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Une parabole est une courbe plane, symétrique et en forme d'arche plus ou moins ouverte. Tout point de cette courbe se situe à égale distance d'un point fixe (le foyer) et d'une droite particulière (la directrice). Pour tracer une parabole, il vous suffit alors de savoir placer son sommet et de calculer, à l'aide de l'équation, les coordonnées de quelques points de chaque côté de ce sommet : il suffit alors de relier tous ces points.
Étapes
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Comprenez bien quelles sont les différentes parties d'une parabole. Avant de commencer, il faut bien comprendre ce qu'est cette courbe particulière et le vocabulaire qui s'y rattache. Ces termes sont les seuls que nous utiliserons. Voici donc les différentes parties d'une parabole [1] X Source de recherche .
- Le foyer : c'est un point particulier qui se trouve à l'intérieur de la courbe et qui sert de point de référence au tracé de la courbe.
- La directrice (x) de la parabole : c'est une droite. La parabole est le lieu géométrique des points du plan équidistants d'un point fixe (F) appelé foyer et d'une droite fixe (d) appelée directrice .
- L'axe de symétrie : l'axe de symétrie est une ligne verticale qui passe par le foyer (F) et le sommet de la parabole. Tout point de la parabole a un point de symétrie par rapport à cette verticale.
- Le sommet (ou vertex) : c'est le point d'intersection de l'axe de symétrie et de la parabole. Si cette dernière s'ouvre vers le haut, alors le sommet est un minimum ; si elle ouvre vers le bas, alors le sommet est un maximum .
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Sachez reconnaitre l'équation d'une parabole. Elle se présente sous la forme suivante : y = ax 2 + bx + c . On peut aussi la trouver sous la forme : y = a(x – h)2 + k , mais, pour illustrer notre propos, nous prendrons la première formulation.
- Si le « a » de l'équation est positif, la parabole s'ouvrira vers le haut en forme de « U » et le sommet sera un minimum. Si au contraire « a » est négatif, alors la parabole s'ouvrira vers le bas et le sommet sera un maximum. Plus amusant est le moyen mnémotechnique suivant : si « a » est positif , votre courbe ressemble à un sourire ; si « a » est négatif , alors la courbe ressemble à une bouche qui exprime la déception [2] X Source de recherche .
- Prenons l'équation suivante : y = 2x 2 -1 . Comme vous le voyez, « a » (= 2) est positif, donc la courbe s'ouvrira vers le haut ( sourire ).
- Si c'est « y » qui est élevé au carré et non plus « x », la courbe s'ouvrira sur les côtés, soit à droite, soit à gauche, en forme de « C » regardant alors dans chacune de ces directions. Ainsi, la parabole d'équation : x 2 = y + 3 s'ouvre sur la droite, elle a une forme de « C ».
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Déterminez l'axe de symétrie. Rappelons que l'axe de symétrie est une droite verticale qui passe par le sommet de la parabole. Tous les points de cette droite ont donc la même abscisse qui est aussi celle du sommet, puisque celui-ci se trouve sur l'axe de symétrie. Pour savoir où passe cet axe, il suffit d'utiliser cette formule : x = -b/2a [3] X Source de recherche .
- Si l'on reprend notre exemple précédent, on a a = 2, b = 0 et c = 1. Ces valeurs vous permettent alors de calculer l'abscisse de l'axe de symétrie : x = -0/(2 x 2) = 0 .
- L'axe de symétrie a pour équation : x = 0. C'est l'axe-origine des ordonnées.
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Déterminez le sommet. Une fois l'axe de symétrie déterminé, vous pouvez remplacer le « x » de l'équation par la valeur de l'axe afin d'obtenir l'ordonnée « y » du sommet. Dans notre exemple (y = 2x 2 - 1), on a x= 0 (axe de symétrie), ce qui donne : y = 2 x 0 2 - 1 = 0 - 1 = -1. Le sommet se situe au point (0, -1) : c'est à cet endroit que la courbe croise l'axe de symétrie qui se trouve être ici l'axe des « y » [4] X Source de recherche .
- Généralement, on donne comme coordonnées théoriques du sommet les valeurs littérales (h, k). Ici, h vaut 0 et k est égal à -1. Si l'on vous donnait une équation de parabole sous la forme : y = a(x – h)2 + k , vous n'auriez aucun calcul à faire, puisque le sommet se trouverait au point de coordonnées (h, k). La courbe serait alors facile à tracer.
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Dressez un tableau des images de « x ». Tracez maintenant un tableau à deux rangées dans lequel vous mettrez des valeurs de « x » sur la première. Sur la deuxième, vous mettrez, après calcul, les valeurs « y » correspondantes. L'objectif est de trouver quelques points pour tracer la courbe.
- On met au milieu de la rangée, la valeur de l'axe de symétrie.
- Mettez les 2 ou 3 valeurs de « x » situés avant la valeur du milieu et les 2 ou 3 valeurs situées après . Nous vous rappelons que la parabole est symétrique.
- Pour reprendre notre exemple, on avait trouvé un axe de symétrie d'équation : x = 0. On met cette valeur au centre de la rangée du haut.
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Calculez ensuite les valeurs de « y » correspondantes. Dans l'équation de départ, remplacez « x » par chacune des valeurs de votre tableau. Inscrivez le résultat de vos calculs dans la rangée du bas, à l'aplomb du « x » correspondant. Dans notre exemple, on obtient les résultats suivants.
- Avec x = -2, y se calcule ainsi : y = 2 x (-2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Avec x = -1, y se calcule ainsi : y = 2 x (-1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Avec x = 0, y se calcule ainsi : y = 2 x (0) 2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Avec x = 1, y se calcule ainsi : y = 2 x (1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Avec x = 2, y se calcule ainsi : y = 2 x (2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
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Remplissez votre tableau. Il suffit d'avoir cinq points, dont le sommet, pour tracer une parabole. Suite à vos calculs, vous avez trouvé les cinq points suivants : (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Souvenez-vous que la parabole est symétrique par rapport à son axe de… symétrie. Cela signifie en clair que pour deux abscisses opposées, vous aurez une même valeur d'ordonnée. Ainsi, vous avez calculé l'image de x = 2 et celle de x = -2. Dans les deux cas, y = 7. Si vous testez avec x = 1 et x = -1, vous remarquez le même phénomène : c'est l'effet de symétrie !
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Placez tous ces points sur un repère orthonormé. Chacune des colonnes de votre tableau vous donne les coordonnées (x, y) d'un des points de la courbe. Placez ces points sur un repère et veillez à les mettre aux bons emplacements.
- L'axe des « x » s'étend de gauche à droite, celui des « y » va de bas en haut.
- Par rapport au point-origine (0,0), les valeurs positives de « y » seront au-dessus, tandis que les valeurs négatives seront au-dessous.
- Par rapport au point-origine (0,0), les valeurs positives de « x » seront à droite, tandis que les valeurs négatives seront à gauche.
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Reliez les points dans l'ordre. Pour tracer correctement la courbe de la parabole, il suffit de relier dans l'ordre les points trouvés précédemment. Avec l'équation choisie comme exemple, vous allez obtenir une parabole ouverte vers le haut, en forme de « U » donc. La courbe doit être tracée à la main et non à la règle. Ainsi, vous aurez une courbe bien lisse et non chaotique. En général, mais ce n'est pas obligatoire, on peut prolonger chaque branche de la parabole par des traits pointillés pour montrer que la parabole continue de chaque côté, quel que soit le sens d'ouverture de la courbe [5] X Source de recherche .Publicité
Si vous devez décaler une parabole sans avoir besoin de recalculer le sommet et les points, il suffit de savoir lire l'équation de la parabole translatée, de savoir de combien d'unités on déplace la parabole et dans quel sens (bas, haut, gauche, droite). Partons de la parabole : y = x 2 . Celle-ci a son sommet au point de coordonnées (0, 0) et s'ouvre vers le haut. Elle passe par les points de coordonnées : (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), (2, 4), etc. Connaissant cela, vous allez pouvoir tracer des paraboles identiques à celle-ci, mais décalées dans le repère. Voici comment on opère [6] X Source de recherche :
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Déplacez la courbe vers le haut. Soit l'équation : y = x 2 +1. Tout ce que vous avez à faire est de déplacer la parabole vers le haut d'une (1) unité, le sommet se situe alors au point (0, 1) et non plus en (0, 0). Cette nouvelle courbe a exactement la même forme que l'originale, simplement toutes les ordonnées (« y ») sont augmentées d'une unité. Ainsi, si la droite passait en (-1, 1) et en (1, 1), la nouvelle parabole passe par les points de coordonnées (-1, 2) et (1, 2), etc.
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Déplacez la courbe vers le bas. Soit l'équation : y = x 2 -1. Tout ce que vous avez à faire est de déplacer la parabole vers le bas d'une (1) unité, le sommet se situe alors au point (0, -1) et non plus en (0, 0). Cette nouvelle courbe a exactement la même forme que l'originale, simplement toutes les ordonnées (« y ») sont diminuées d'une unité. Ainsi, si la droite passait en (-1, 1) et en (1, 1), la nouvelle parabole passe par les points de coordonnées (-1, 0) et (1, 0), etc.
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Déplacez la courbe vers la gauche. Soit l'équation y = (x + 1) 2 . Tout ce que vous avez à faire est de déplacer la parabole vers la gauche d'une (1) unité, le sommet se situe alors au point (-1, 0) et non plus en (0, 0). Cette nouvelle courbe a exactement la même forme que l'originale, simplement toutes les abscisses (« x ») sont diminuées d'une unité. Ainsi, si la droite passait en (-1, 1) et en (1, 1), la nouvelle parabole passe par les points de coordonnées (-2, 1) et (0, 1), etc.
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Déplacez la courbe vers la droite. Soit l'équation y = (x - 1) 2 . Tout ce que vous avez à faire est de déplacer la parabole vers la gauche d'une (1) unité, le sommet se situe alors au point (1, 0) et non plus en (0, 0). Cette nouvelle courbe a exactement la même forme que l'originale, simplement toutes les abscisses (« x ») sont augmentées d'une unité. Ainsi, si la droite passait en (-1, 1) et en (1, 1), la nouvelle parabole passe par les points de coordonnées (0, 1) et (2, 1), etc.Publicité
Références
- ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/parabola.html
- ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algebra/ac4/lpara.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.sparknotes.com/math/algebra1/quadratics/section1.rhtml
- http://www.mathsisfun.com/definitions/parabola.html
- http://www.sparknotes.com/math/algebra1/quadratics/section1.rhtml
- http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
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