Comment calculer la fidélité

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Pour apprécier les qualités d'un instrument de mesure, par exemple une balance, il est possible de calculer différents critères, dont sa fidélité qui est sa capacité à renvoyer toujours le même résultat à chaque mesure. Si vous montez 5 ou 10 fois sur un pèse-personne, si vous obtenez toujours le même poids, alors vous pourrez en conclure que votre balance est fidèle, quand bien même elle ne serait pas juste. La fidélité est un critère qui sert aussi bien en mathématiques statistiques qu'en métrologie. Elle peut être l'amplitude des valeurs, l'écart moyen ou encore l'écart-type de la série.

Méthode 1
Méthode 1 sur 4:

Calculer l'amplitude d'une série chiffrée

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  1. Classez votre série de valeurs dans un ordre croissant pour faciliter le travail. Ainsi, vous prendrez connaissance de la série. Vous allez ensuite porter votre attention sur les valeurs de début et de fin de la série.
    • Supposons que vous testiez la justesse d'une balance. Vous faites 5 pesées d'une même masse et vous trouvez les résultats suivants : 11, 13, 12, 14, 12 (en kilogrammes). Le classement par ordre croissant est le suivant : 11, 12, 12, 13, 14. La plus forte valeur de la série est 14 .
  2. Une fois la série classée comme cela a été fait, la plus faible valeur est la première de la série classée.
    • Avec notre exemple, la plus faible pesée est de 11 (kg).
  3. L'amplitude d'une série chiffrée (statistiques ou non) est simplement la différence entre la valeur la plus haute de la série ( ) et la plus petite ( ). L'amplitude est en quelque sorte l'écart des valeurs extrêmes. Si l'on devait écrire cette amplitude sous forme algébrique, la formule sera la suivante :
    • .
    • Avec notre exemple, la formule s'écrirait ainsi :
  4. Au moment d'établir le résultat de vos expériences, il est important pour vos lecteurs de savoir quels critères vous avez pris. On le verra plus tard, la fidélité peut s'exprimer par divers outils, ici ce sera l'amplitude. Dans notre exemple, nous avons une moyenne ( ) de 12,4 et une amplitude de 3, ce qui peut s'écrire ainsi : [1] .
    • Certes, la moyenne arithmétique ne sert pas au calcul de l'amplitude, non plus que de la fidélité, mais c'est un calcul qu'il faut faire en tout premier, car elle sert par la suite. La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs d'une série chiffrée donnée, puis en divisant le résultat par le nombre de valeurs (effectif) de la série. Dans notre exemple, la moyenne s'établit comme suit : .
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Méthode 2
Méthode 2 sur 4:

Calculer un écart moyen

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  1. L'écart moyen est un indicateur plus fin de la fidélité d'un appareil, bien plus que l'amplitude vue précédemment. La première étape du calcul de l'écart moyen consiste à calculer la moyenne arithmétique de toutes les valeurs, en faisant la somme des valeurs et en la divisant par le nombre de valeurs.
    • Pour illustrer notre propos, nous prendrons la même série chiffrée que précédemment. Les cinq mesures sont : 11, 13, 12, 14, et 12, et la moyenne de ces valeurs est de : 12,4.
  2. Le calcul suivant consiste à trouver l'écart de chaque valeur par rapport à la moyenne. Pour ce faire, ôtez la moyenne de chacune des valeurs. Vous pourrez tomber sur un résultat positif ou négatif, peu importe, puisque seule la valeur absolue du résultat sera retenue, c'est-à-dire la valeur sans signe du résultat  [2] .
    • Une valeur absolue est notée par deux traits verticaux de part et d'autre de la valeur considérée, comme ci-après :
      • .
      • Dans cette formule, prendra comme valeur chacune des valeurs observées et est la moyenne arithmétique de la série de mesures.
    • Avec notre exemple, les calculs des écarts à la moyenne donnent les résultats suivants :
  3. Cette mesure de dispersion d'une série chiffrée s'obtient en faisant la moyenne des écarts à la moyenne. C’est une simple moyenne arithmétique : vous additionnez vos écarts-types et vous divisez par le nombre d'écarts-types. La formule théorique se présente comme suit  [3]  :
    • .
    • Pour notre exemple, le calcul se présente ainsi :
  4. Quand vous transcrivez les résultats de vos mesures, vous pouvez donner la moyenne, mais au lieu d'indiquer l'amplitude comme précédemment, vous allez indiquer l'écart moyen. Dans notre exemple, vous présenterez ainsi : . Vous le voyez, la fidélité exprimée par l'écart moyen (0,88) est bien plus précise qu'avec l'amplitude (3  [4] ).
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Méthode 3
Méthode 3 sur 4:

Calculer un écart-type

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  1. Troisième possibilité pour exprimer le degré de fidélité d'un appareil et donc de mesures : l'écart-type. Il existe deux façons, très légèrement différentes, de calculer l'écart-type. Une première formule est utilisée dans le cas de données qui représentent une population entière , et une autre pour le cas où vous n'étudieriez qu'un échantillon de cette population [5] .
    • Vos données représenteront une population entière si vous avez fait toutes les mesures (ou tous les comptages) possibles sur un critère donné. Supposons que vous ayez recensé, dans une région donnée, toutes les personnes ayant telle ou telle maladie rare, alors ces personnes constituent une population entière. En ce cas, la formule de l'écart-type ( ) est la suivante :
    • Si, comme c'est souvent le cas, vous ne prenez qu'un échantillon représentatif de ces personnes malades, votre effectif de référence est inférieur, et la formule de l'écart-type change et est la suivante :
    • Vous aurez noté que seul change le dénominateur de la fraction. Pour une population entière, vous diviserez par et pour un échantillon représentatif de cette même population, ce sera .
  2. Comme pour l'écart moyen, vous devez commencer par le calcul de la moyenne arithmétique des valeurs  [6] .
    • Elle a été calculée précédemment : elle est de 12,4.
  3. Vous les élèverez ensuite au carré. Commencez par faire la différence entre chaque valeur et la moyenne, puis élevez séparément ces résultats au carré. Peu importe qu'un écart soit positif ou négatif, puisque son élévation au carré donnera toujours un nombre positif.
    • Si l'on reprend notre exemple, on obtient les calculs suivants :
  4. Le résultat que vous allez obtenir sera le numérateur de la formule de l'écart-type. Additionnez simplement, sans arrondir tous les écarts à la moyenne au carré  [7] .
    • Si l'on reprend notre exemple, le numérateur s'établit comme suit :
  5. Comme cela a été dit précédemment, le dénominateur sera différent selon que vous travaillez sur une population entière ou un échantillon représentatif. Dans le premier cas, vous diviserez par , l'effectif de la population entière, dans le second, par [8] .
    • Nous supposerons ici que cette série de 5 mesures n'est qu'un échantillon d'un ensemble de mesures bien plus important. C'est pourquoi, conformément à la formule, il faut diviser par , soit . Le résultat est :
      .
  6. Le résultat obtenu précédemment s'appelle la variance de la série. L'écart-type est tout simplement la racine carrée de cette variance. Pour extraire la racine, utilisez une calculatrice, le résultat qui s'affichera sera l'écart-type  [9] .
  7. La fidélité d'une balance peut être donnée par la moyenne ( ) d'une série de mesures, avec une fidélité qui est de plus ou moins l'écart-type. Dans notre exemple, cela donne :
    [10] .
    • L'écart-type est l'élément de fidélité le plus utilisé pour exprimer la précision d'un appareil et des mesures associées. Pour écarter toute ambigüité, vous préciserez dans le corps du texte (entre parenthèses, par exemple) ou en note que la fidélité est l'écart-type.
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Méthode 4
Méthode 4 sur 4:

Choisir la bonne valeur de fidélité

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  1. La fidélité provient de la répétabilité et de la reproductibilité des mesures. Lors d'une expérience, des mesures sont faites à l'identique avec le même appareil dans les mêmes conditions. La fidélité mesure la dispersion des mesures entre elles : plus la dispersion est faible, plus l'appareil est fidèle  [11] .
    • La justesse n'est pas la même chose que la fidélité. La justesse mesure la concordance entre les valeurs expérimentales et les valeurs vraies, tandis que la fidélité mesure l'aptitude d'un appareil de mesure à donner des mesures exemptes d'erreurs accidentelles.
    • Justesse et fidélité sont deux caractéristiques qui ne vont pas systématiquement de pair. Des mesures justes sont proches de la mesure théorique, mais sont dispersées. Des mesures fidèles sont très proches les unes des autres, mais peuvent, ou non, être éloignées de la mesure théorique. Un appareil est exact s'il est à la fois juste et fidèle.
  2. Le mot fidélité est un terme ambigu à plusieurs définitions, plus ou moins scientifiques. Nous l'avons démontré, la fidélité d'un appareil peut être appréciée par diverses valeurs. Il n'y a pas de règle absolue pour utiliser tel ou tel critère, seulement des conseils issus de la pratique  [12] .
    • L'expérience a montré que l'amplitude est valable comme valeur de fidélité pour des mesures peu nombreuses (moins de 10  [13] ). Cette amplitude est encore plus significative si elle est faible et s'il n'y a pas de valeurs aberrantes, sinon il faudra prendre un autre critère de fidélité, comme ceux que nous allons voir
    • L'expérience a également montré, et il n'est pas contradictoire que l'écart moyen soit valable comme valeur de fidélité pour de petites séries de mesures, mais ayant ici une ou deux valeurs aberrantes  [14] .
    • Enfin, l'expérience a montré que l'écart-type est la plus valable des valeurs de fidélité. Il a cet avantage, sur les autres critères, d'être significatif aussi bien sur une population entière que sur un échantillon représentatif de cette même population  [15] .
  3. Ceux qui mènent des expériences présentent, entre autres, la moyenne de leurs données, suivie du degré de fidélité de ce résultat. Ce dernier s'exprime sous la forme d'une valeur numérique sans unité, et précédée du signe . Mais, si vous ne donnez pas d'explication, il est impossible de savoir si la fidélité par vous choisie est la valeur de l'amplitude, de l'écart-type ou de toute autre mesure. Pour écarter toute ambigüité, vous préciserez dans le corps du texte, entre parenthèses ou en note, de quoi il s'agit précisément.
    • Le résultat de la moyenne des mesures de la série prise ici en exemple peut se présenter ainsi : , avec une note explicative. Sinon vous pouvez rédiger ainsi : moyenne = 12,4, amplitude = 3 .
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Conseils

  • Si une des valeurs expérimentales est très haute ou très basse, n'en faites pas abstraction pour vos calculs. Quand bien même ce serait une erreur, elle reste une donnée et à ce titre, doit être prise en compte.
  • Vous l'avez vu, dans cet article, pour des raisons de clarté, nous n'avons utilisé que cinq valeurs. Vous comprenez bien que la fidélité d'un appareil sera d'autant plus valable et cohérente que vous multipliez les mesures : 5 n'est pas suffisant !
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Références

  1. ↑ https://www.inorganicventures.com/accuracy-precision-mean-and-standard-deviation
  2. ↑ https://groups.spa.umn.edu/physed/Research/Lab%20Manuals/1101/1101%20Appendix%20B.pdf
  3. ↑ https://groups.spa.umn.edu/physed/Research/Lab%20Manuals/1101/1101%20Appendix%20B.pdf
  4. ↑ https://groups.spa.umn.edu/physed/Research/Lab%20Manuals/1101/1101%20Appendix%20B.pdf
  5. ↑ http://www.robertniles.com/stats/stdev.shtml
  6. ↑ http://www.robertniles.com/stats/stdev.shtml
  7. ↑ http://www.robertniles.com/stats/stdev.shtml
  8. ↑ http://www.robertniles.com/stats/stdev.shtml
  9. ↑ http://www.robertniles.com/stats/stdev.shtml
  1. ↑ http://www.robertniles.com/stats/stdev.shtml
  2. ↑ http://sciencing.com/calculate-precision-6186008.html
  3. ↑ http://www.digipac.ca/chemical/sigfigs/accuracy_and_precision.htm
  4. ↑ https://www.inorganicventures.com/accuracy-precision-mean-and-standard-deviation
  5. ↑ https://groups.spa.umn.edu/physed/Research/Lab%20Manuals/1101/1101%20Appendix%20B.pdf
  6. ↑ http://www.digipac.ca/chemical/sigfigs/accuracy_and_precision.htm

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