Comment calculer la distance entre deux points

Coécrit par Grace Imson, MA

La distance entre deux points d'un repère orthonormé peut être imaginée comme la longueur de la ligne qui les relie. La formule pour calculer cette longueur est :
${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$ .

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Récupérez les coordonnées des deux points. Nous allons calculer la distance entre les deux. Le premier point sera $P_{1}$ de coordonnées ( $x_{1}$ , $y_{1}$ ) et le second, $P_{2}$ de coordonnées ( $x_{2}$ , $y_{2}$ ). Peu importe l'appellation à partir du moment où vous conserverez bien les coordonnées qui sont les leurs ^{[1]
X
Source de recherche} .
- $x_{1}$ est l'abscisse de $P_{1}$ , c'est-à-dire sa projection sur l'axe horizontal, tandis que $y_{1}$ est sa projection sur l'axe vertical. Il en va exactement de même pour le point $P_{2}$ avec $x_{2}$ (abscisse) et $y_{2}$ (ordonnée).
- Prenons deux points du repère, soit $P_{1}$ de coordonnées (3,2) et $P_{2}$ de coordonnées (7,8) : $x_{1}=3$ ; $y_{1}=2$ ; $x_{2}=7$ ; $y_{2}=8$ .
Il existe une formule finalement simple qui permet, à partir des coordonnées de deux points, de calculer la distance qui les sépare. La distance entre deux points est la racine carrée de la somme des carrés des différences des abscisses et des ordonnées. Plus simplement, vous devrez calculer la racine carrée de $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$ .
3
Calculez la différence d'abscisses, puis celle des ordonnées. Quand vous faites $x_{2}-x_{1}$ , vous calculez la distance horizontale entre les deux points et quand vous faites $y_{2}-y_{1}$ , vous obtenez la distance verticale entre ces deux mêmes points. Ne soyez pas affolé si les résultats sont négatifs, ils vont être élevés au carré et seront alors positifs ^{[2]
X
Source de recherche} .
- Calculez la distance verticale entre $P_{1}$ et $P_{2}$ de l'exemple. Elle s'obtient en soustrayant les deux ordonnées ( $y$ ), soit : $y_{2}-y_{1}=8-2=6$ . Les deux points sont éloignés verticalement de six unités.
- Calculez ensuite la distance horizontale entre $P_{1}$ et $P_{2}$ . Elle s'obtient en soustrayant les deux abscisses ( $x$ ), soit : $x_{2}-x_{1}=7-3=4$ . Les deux points sont éloignés horizontalement de quatre unités.
4
Élevez ces deux résultats au carré. Multipliez la distance verticale ( $y_{2}-y_{1}$ ) par elle-même et faites de même avec la distance horizontale ( $x_{2}-x_{1}$ ).
- $6^{2}=36$
- $4^{2}=16$
En faisant cela, vous retrouvez le théorème de Pythagore s'appliquant aux triangles rectangles. Votre résultat est le carré de la distance qui sépare les deux points. Dans notre exemple, additionnez 36 et 16, ce qui donne 52.
6
Calculez la racine carrée de ce dernier résultat. La distance entre les deux points est donc bien la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés d'un triangle, l'un étant la distance horizontale, l'autre, la distance verticale ^{[3]
X
Source de recherche} .
- Reprenons notre exemple. La distance entre les deux points $P_{1}$ et $P_{2}$ est : ${\sqrt {52}}$ , soit environ 7,21 unités.
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Conseils

Ici, les deux distances étaient positives. Si elles avaient été négatives, cela n'aurait eu aucune incidence, car ces valeurs étant toujours élevées au carré, les résultats sont toujours positifs.

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[2]

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