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La pente d'une ligne est la mesure du coefficient de sa variation. Ceci s'appliquera aux lignes droites, où la pente vous indiquera jusqu'où elle pourra monter ou descendre. La pente peut aussi être calculée mathématiquement pour une ligne courbe où elle sera en ce cas appelée la « dérivée » d'une fonction. De quelque façon que ce soit, Il convient de la considérer comme le « coefficient de variation » d'un graphe résultant des variations de paramètres d'une fonction.
Étapes
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Déterminez le taux de variation et la direction d'une ligne droite. Il est facile de déterminer la pente d'une équation linéaire pour autant que vous en connaissiez une. La méthode qui suit ne s'appliquera que si :
- il n'existe pas d'exposant
- il n'y a que deux variables et qu'aucune des deux ne soient fractionnaires (qu'elle ne soit pas sous la forme
- l'équation peut être simplifiée sous la forme , où m et b sont des constantes qui peuvent être entières ou fractionnaires (des nombres comme 3, 10, -12 ) [1] X Source de recherche
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Calculez le nombre m devant x pour déterminer la pente. Si vous avez déjà simplifié votre équation sous la forme , extrayez simplement la valeur du terme noté m . Il correspond à la pente de la fonction. Notez en passant que ce nombre est toujours multiplié par le terme x de l'équation. Si cela vous parait quelque peu confus, reportez-vous aux exemples qui suivent :
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- en ce cas, Pente = 2
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- ici, Pente = -1
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- et ici, Pente = [2] X Source de recherche
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Décomposez l'équation jusqu'à isoler une variable. Si la valeur de la pente ne vous apparait pas immédiatement, vous pouvez procéder en effectuant toutes les opérations arithmétiques possibles pour isoler une variable, qui sera généralement celle notée y . Rappelez-vous toutefois que ce que vous appliquerez à un des termes de votre équation, par exemple l'ajout de 5, devra l'être aussi à l'autre terme. Le but de l'opération étant d'obtenir une fonction présentable sous la forme Par exemple :
- calculez la pente de l'équation
- en la réduisant sous la forme
:
- la pente est égale à
- La pente est égale à m = 4 [3] X Source de recherche .
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Utilisez deux points d'une droite pour déterminer sa pente. S'il ne vous a été donné qu'une droite tracée sur un graphique sans que vous n'ayez connaissance de la fonction qui a permis de tracer cette ligne, vous pourrez facilement en déterminer la pente. Vous n'aurez besoin en ce cas que de deux points placés sur la droite, que vous entrerez dans l'équation . En déterminant la pente de l'équation, prenez en compte les observations qui suivent afin de savoir si vous êtes sur la bonne voie :
- une droite tendant vers le haut et vers la droite du graphe caractérisera une pente positive
- une droite tendant vers le bas et vers la droite du graphe caractérisera une pente négative
- plus l'orientation verticale d'une droite est forte (que ce soit vers le haut ou vers le bas du graphe), plus la valeur absolue de la pente sera forte
- la pente d'une droite parfaitement horizontale sera égale à 0
- la pente d'une droite parfaitement verticale sera déterminée comme infinie et annotée par le symbole grec ∞ [4] X Source de recherche
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Repérez deux points de la droite. Utilisez le graphe pour déterminer les coordonnées x et y respectives de ces deux points par lesquels la droite dont vous voulez déterminer la pente doit obligatoirement passer. Considérez par exemple que les deux points que vous venez de choisir ont respectivement les coordonnées (2, 4) et (6, 6) [5] X Source de recherche .
- La coordonnée x de chacun de ces points en est le premier des deux nombres, la coordonnée y le second, c'est-à-dire celui qui sera placé après la virgule.
- À chacune des coordonnées x correspond exclusivement une coordonnée y .
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Étiquetez vos points x 1 , y 1 , x 2 , y 2 . Prenez soin de les exprimer sous la forme x, y . Étiquetez les coordonnées x et y de chacun des points déterminés ci-dessus ((2, 4) et (6, 6) et vous devriez obtenir :
- x 1 : 2
- y 1 : 4
- x 2 : 6
- y 2 : 6 [6] X Source de recherche
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Insérez les coordonnées des points dans la formule de calcul. Pour déterminer la pente de la droite en cours d'analyse, vous devrez utiliser la formule suivante : . Vous n'avez plus maintenant qu'à y insérer les coordonnées de vos points et à simplifier l'équation obtenue.
- Point initiaux de la droite : (2,4) et (6,6).
- Insérez les coordonnées dans la formule :
- Simplifiez l'équation pour obtenir le résutat :
- = Pente
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Explication sur le fonctionnement de la formule : La pente d'une ligne droite est le coefficient correspondant à sa variation verticale (vers le haut ou le bas) en fonction de sa variation horizontale (vers la droite), et s'obtient mathématiquement en divisant la différence des coordonnées de cette droite par rapport à l'axe vertical y par la différence des coordonnées correspondantes à l'axe horizontal x . En termes mathématiques, l'axe horizontal x est aussi appelé abscisse et l'axe vertical y se nomme ordonnée .
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Identifiez les différentes formes d'énoncés d'un problème. L'équation permettant de déterminer une pente se présente sous la forme . Elle peut tout aussi bien être présentée en utilisant la lettre grecque « Δ », aussi appelée delta , ayant pour signification généralisée le terme « différence ». Vous pourrez donc fréquemment voir en mathématiques les termes « Δy/Δx », signifiant différence de y / différence de x . Dans différents cas, la différence pourra être énoncée par la lettre « d », toujours écrite en minuscule. Une des expressions les plus communément utilisées en électricité ou en électronique est par exemple dV/dT , exprimant ici « différence de tension / différence de temps ». Ces énoncés se résument tous à la même notion de pente ou de coefficient de variation d'un paramètre en fonction d'un autre.Publicité
Méthode 3
Méthode 3 sur 3:
Déterminer la pente d'une courbe avec les calculs différentiels
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Choisissez la manière de déterminer les dérivées de fonctions. Les dérivées d'une fonction donnée vous permettent de déterminer le coefficient de changement (ou pente) d'un point unique sur une ligne. Que cette ligne soit une courbe ou une droite n'a que peu d'importance, la seule différence étant que la ligne que vous allez analyser subit une multitude de changements et n'a donc plus une seule pente sinon plusieurs. La façon dont vous allez déterminer les dérivées sera différente selon le type de fonction auquel vous serez confronté, et avant de vous lancer plus avant, vous devrez choisir la façon de déterminer les dérivées communes.
- Revisez le calcul des dérivées dans cet article .
- Les dérivées les plus simples utilisées dans les équations exponentielles élémentaires sont faciles à trouver au moyen de simples raccourcis . C'est ce que nous utiliserons pour la suite de ce calcul.
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Comprenez bien les questions qui vous sont posées. Il ne vous sera pas toujours demandé explicitement de calculer la dérivée ou la pente d'une courbe. Il pourrait vous être demandé de déterminer le coefficient de variation d'une courbe en un point donné (x, y) ou d'établir l'équation permettant de déterminer la pente d'un graphique afin de vous en faire calculer la dérivée, ou encore de déterminer la pente de la droite tangente au point (x, y), où le propos sera de vous faire calculer la pente de la courbe à un point spécifique (x, y).
- Dans la méthode exposée ici, évaluez la question : Quelle est la pente de la courbe caractérisée par la fonction à son point de coordonnées (4, 2) ? [7] X Source de recherche .
- La dérivée est souvent représentée sous la forme ou .
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Calculez la dérivée de votre fonction. Il n'y a pas lieu ici d'établir le graphique lui correspondant, seul l'énoncé de la fonction sera nécessaire. Nous allons utiliser ici la fonction . En suivant la méthode décrite ici , vous pourrez calculer la dérivée de cette fonction.
- L'équation de calcul de la dérivée est :
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Insérez les coordonnées du point dans l'équation. La différentielle d'une fonction vous donnera sa pente en un point donné. En d'autres mots, f'(x) correspond à la pente d'une fonction à tout point (x,f(x)). Notre problème pratique se résoudra de la façon expliquée ci-après.
- Quelle la pente d'une ligne définie par la fonction au point de coordonnées (4, 2) ?
- Dérivée de l'équation
- Insérez le point x
dans l'équation :
- Déterminez la pente de la fonction :
- La pente de la fonction au point (4,2) est égale à 22.
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Vérifiez si possible votre point sur un graphe. En mathématiques, tous les points n'ont pas de pente. Les mathématiques vous amèneront à des équations complexes et à des graphiques assez difficiles à interpréter, et tous les points n'y ont pas de pente, et peut-être même n'ont-ils pas d'existence. Utilisez si possible une calculatrice graphique pour vérifier la pente de votre graphe. Si vous ne disposez pas de cet instrument, dessinez la ligne tangente à partir du point donné et de sa pente et vérifiez si cela vous semble conforme aux résultats que vous devriez obtenir.
- Les lignes tangentes sont simplement des lignes ayant exactement la même pente que le point sur la courbe. Pour en dessiner une, suivez votre pente vers le haut (si elle est positive) ou vers le bas (si elle est négative). Dans notre exemple, il vous faudra aller de 22 points vers la droite puis monter d’un point vers le haut. Repérez la coordonnée correspondante puis tracez votre ligne tangente entre les points (4, 6) et (26,3).
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Références
- ↑ http://www.numbertheory.org/book/cha1.pdf
- ↑ https://www.ixl.com/math/grade-8/find-the-slope-of-a-graph
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://www.virtualnerd.com/algebra-1/linear-equation-analysis/slope-rate-of-change/slope-examples/slope-from-graph
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/implicitdiffdirectory/ImplicitDiff.html
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