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On peut décomposer un nombre en facteurs premiers de façon graphique, sous la forme d'un arbre de facteurs . C'est assez facile à faire et amusant, à condition d'avoir un peu de méthode. Une fois que vous aurez tous vos facteurs, vous pourrez faire ensuite quelques calculs, comme celui du plus grand commun diviseur (PGCD) ou du plus petit commun multiple (PPCM).
Étapes
-
Inscrivez votre nombre au sommet de la page. En effet, on ne sait pas à l'avance quelle hauteur aura votre arbre. On commence un arbre de facteurs par le sommet.
- Tracez ensuite deux traits obliques sous le nombre, l'un ira vers la droite, l'autre vers la gauche.
- Certains préfèrent faire un arbre à l'envers. Ils mettent le nombre en bas et tracent leurs traits obliques vers le haut. C'est plus rare, mais ce n'est pas interdit !
- Exemple
: construisez l'arbre de facteurs de 315.
- .....315
- ...../...\
-
Trouvez deux nombres dont le produit est égal à votre nombre de départ. Vous avez ainsi une première paire de facteurs [1] X Source de recherche .
- Ces deux facteurs seront au bout de vos deux premières « branches ».
- Peu importe la paire que vous allez prendre, pourvu que le produit soit bien égal à votre nombre.
- Si vous ne trouvez pas de diviseur autre que 1 ou votre nombre, c'est que ce dernier est un nombre premier : il n'aura pas d'arbre !
- Exemple
:
- .....315
- ...../...\
- ...5....63
-
Recommencez la même opération avec chacun des deux facteurs. Trouvez une paire de facteurs pour chacun d'entre eux.
- Une fois de plus, les produits de ces nouvelles paires doivent donner le nombre de départ.
- Si vous rencontrez un nombre premier, la branche s'arrêtera là.
- Exemple
:
- .....315
- ...../...\
- ...5....63
- ........./ \
- .......7...9
-
Recommencez la même opération en cascade jusqu'à ne plus avoir que des nombres premiers. Descendez aussi bas qu'il est possible, même si votre arbre est déséquilibré. Un nombre premier est un nombre qui n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même.
- Tracez autant de branches qu'il est nécessaire.
- Le chiffre « 1 » ne doit jamais apparaitre. Vous vous serez arrêté avant.
- Exemple
:
- .....315
- ...../...\
- ...5....63
- ........./..\
- .......7...9
- .........../..\
- ..........3....3
-
Repérez tous les nombres premiers. Au fur et à mesure que l'arbre s'étoffe, il est judicieux et pratique de les repérer dans l'arbre. Chaque fois qu'une branche s'arrête, c'est que vous avez atteint un nombre ou un chiffre premier. Sur l'arbre, vous pouvez, par exemple, les encercler ou les souligner (ci-dessous, on les a mis en gras). Vous pouvez aussi les recenser sous forme d'une liste à part.
- Exemple
: les facteurs premiers sont : 5, 7, 3, 3
- .....315
- ...../...\
- ... 5 ....63
- ............/..\
- ......... 7 ...9
- ............../..\
- ........... 3 .... 3
- Il existe une autre façon de procéder pour le repérage. Si vous désirez avoir tous vos nombres premiers sur la dernière ligne, recopiez à chaque étage, les nombres premiers trouvés en cours de route, et ce, jusqu'en bas.
- Exemple
:
- .....315
- ...../...\
- ....5....63
- .../....../..\
- ..5....7...9
- ../..../..../..\
- 5....7...3....3
- Exemple
: les facteurs premiers sont : 5, 7, 3, 3
-
Rédigez votre réponse sous forme mathématique. Regroupez tous vos facteurs en les multipliant entre eux. Vous mettrez donc un signe « x » entre chaque facteur [2] X Source de recherche .
- Si on vous a demandé de laisser le résultat sous forme d'arbre, ce qu'on vient d'écrire est nul et non avenu.
- Exemple : 5 x 7 x 3 x 3
-
Vérifiez que vous n'avez pas fait d'erreurs. Faites la multiplication que vous avez posée. Si vous trouvez votre nombre de départ, c'est parfait, sinon, il faut revoir votre décomposition, il y a une ou plusieurs erreurs.
- Exemple : 5 x 7 x 3 x 3 = 315
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-
Faites autant d'arbres de facteurs que vous avez de nombres dont on vous demande le PGCD (plus grand commun diviseur). Dans la théorie, pour trouver le PGCG de deux nombres ou plus, il faut commencer par faire la décomposition en facteurs premiers de chacun de ces nombres. Vous pouvez donc utiliser la méthode décrite dans la partie précédente.
- Vous devez créer autant d'arbres qu'il y a de nombres de départ.
- Procédez comme nous vous l'avons détaillé dans la partie « Construisez un arbre de facteurs ».
- Le PGCD de deux nombres entiers naturels non nuls est le plus grand entier qui divise simultanément ces deux entiers. Ce nombre doit diviser parfaitement chacun des deux nombres de départ (pas de reste).
- Exemple
: trouvez le PGCD de 195 et de 260.
- ......195
- ....../....\
- ....5....39
- ........./....\
- .......3.....13
- Les facteurs premiers de 195 sont donc : 3, 5, 13
- .......260
- ......./.....\
- ....10.....26
- .../...\ …/..\
- .2....5...2...13
- Les facteurs premiers de 260 sont donc : 2, 2, 5, 13
-
Repérez les facteurs communs aux deux nombres. Là, soit vous les encerclez, soit vous en dressez la liste à part. Prenez en compte les facteurs qui se répètent plusieurs fois.
- S'il n'y a aucun facteur commun, alors votre PGCD est « 1 ».
- Exemple : on avait établi que les facteurs premiers de 195 étaient 3, 5 et 13 ; ceux de 260 étaient 2, 2, 5 et 13. Comme on peut le remarquer, les facteurs communs sont : 5 et 13.
-
Multipliez les facteurs communs entre eux [3] X Source de recherche . Si vous avez trouvé plusieurs facteurs communs, le PGCD s'obtient en les multipliant entre eux.
- Si vous n'avez trouvé qu'un seul facteur commun, il n'est nul besoin de faire quoi que ce soit : le PGCD est ce nombre-là.
- Exemple
: 195 et 260 ont comme facteurs communs 5 et 13. On les multiplie : 5 x 13 = 65
- 5 x 13 = 65
-
Inscrivez votre réponse finale. L'exercice est maintenant terminé, puisque vous avez votre solution.
- Pour vérifier si votre réponse est correcte, il suffit de diviser chacun de vos nombres de départ par ce PGCD. Si vous obtenez un résultat entier, c'est que vos calculs sont justes.
- Exemple
: le plus grand commun diviseur(PGCD) de 195 et de 260 est donc : 65
- 195 / 65 = 3
- 260 / 65 = 4
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Faites autant d'arbres de facteurs que vous avez de nombres dont on vous demande le PPCM. Dans la théorie, pour trouver le PPCM de deux nombres ou plus, il faut commencer par faire la décomposition en facteurs premiers de chacun de ces nombres. Vous pouvez donc utiliser la méthode décrite dans la partie précédente.
- Procédez comme nous vous l'avons détaillé dans la partie « Construisez un arbre de facteurs ».
- Le multiple d'un nombre est le produit de ce nombre par un autre nombre. Le PPCM de deux entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif qui soit à la fois multiple de ces deux nombres.
- Exemple
: trouvez le PPCM de 15 et 40.
- ....15
- ..../..\
- ...3...5
- Les facteurs premiers de 15 sont : 3 et 5
- .....40
- ..../...\
- ...5....8
- ......../..\
- .......2...4
- ............/ \
- ..........2...2
- Les facteurs premiers de 40 sont : 5, 2, 2 et 2.
-
Repérez les facteurs communs aux deux nombres. Là, soit vous les encerclez, soit vous en dressez la liste à part.
- Si vous cherchez le PPCM de plus de deux nombres, il faut encercler ou relever tous les facteurs communs à deux. Il n'est pas nécessaire qu'il soit tous présents dans toutes les décompositions.
- Repérez le facteur ayant le plus fort exposant. Ainsi, si un nombre a comme facteur « 2 » et qu'il apparait deux fois (soit, 2 2 ) et que l'autre nombre a également « 2 » comme facteur, mais une seule fois (soit, 2 1 ). Alors on ne retiendra que le facteur ayant le plus fort exposant. Si l'exposant est 1, on prend ce facteur-là.
- Exemple : 15 se décompose en 3 et 5 ; 40 est le produit de 2, 2, 2 et 5. Comme on le voit, seul 5 est commun.
-
Multipliez ces facteurs communs. En fait, on doit multiplier tous les facteurs différents et on ne prend pour chacun que ceux qui ont le plus fort exposant.
- Le facteur commun ne compte que pour un. Tous les autres sont utilisés individuellement.
- Exemple
: le facteur commun est 5, on ne le compte qu'une fois. Ensuite, on le multiplie par le facteur restant de 15, soit le 3 (5 x 3), puis on multiplie à nouveau par les facteurs restants de 40, soit 2, 2 et 2. Au final, on a :
- PPCM = (5) x (3) x (2 x 2 x 2) = 120
-
Inscrivez votre réponse finale. L'exercice est maintenant terminé, puisque vous avez votre solution.
- Exemple : le PPCM de 15 et 40 est : 120.
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