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Polynôme signifie littéralement plusieurs termes et un polynôme se présente sous différentes formes que l'on verra, avec des constantes, des inconnues et des exposants. Par exemple, x - 2 est un polynôme, 25 est aussi un polynôme, mais particulier. Quand on détermine le degré d'un polynôme, il suffit de trouver le plus grand exposant de l'expression mathématique qu'on vous a donnée [1] X Source de recherche .
Étapes
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Simplifiez l'expression. En effet, les polynômes ne se présentent pas toujours sous leur forme simplifiée. C'est pourquoi la première étape consiste à regrouper tous les termes ayant la même puissance. Prenons un exemple concret : 3x 2 - 3x 4 - 5 + 2x + 2x 2 - x. On regroupe tous les x 2 , tous les x et toutes les constantes, ce qui nous donne au final : 5x 2 - 3x 4 - 5 + x.
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Ensuite, on retire toutes les constantes et tous les coefficients. Une constante est une valeur non affectée d'une puissance de x : c'est en fait un nombre, entier ou décimal, comme 3 ou 5 ou 2,6. Les coefficients sont tous ces chiffres (ou nombres) attachés à une inconnue : dans « 2x », 2 est le coefficient. Attention ! pour trouver le degré d'un polynôme, on n'a pas besoin des constantes ni des coefficients, mais si vous deviez faire des calculs, là il n'est plus question de les supprimer ! Par exemple, dans 5x 2 , 5 est le coefficient et 2 est la puissance (ou degré) : les deux sont indépendants.
- Si on reprend 5x 2 - 3x 4 - 5 + x, on enlève les constantes et les coefficients et on obtient : x 2 - x 4 + x.
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Classez ensuite les termes dans l'ordre décroissant des puissances. On dit qu'on met le polynôme « en forme [2] X Source de recherche ». Le premier terme a le plus fort exposant et le dernier terme a le plus faible. Cette mise en forme a pour but de vous faciliter la tâche. Si l'on reprend notre exemple, après mise en forme, on a -x 4 + x 2 + x.
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Repérez le terme portant la plus grande puissance. Par puissance, on entend en fait l'exposant. Avec -x 4 + x 2 + x, la puissance du premier terme est 4. Comme vous avez classé le polynôme par termes de puissances décroissantes, le premier terme est celui qui a la plus grande puissance.
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Identifiez dès lors le degré du polynôme. C'est l'exposant le plus élevé, ici 4. On peut dire que l'on a en face de soi un polynôme au 4e degré. On peut aussi écrire : deg (3x 2 - 3x 4 - 5 + 2x + 2x 2 - x) = 4 . Le tour est joué [3] X Source de recherche !
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La puissance d'une constante est zéro. Si votre polynôme se réduit à une seule constante, 15 ou 55 par exemple, sachez que son degré est « 0 ». En effet, par définition, x 0 = 1. Donc, notre 15 = 15 x 1. Exact ? Ou encore 15 = 15 x (x 0 ). Exact ? Ou encore 15 = 15 x 0 . Le degré est donc bien « 0 » !Publicité
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Commencez par poser l'expression. Trouver le degré d'un polynôme avec plusieurs inconnues est un peu plus compliqué que précédemment. Prenons tout de suite un exemple concret :
- x 5 y 3 z + 2xy 3 + 4x 2 yz 2
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Pour chaque terme, additionnez les exposants de toutes les inconnues le composant. Peu importe qu'il y ait des « x », des « y » ou des « z », additionnez tous les exposants ! Nous vous rappelons que le degré d'une inconnue, telle que x ou y, est « 1 ». Voilà ce que ça donne pour nos trois termes [4] X Source de recherche :
- x 5 y 3 z = 5 + 3 + 1 = 9
- 2xy 3 = 1 + 3 = 4
- 4x 2 yz 2 = 2 + 1 + 2 = 5
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Repérez le terme portant la plus grande puissance. Ici, c'est 9, somme de toutes les puissances du premier terme (5 + 3 + 1).
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Identifiez dès lors le degré du polynôme. Le degré de tout le polynôme est 9. On peut dire que l'on a en face de soi un polynôme au 9e degré. On peut aussi écrire : deg (x 5 y 3 z + 2xy 3 + 4x 2 yz 2 ) = 9 .Publicité
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Commencez par poser l'expression. Prenons tout de suite un exemple concret : (x 2 + 1)/(6x -2) [5] X Source de recherche .
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Éliminez coefficients et constantes. Vous n'en avez pas besoin pour trouver le degré d'un polynôme, on l'a vu plus haut. Ici, on supprime donc le 1 du numérateur et le 6 et le -2 du dénominateur. Il nous reste alors : x 2 /x.
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Ôtez le degré de l'inconnue du numérateur de celui de l'inconnue du dénominateur. Dans notre exemple, le degré de l'inconnue du numérateur est 2, celui de l'inconnue du dénominateur est 1. On soustrait : 2 - 1 = 1.
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Inscrivez votre réponse définitive. Le degré de cette fraction est : 1. On peut aussi écrire : deg [(x 2 + 1)/(6x -2)] = 1.Publicité
Conseils
- Cet article illustre simplement les étapes que vous devriez suivre dans votre tête. Vous n'avez pas besoin de reproduire toutes ces étapes sur papier, même si cela pourrait vous aider au début. En effet, en écrivant noir sur blanc, vous limitez les erreurs possibles.
- Par convention, le degré du polynôme nul (ou polynôme zéro) est en général moins l'infini.
- Pour la troisième étape, les termes linéaires comme x peuvent être écrits x 1 et les constantes non nulles comme 7 par exemple peuvent être écrites 7 x 0
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Références
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/polynomial/degree-of-polynomial.php
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/polynomial/degree-of-polynomial.php
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html
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