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Comment calculer le périmètre d'un losange

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Coécrit par Joseph Meyer

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Un losange est un quadrilatère ayant quatre côtés congruents, donc égaux en longueur ^{[1]
X
Source de recherche} . Le calcul de son périmètre est à priori chose aisée, tout va dépendre en fait des données qui vous sont présentées dans l'exercice ou le problème. Si l’on vous donne la longueur du côté, le calcul est extrêmement simple. Par contre, si l’on ne vous la donne pas, mais que vous avez d'autres informations, il est aussi possible de trouver le périmètre, cette fois à l'aide de formules de géométrie et de trigonométrie un peu plus complexes.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer le périmètre d'un losange en utilisant la longueur du côté

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1
Posez la formule de calcul du périmètre du losange. Étant donné qu'un losange a par définition quatre côtés d'égale longueur, la formule de son périmètre (P) est la suivante : $P=4c$ , avec $P$ représentant le périmètre et $c$ , la longueur de chaque côté ^{[2]
X
Source de recherche} .
- Vous pouvez aussi utiliser la formule du périmètre des polygones (le losange en est un), celle qui consiste à additionner toutes les longueurs des côtés. Pour un losange, la formule peut s'écrire : $P=c+c+c+c$ ^{[3]
  X
  Source de recherche} .
- Si les côtés de votre figure ne sont pas de longueur égale, alors vous pouvez en conclure que ce n'est pas un losange : vous ne pourrez donc pas utiliser la première formule.
- Si vous n'avez aucune des longueurs des côtés, cette méthode est tout simplement sans intérêt.
- Un carré n'est rien d'autre qu'un losange particulier ayant quatre angles droits.
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2
Passez à l'application numérique. Il n'y a pas de grande difficulté, puisqu'il n'y a qu'une seule donnée numérique à remplacer : le côté $c$ .
- Admettons que vous ayez à calculer le périmètre d'un losange de 4 m de côté, la formule est alors la suivante : $P=4(4)$ .
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3
Trouvez le périmètre $P$ . Pour cela, il vous suffit de multiplier le côté $c$ par 4.
- Pour l'exemple précédent, cela donne :
  $P=4(4)$
  $P=16$
  Le périmètre d'un losange de 4 m de côté est de 16 m.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Calculer le périmètre d'un losange en utilisant les longueurs des diagonales

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1
Sachez qu'un losange peut être divisé en quatre triangles congruents. Il vous suffit de tracer sur votre figure les deux diagonales. Choisissez l'un de ces triangles : il vous servira à calculer la longueur du côté du losange.
- Étant donné que les triangles sont congruents (c'est-à-dire identiques, sous réserve de leur faire subir un déplacement), peu importe celui que vous prenez.
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Les deux diagonales d'un losange se coupent toujours à angle droit, c'est donc à cet endroit que se trouvent les quatre angles droits ^{[4]
X
Source de recherche} .
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3
Donnez un nom à l'hypoténuse de votre triangle. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ^{[5]
X
Source de recherche} .Conventionnellement, l'hypoténuse est appelée $c$ .
- Comme vous le voyez, l'hypoténuse de votre triangle n'est rien d'autre qu'un des côtés du losange. Ainsi, si vous trouvez cette longueur $c$ , vous aurez par la même occasion la longueur d'un des côtés du losange.
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Conventionnellement, on les appelle $a$ et $b$ .
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5
Calculez la longueur de $a$ . Pour cela, il vous suffit de diviser la longueur de la diagonale sur laquelle se trouve ce côté par 2. Indiquez cette mesure sur votre triangle.
- Étant donné que les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu, la longueur d'un côté du point d'intersection est égale à celle située de l'autre côté ^{[6]
  X
  Source de recherche} . Or, le côté $a$ de votre triangle mesure donc la moitié de la longueur totale de la diagonale : il vous suffit de faire la division.
- Ainsi, si la diagonale du côté $a$ est de 12 m, vous pouvez en déduire que la longueur du côté $a$ est de :
  $a={\frac {12\ m}{2}}$
  $a=6\ m$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/09\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-9.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/09\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-9.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Calculez la longueur de $b$ . Pour cela, il vous suffit de diviser la longueur de la diagonale sur laquelle se trouve ce côté par 2. Indiquez cette mesure sur votre triangle.
- Ainsi, si la diagonale du côté $b$ est de 16 m de long, vous pouvez en déduire que la longueur du côté $b$ est de :
  $b={\frac {16\ m}{2}}$
  $b=8\ m$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9f\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-10.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9f\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-10.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Pour un triangle rectangle, ce fameux et redouté théorème établit que : $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ . Cette formule permet, sous certaines conditions de calculer tous les côtés d'un triangle rectangle.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/20\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/20\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

8
Faites l'application numérique de cette équation. Remplacez les valeurs littérales par les valeurs numériques. Peu importe en pratique l'ordre des côtés, l'addition étant commutative.
- Ainsi, si $a=6$ et $b=8$ , votre formule devient la suivante : $6^{{2}}+8^{{2}}=c^{{2}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1c\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1c\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

9
Calculez $c$ . C'est simple : vous élevez les deux côtés connus au carré, vous additionnez les résultats et vous prenez la racine carrée de cette somme.
- Faisons les calculs :
  $6^{{2}}+8^{{2}}=c^{{2}}$
  $36+64=c^{{2}}$
  $100=c^{{2}}$
  ${\sqrt {100}}={\sqrt {c^{{2}}}}$
  $10=c$ qui peut aussi s'écrire $c=10$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/90\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-13.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/90\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-13.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

10
Multipliez $c$ par 4. Comme il l'a été dit, l'hypoténuse est un côté du losange, et donc, vous pouvez appliquer la formule de base du périmètre qui est, comme on l'a vu précédemment, $P=4c$ , avec $c$ représentant la longueur d'un des côtés du losange. Dans notre exemple, le périmètre est égal au quadruple de l'hypoténuse.
- Faisons les calculs : $P=4c$
  $P=4(10)$
  $P=40$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/6a\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/6a\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

11
Inscrivez votre réponse définitive. Bien entendu, votre réponse doit être suivie de la bonne unité.
- Ainsi, un losange dont les deux diagonales mesurent 12 et 16 m a un périmètre de 40 m.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer le périmètre d'un losange en utilisant une diagonale et un angle

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1
Donnez un nom à chacun des sommets du losange. Si les sommets ne sont pas identifiés, donnez-leur le nom que vous voulez, en sachant cependant qu'il y a des conventions.
- Un sommet dans une figure géométrique est un point d'intersection de deux segments de ladite figure.
- Appelons ces sommets : $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-16.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-16.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Sachez qu'un losange est divisible en quatre triangles congruents. Il suffit de tracer sur votre figure les deux diagonales. Choisissez l'un de ces triangles : il vous servira à calculer la longueur du côté du losange.
- Étant donné que les triangles sont congruents, peu importe celui que vous prenez. Si vous voulez obtenir un résultat, vous devez, bien entendu, opter pour un triangle dont on connait la mesure d'un angle.
- Ainsi, si vous savez que l'angle en A de votre losange mesure 70°, prenez comme référence de calcul le triangle $DAB$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/83\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/83\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

Les deux diagonales d'un losange se coupent toujours à angle droit, c'est donc à cet endroit que se trouvent les quatre angles droits ^{[7]
X
Source de recherche} . Si ce n'est pas déjà fait, appelez le sommet de cet angle $E$ .
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4
Déterminez l'angle $EAB$ . Souvenez-vous que les diagonales d'un losange se coupent à angle droit et en leurs milieux ^{[8]
X
Source de recherche} . C'est ainsi que si vous connaissez la mesure de l'angle $DAB$ du losange, il vous suffit de la diviser par 2 pour obtenir la mesure de l'angle $EAB$ du triangle. Indiquez cette information sur votre triangle.
- Vous ne pourrez pas utiliser ce mode de calcul si vous ne connaissez pas la mesure d'au moins un angle de votre losange.
- Admettons que l'angle $DAB$ du losange mesure 70°, vous en déduirez que l'angle $EAB$ du triangle est de 35°, soit la moitié de l'angle $DAB$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c9\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-19.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-19.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c9\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-19.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-19.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Déterminez la mesure de l'angle manquant. La somme des angles d'un triangle étant de 180° ^{[9]
X
Source de recherche} , si vous connaissez déjà deux des trois mesures des angles, il suffit de soustraire de 180° la somme des deux autres angles. Vous reporterez alors cette mesure sur votre figure.
- Admettons que la mesure de l'angle $AEB$ soit de 90°, et que celle de l'angle $EAB$ soit de 35°. Pour trouver la mesure du dernier angle, additionnez ces deux angles, puis soustrayez ce résultat de 180° :
  $90+35=125$
  $180-125=55$
  Ainsi, la mesure de l'angle $ABE$ est de 55°.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/77\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-20.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-20.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/77\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-20.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-20.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Déterminez la longueur du grand côté de votre triangle. Pour cela, vous devez diviser la longueur de la diagonale qui constitue ce côté. Vous reporterez alors cette mesure sur votre figure.
- Comme les diagonales d'un losange se coupent en leurs milieux, les deux longueurs de part et d'autre du point d'intersection sont égales ^{[10]
  X
  Source de recherche} .
- Cette méthode ne peut pas être utilisée si vous ne connaissez pas au moins une des diagonales de votre losange.
- Ainsi, si vous avez une diagonale $AC$ de 16 cm, vous devez diviser 16 par 2 pour obtenir la longueur du côté $AE$ de votre triangle : $16\div 2=8$ , ce qui fait que le côté $AE$ est de 8 cm.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ef\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-21.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-21.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ef\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-21.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-21.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
Utilisez soit le sinus soit le cosinus de l'angle. Le choix de la fonction trigonométrique va dépendre de l'angle et du côté dont vous connaissez les mesures. Si vous avez le côté opposé à l'angle, vous prendrez la fonction sinus. Si vous avez le côté adjacent, vous prendrez la fonction cosinus.
- Si vous connaissez la longueur du côté opposé à votre angle, employez le sinus. La fonction sinus s'écrit ainsi : $\sin(\theta )={\frac {c{\hat o}te\ oppos{\acute e}}{h}}$ , $\theta$ est la mesure de l'angle, le côté opposé est celui qui ne touche pas l'angle et $h$ est la longueur de l'hypoténuse.
- Si vous connaissez la longueur du côté adjacent à votre angle, utilisez la fonction cosinus. La fonction cosinus s'écrit ainsi : $\cos(\theta )={\frac {c{\hat o}t{\acute e}\ adjacent}{h}}$ , $\theta$ est la mesure de l'angle, le côté adjacent (dont on connait la mesure) est celui qui touche l'angle et $h$ est la longueur de l'hypoténuse.
- Nous avons calculé que l'angle $EAB$ mesurait 35°, nous savons aussi que le côté adjacent fait 8 cm, vous devez alors utiliser la fonction cosinus :
  $\cos(35)={\frac {8}{h}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/28\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-22.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-22.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/28\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-22.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-22.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

8
Calculez la longueur de l'hypoténuse. Étant donné que l'hypoténuse est la longueur d'un des côtés du losange, il est nécessaire d'avoir la mesure de l'hypoténuse pour calculer ensuite le périmètre du losange.
- Faisons les calculs à partir des données précédentes :
  $\cos(35)={\frac {8}{h}}$
  $0,819={\frac {8}{h}}$
  $0,819h=8$ (produit en croix)
  ${\frac {0,819h}{0,819}}={\frac {8}{0,819}}$ (division de chaque côté par 0,819 pour isoler $h$ )
  $h=9,768$
  La longueur de l'hypoténuse, soit le côté $AB$ , est d'environ 9,768 cm.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/03\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-23.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-23.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/03\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-23.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-23.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

9
Multipliez la longueur de l'hypoténuse par 4. Il a été dit précédemment que l'hypoténuse était la longueur d'un des côtés du losange. Maintenant que vous la connaissez, vous pouvez utiliser la formule de base du périmètre (P) : $P=4c$ , $c$ étant la mesure de la longueur d'un des côtés du losange. Ici, vous prendrez pour mesure de $c$ , celle de $h$ .
- Faisons les calculs :
  $P=4c$
  $P=4(9,768)$
  $P=39,072$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3d\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-24.jpg\/v4-460px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-24.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3d\/Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-24.jpg\/v4-728px-Find-the-Perimeter-of-a-Rhombus-Step-24.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

10
Inscrivez votre réponse définitive. La réponse est très souvent arrondie, car le sinus ou le cosinus renvoie une valeur décimale. N'oubliez pas d'indiquer l'unité avec votre réponse.
- Pour conclure, un losange avec un angle $DAB$ de 70° et une diagonale $AC$ dont la mesure est de 16 cm aura un périmètre, tout arrondissement fait, d'environ 39 cm.
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Conseils

Le périmètre de n’importe quel polygone (triangle, rectangle, pentagone ou de toute autre figure ayant des côtés rectilignes) s'obtient en faisant la somme des longueurs de tous les côtés. Pour ce qui est du périmètre d'un cercle (qu'on appelle circonférence ) ou de toute autre figure présentant une courbe, vous devrez utiliser d'autres formules.

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Références

Plus de références

↑ https://www.mathsisfun.com/geometry/parallelogram.html#Perimeter

À propos de ce wikiHow

Coécrit par:

Professeur de mathématiques

Cet article a été coécrit par Joseph Meyer . Joseph Meyer est professeur de mathématiques au lycée de Pittsburgh, en Pennsylvanie. Il enseigne à la City Charter High School depuis plus de 7 ans. Joseph est également le fondateur de Sandbox Math, une communauté d'apprentissage en ligne destinée à aider les élèves à réussir en algèbre. Son site se distingue par l'importance qu'il accorde à une véritable compréhension, étape par étape, au lieu de se contenter d'obtenir la bonne réponse finale, afin d’aider les apprenants à identifier les difficultés, les surmonter et aborder avec confiance tous les tests auxquels ils sont confrontés. Joseph est titulaire d'un master en physique de l'université Case Western Reserve et d'une licence en physique de l'université Baldwin Wallace. Cet article a été consulté 98 163 fois.

Catégories: Calculs

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