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La population des villes, les populations bactériennes, l'argent investi à un taux d'intérêt garanti : toutes ces variables tendent à augmenter de manière exponentielle. Autrement dit, plus elles sont importantes, plus leur croissance est rapide. Avec un temps de doublement rapide (c'est-à-dire l’intervalle de temps qu’il faut pour qu'une quantité double), même une quantité infime peut devenir énorme. À l'aide d'une formule toute simple, vous pouvez trouver cette valeur, ou examinez plus en détail les calculs sur lesquels se fonde ce concept.
Étapes
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Vérifiez si le taux de croissance est assez faible. La notion du temps de dédoublement ne s’applique qu'aux quantités qui augmentent de manière exponentielle. Les exemples les plus courants sont la croissance démographique et les taux d'intérêt. Avant de pouvoir utiliser cette méthode, assurez-vous que le taux de croissance est inférieur à environ 0,15 par intervalle de temps [1] X Source de recherche . Si la vitesse de croissance est inconnue, utilisez la formule suivante : (la quantité actuelle moins l'ancienne quantité) divisé par l'ancienne quantité .
- Supposons que la population d'une ile croit de façon exponentielle. De 2 015 à 2 016, la population est passée de 20 000 à 22 800 habitants. Quel est donc le taux de croissance démographique ?
- 22 800 - 20 000 = 2 800 nouveaux habitants. 2 800 ÷ 20 000 = 0,14. La population croît donc à un rythme de 0,14 par an. Puisque cette valeur est très faible, cette estimation sera assez précise.
- Supposons que la population d'une ile croit de façon exponentielle. De 2 015 à 2 016, la population est passée de 20 000 à 22 800 habitants. Quel est donc le taux de croissance démographique ?
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Exprimez la vitesse de croissance en pourcentage. Pour ce faire, multipliez-la par 100. En règle générale, les fractions décimales sont moins intuitives que les pourcentages.
- Dans notre exemple de départ, le taux de croissance était de 0,14 et elle est exprimée en fraction décimale, soit . Multipliez cette fraction par 100 pour obtenir la vitesse de croissance en pourcentage : 14 % par an .
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Divisez le pourcentage obtenu par 70. Cela vous permettra de trouver la période de temps qu'il faudra pour que la quantité étudiée double. Assurez-vous que la vitesse de croissance est exprimée en pourcentage et non en nombre décimal, sinon la réponse sera erronée. Si vous souhaitez en apprendre davantage sur cette règle, lisez la section suivante.
- Reprenons notre exemple de départ. La population croit à rythme de 14 %, alors la période de temps qu’il faut pour que cette vitesse de croissance double est de .
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Faites une conversion, si possible. Généralement, votre réponse sera exprimée en années, en secondes, etc. Toutefois, si la vitesse de croissance a été mesurée sur une période de temps plus longue, multipliez votre réponse pour l'exprimer en une seule unité de temps.
- Dans notre exemple, l'unité de temps utilisé est l'année, alors chaque intervalle de temps sera d'un an. Par conséquent, la population de cette ile double tous les 5 ans.
- Considérons une autre ile près de la précédente. Cette ile est infestée d'araignées et est par conséquent beaucoup moins peuplée. De 20 000 habitants, cette ile compte aujourd’hui 22 800 habitants, mais il a fallu 20 ans pour qu’on observe ce changement. À supposer que le taux de croissance est exponentiel, calculez le temps de doublement de cette population.
- La vitesse de croissance est de 14 % sur une période de 20 ans. D’après la règle des 70, il faudrait cinq fois plus de temps pour que cet intervalle double, sachant que chaque intervalle de temps est de vingt ans. (5 fois l'intervalle) x (20 ans / intervalle de temps ) = 100 ans . Il faudra donc 100 ans pour que la population de cette ile voie sa valeur doubler.
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Comprenez la formule du taux de croissance exponentielle. Pour une quantité initiale qui augmente de façon exponentielle, la quantité finale est représentée par la formule . La variable r représente la vitesse de croissance par période de temps (en nombre décimal) et la variable t représente le nombre de périodes.
- Supposons que vous faites un investissement de 100 € avec un taux annuel égal à 0,02. Multipliez le montant disponible par 1,02 pour calculer chaque fois le taux de croissance. Après un an, vous aurez 100 € x 1,02, après 2 ans 100 € x 1,02 x 1,02, et ainsi de suite. Simplifiez ce calcul par ceci : , où t représente le nombre de périodes.
- Remarque : si les variables r et t ne sont pas exprimées dans la même unité de temps, vous pouvez utiliser la formule , où n représente le nombre de fois que la croissance est calculée par période de temps. Supposons que r = 0,05 par mois et t = 4 ans. La variable n sera égale à 12, car une année est composée de 12 mois.
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Réécrivez la formule en cas de croissance continue. En règle générale, une quantité augmente "en continu" et non à intervalles réguliers. En pareil cas, la formule de croissance est , en utilisant la constante mathématique e [2] X Source de recherche .
- Cette formule sert souvent à obtenir une approximation de la croissance démographique et est toujours utilisée pour calculer les intérêts composés de façon continue. Lorsque l’accroissement est calculé de façon périodique, par exemple dans le cas des intérêts composés annuels, la formule ci-dessus est plus précise.
- Déduisez cette formule de la précédente en utilisant les principes du calcul infinitésimal .
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Remplacez les valeurs pour une population qui a doublé. Lorsque la population double, l'effectif final sera égal à deux fois l’effectif qui a été enregistré au départ, soit . Remplacez les valeurs de la formule et supprimez tous les termes A en utilisant une simple équation algébrique.
- Divisez les deux termes par
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Réorganisez la formule pour trouver la valeur t. Si vous ne savez pas comment utiliser les fonctions logarithmes, il vous sera difficile d’isoler la valeur t de l'exposant. Le terme signifie "à quelle valeur doit être augmentée m pour obtenir n". Le logarithme de base m de n est la puissance à laquelle il faut élever la base m pour obtenir n. Étant donné que la constante e apparait très souvent dans les situations réelles, il existe un terme spécial appelé "logarithme naturel", que l’on abrège par "ln", qui signifie . Servez-vous-en pour isoler t d'un côté de l'équation :
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Remplacez le taux de croissance et résolvez l'équation. Vous pouvez maintenant résoudre l'équation pour trouver la valeur t en mettant la valeur r (taux de croissance sous la forme décimale) dans la formule. Sachez que ln (2) est sensiblement égal à 0,69. Après avoir réécrit le taux de croissance en pourcentage, arrondissez cette valeur pour obtenir la formule de la règle de 70.
- Une fois que vous obtenez la formule de la règle de 70, vous pouvez résoudre des problèmes identiques en la modifiant. À titre d’exemple, essayez de trouver le temps de triplement en utilisant la formule suivante .
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Conseils
- Certains placements financiers fluctuent à la hausse et à la baisse plutôt que de croitre à un rythme constant. Pour pouvoir les comparer avec d'autres options, les investisseurs ont recours à la formule du taux de croissance annuel composé (en anglais : CAGR ou Compound Annual Growth Rate) : . La réponse obtenue correspond à la vitesse de croissance exponentielle, si la croissance était stable [3] X Source de recherche . Assurez-vous d’exprimer ce taux de croissance en nombre décimal.
- Il arrive parfois que l’accroissement soit constant, indépendamment de la taille globale (par exemple 5 personnes par année). Dans ce cas, il n’est pas recommandé d’utiliser la formule du taux de croissance annuel composé. Ce modèle de croissance linéaire est calculé comme suit , où est la quantité au temps t , est la quantité au temps 0, r le taux de croissance constant, et t la quantité de temps écoulé. On n’observe pas un temps de doublement constant pour les taux de croissance constants, mais il est toujours possible de résoudre le problème en considérant un moment précis dans le temps. Supposez que est égal à et résolvez l’équation pour trouver la valeur de t . La réponse ne sera vraie que pour cette valeur spécifique de .
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Avertissements
- Vous trouverez dans certains guides la formule 0,7 ÷ vitesse de croissance. Utilisez-la si et seulement si la vitesse de croissance est exprimée en nombre décimal. Veillez à ne pas la confondre avec la formule précédente (70 ÷ par le taux de croissance exprimé en pourcentage). Sinon, votre réponse sera incorrecte et d’un facteur de 100.
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Références
À propos de ce wikiHow
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