'aire d'un hexagone régulier ressemble fortement à celle d'un triangle équilatéral . La formule permettant de trouver l'aire ( ) de l'hexagone régulier est : , étant la longueur d'un des côtés de l'hexagone [1] X Source de recherche .
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Trouvez la longueur d'un côté de l'hexagone. Si cette longueur vous est donnée, notez-la soigneusement. Sur l'illustration, nous avons pris 9 cm. Si l'on vous donne le périmètre de l'hexagone ou son apothème (le rayon du cercle inscrit dans la figure), il est possible, moyennant des calculs simples, de trouver la longueur du côté.
- Si le périmètre est donné, divisez-le par 6 pour obtenir la longueur de chacun des côtés de l'hexagone. Si le périmètre est de 54 cm, en divisant cette valeur par 6, vous en déduirez que cet hexagone a 9 cm de côté.
- Si l'apothème (noté
) est connu, alors il est possible de trouver la longueur (
) du côté de l'hexagone régulier en utilisant la formule suivante :
. Par exemple, si l'apothème vaut
, votre côté mesure :
, soit
.
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Calculez l'aire de votre hexagone. Quelle que soit la méthode utilisée, nous avons donc la longueur du côté. Il ne reste plus qu'à faire l'application numérique avec la formule. Dans notre exemple, le côté est de 9 cm, ce qui donne la formule suivante : .
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Faites les calculs. La difficulté ici est de ne pas tromper dans l'ordre des opérations. Les valeurs élevées à une puissance d'abord, puis les produits et enfin la division. Le résultat sera donné dans une unité carrée, ici le cm 2 .Publicité
Méthode 2
Méthode 2 sur 4:
En connaissant la longueur de l'apothème (hexagone régulier)
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Inscrivez et retenez la formule fondée sur la longueur de l'apothème. Elle est la suivante : , étant le périmètre de l'hexagone et l'apothème (plus souvent noté [2] X Source de recherche ).
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Inscrivez la valeur de l'apothème. Pour illustrer notre propos, nous prendrons un hexagone dont la longueur d'apothème est de 5√3 cm.
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Calculez le périmètre à partir de l'apothème. L'apothème forme avec son côté associé un angle droit (90°) et délimite ainsi deux triangles rectangles, un de chaque côté de l'apothème. Les deux autres angles sont de 30° et 60°. D'après les propriétés du triangle, si la longueur est , les côtés de ce triangle ont pour longueurs (le plus petit), et (le plus grand [3] X Source de recherche ).
- L'apothème est le côté ayant pour longueur . Dans notre exemple, l'apothème mesure 5√3, par analogie, c'est donc que .
- Cette valeur est celle du petit côté du triangle rectangle et ne vaut que la moitié du côté de l'hexagone. Pour obtenir la longueur de celui-ci, il suffit de multiplier par 2. Dans notre exemple, le côté de l'hexagone est de 10 cm (5 cm x 2).
- À ce stade, les choses sont faciles : le côté mesure 10 cm de long, il y a 6 côtés de la même longueur, le périmètre ( ) est donc de 60 cm.
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Calculez l'aire de l'hexagone avec la formule. Le calcul du périmètre est un peu long, mais si vous n'avez que l'apothème, vous n'avez pas d'autre choix. Le calcul de l'aire ( ) de l'hexagone se présente comme suit :
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Faites les calculs. La difficulté ici est de ne pas tromper dans l'ordre des opérations. Les valeurs élevées à une puissance d'abord, puis les produits et enfin la division. Le résultat sera donné dans une unité carrée, ici le cm 2 .
- (avec )
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Méthode 3
Méthode 3 sur 4:
Avec les coordonnées des sommets (hexagone quelconque)
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Listez les coordonnées (x,y) de chacun des sommets. L'intersection de deux segments d'une figure est un sommet, lequel a des coordonnées si la figure s'inscrit dans un plan orthonormé. Un hexagone a 6 sommets (A, B, C... F). Inscrivez l'un sous l'autre chaque point avec ses coordonnées. Terminez en renotant le sommet A. Les sommets de notre hexagone se présente ainsi [4] X Source de recherche :
- A (4, 10)
- B (9, 7)
- C (11, 2)
- D (2, 2)
- E (1, 5)
- F (4, 7)
- A (4, 10)
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Faites les produits croisés parallèles. Il s'agit simplement de multiplier l'abscisse d'un point ( par l'ordonnée du point suivant ( ), comme cela est figuré sur l'illustration. Vous pouvez poser la multiplication ou écrire directement le résultat à la droite du sommet. Pour terminer, additionnez tous les résultats.
- A (4, 10) 4 x 7 = 28
- B (9, 7) 9 x 2 = 18
- C (11, 2) 11 x 2 = 22
- D (2, 2) 2 x 5 = 10
- E (1, 5) 1 x 7 = 7
- F (4, 7) 4 x 10 = 40
- Faites la somme : 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
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Faites les autres produits croisés parallèles. Il s'agit simplement de multiplier l'ordonnée d'un point ( ) par l'abscisse du point suivant ( ), comme cela est visible sur l'illustration. Vous pouvez poser la multiplication ou écrire directement le résultat à la droite du sommet. Pour terminer, additionnez tous les résultats.
- A (4, 10) 10 x 9 = 90
- B (9, 7) 7 x 11 = 77
- C (11, 2) 2 x 2 = 4
- D (2, 2) 2 x 1 = 2
- E (1, 5) 5 x 4 = 20
- F (4, 7) 7 x 4 = 28
- Faites la somme : 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
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Soustrayez les deux sommes obtenues. Le plus simple est de soustraire le plus petit résultat du plus grand afin d'avoir un résultat positif : une aire est toujours positive ! Dans notre cas, l'aire est de 96 (221 - 125). Si vous faisiez la soustraction dans l'autre sens, vous obtiendriez - 96 (125-221), il faudrait alors en prendre la valeur absolue, soit : .
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Divisez ce résultat par 2. Avec cette méthode, l'on obtient en fait le double de l'aire de la figure. Il faut donc diviser le résultat obtenu par 2. Dans notre exemple, il faut diviser 96 par 2 et vous obtenez 48, résultat auquel vous allez joindre une unité carrée. Si les abscisses et les ordonnées sont distantes d'un centimètre, l'unité sera le cm². L'hexagone a une aire de 48 cm².Publicité
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Trouvez l'aire d'un hexagone régulier auquel on aurait retiré un triangle. Si vous savez que l'on vous demande de travailler sur un hexagone régulier auquel on a retiré 1 ou plusieurs des triangles équilatéraux qui le composent, alors la première chose à faire est de calculer l'aire de l'hexagone régulier comme s'il était complet. Puis, calculez l'aire du triangle « manquant » et soustrayez ce résultat à l'aire de l'hexagone régulier « complet ». Cela vous donnera donc l'aire de l'hexagone « restant ».
- Par exemple, si vous avez trouvé que l'aire de l'hexagone régulier vaut 60 cm² et que l'aire du triangle manquant vaut 10 cm² alors il vous suffira de retrancher l'aire du triangle manquant à l'aire de l'hexagone complet ce qui donne : 60 cm 2 - 10 cm 2 = 50 cm 2 .
- Si vous savez que l'on a enlevé exactement un triangle à l'hexagone régulier « complet » alors il est également possible de simplement multiplier l'aire totale de l'hexagone par 5/6 étant donné qu'il ne reste plus que 5 triangles sur les 6 du départ (et bien sûr, car tous les triangles sont semblables et ont donc la même aire). S'il manque deux triangles, vous pouvez multiplier l'aire par 4/6 (2/3) et ainsi de suite.
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Divisez l'hexagone en plusieurs triangles plus petits. Vous pourriez par exemple vous rendre compte que votre hexagone quelconque est en faite le « collage » de quatre triangles plus petits. Pour calculer l'aire de l'hexagone, vous devrez donc calculer les aires de chacun des triangles puis en faire la somme. Il existe de nombreux moyens pour calculer l'aire de ces triangles, en fonction des différentes informations mises à votre disposition.
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Décomposez l'hexagone en figures simples. S'il n'est pas possible de simplement décomposer votre hexagone en triangles plus petits, regardez alors s'il n'est pas possible de, par exemple, trouver un « collage » fait avec un triangle, un rectangle et/ou un carré. Une fois ces différents polygones mis en évidence, il ne vous reste plus qu'à calculer leurs aires respectives et faire la somme de toutes les aires afin d'obtenir l'aire de l'hexagone complet.
- Il existe par exemple des hexagones quelconques composés de deux parallélogrammes. Pour obtenir l'aire de ces parallélogrammes, vous aurez simplement besoin de multiplier leur hauteur respective par leur longueur respective (comme vous le feriez pour un rectangle) puis de les additionner pour obtenir l'aire de l'hexagone.
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Références
À propos de ce wikiHow
Résumé de l'article
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Pour calculer l'aire d'un hexagone, servez-vous de la formule : A = 3 multiplié par la racine carrée de 3 fois c au carré, le tout divisé par 2. A est la surface et c, la longueur d'un côté de l'hexagone. Faites l'application numérique avec une longueur d'un côté, puis faites les calculs et vous aurez l'aire. Si au lieu d'avoir la longueur d'un côté, mais que vous avez celle de l'apothème, servez-vous de la formule : A = 1/2 multiplié par le périmètre multiplié par l'apothème, A étant l'aire.
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