कैसे द्विपद समीकरण का गुणनखंड निकालें (Factor Binomials)

सहयोगी लेखक द्वारा David Jia

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यह आर्टिकल लिखा गया सहयोगी लेखक द्वारा David Jia . डेविड जिया एक एकेडमिक ट्यूटर और LA मैथ ट्यूटोरिंग के संस्थापक हैं जो लॉस एंजेलिस कैलिफ़ोर्निया में स्थित एक प्राइवेट ट्यूशन कंपनी है | 10 वर्षों से भी अधिक समय के टीचिंग एक्सपीरियंस के साथ डेविड ने सभी उम्र के स्टूडेंट्स और सभी कक्षाओं में कई सारे विषयों पर कम किया है और इसके साथ ही कॉलेज एडमिशन्स काउन्सलिंग और SAT, ACT, ISEE और भी कई टेस्ट की तैयारी कराने पर भी काम किया है | SAT में परफेक्ट 800 मैथ्स स्कोर और 690 इंग्लिश स्कोर हसिल करने के बाद डेविड को मियामी यूनिवर्सिटी से डिकिन्सन स्कॉलरशिप से नवाजा गया था, जहाँ इन्होनें बिज़नस एडमिनिस्ट्रेशन में बैचलर डिग्री पूरी की थी | इसके अलावा, डेविड ने लार्सन टेक्स्ट्स, बिग आइडियाज लर्निंग और बिग आइडियाज मैथ जैसी टेक्स्टबुक कम्पनीज के लिए ऑनलाइन वीडियो देने के लिए इंस्ट्रक्टर के रूप में भी काम किया है |

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अलजेब्रा में, यदि किसी व्यंजक (expression) में दो पद मौजूद है और वह प्लस (+) या माइनस (-) साइन से जुड़े हैं, तो उस व्यंजक को द्विपद व्यंजक (Binomial Expressions) कहते हैं। उदाहरण के लिए, $ax+b$ द्विपद व्यंजक है। इस व्यंजक में, पहला पद या टर्म हमेशा चर या वेरिएबल (variable) होता है, और दूसरा पद या तो वेरिएबल या कांस्टेंट होता है। द्विपद समीकरण का गुणनखंड या फैक्टर (factor) निकालना अर्थात समीकरण से कॉमन संख्या या पद को ढूँढकर ब्रैकेट से बाहर लिखना, जिससे दोबारा ब्रैकेट में मौजूद पदों से गुणा करने पर आपको ओरिजिनल द्विपद समीकरण मिल सकें। समीकरण के फैक्टर निकालने से द्विपद समीकरण को हल करने में आपको मदद मिलेगी। द्विपद समीकरण के फैक्टर कैसे निकालते हैं, यह आप इस विकिहाउ आर्टिकल से सीख सकते हैं।

विधि 1

विधि 1 का 3:

द्विपद समीकरण का गुणनखंड या फैक्टर निकालना (Factoring Binomials)

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1
फैक्टर निकालने की बेसिक पद्धति को याद करें: किसी बड़ी संख्या को उसके गुणनफल के रूप में लिखने की क्रिया को गुणनखंड या फैक्टराइज़ेशन (factorization) कहते हैं। इसके हर एक भाग को "फैक्टर (factor)" कहते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 को चार विभिन्न संख्याओं से पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है: 1, 2, 3, और 6। इसलिए, संख्या 6 के फैक्टर 1, 2, 3, और 6 है।
- संख्या 32 के फैक्टर 1, 2, 4, 8, 16, और 32 है।
- संख्या "1" और जिस संख्या का आप गुणनखंड निकालने वाले हैं, दोनों ही उस संख्या के फैक्टर होते ही हैं। इसलिए, छोटी संख्या जैसे 3, के फैक्टर 1 और 3 है।
- संख्या को पूरी तरह से विभाजित करने वाली संख्या या पूर्णांक को फैक्टर कहते हैं। आप 32 को 3.564 से, या 21.4952 से भी विभाजित कर सकते हैं, लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि यह उस संख्या के फैक्टर है, यह केवल एक दशमलव संख्या है।
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2
द्विपद के पदों को ऑर्डर में लिखें ताकि उसे पढ़ने में आसानी हो सकें: द्विपद समीकरण केवल दो पदों को जोड़ना या घटाना है जिसमें कम से कम एक पद चर या वेरिएबल (variable) होना चाहिए। कभी-कभार चर पद में घातांक (exponents) भी मौजूद होता है, जैसे $x^{2}$ या $5y^{4}$ । जब आप पहली बार द्विपद का गुणनखंड करेंगे, तब समीकरण को ऑर्डर में अर्थात चर पद को आरोही (ascending) क्रम में लिखें यानि बड़े घातांक के पद को समीकरण में सबसे आखिर लिखें। उदाहरण के लिए:
- $3t+6$ → $6+3t$
- $3x^{4}+9x^{2}$ → $9x^{2}+3x^{4}$
- $x^{2}-2$ → $-2+x^{2}$
  - गौर करें कि व्यंजक में निगेटिव साइन को संख्या 2 के आगे कैसे लिखा गया है। यदि दूसरे पद को पहले पद से घटाया जा रहा है, तो उस पद के आगे मौजूद निगेटिव साइन के साथ ही उसे आगे लिखने की आवश्यकता होगी।
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3
दोनों पदों से महत्तम समापवर्तक (GCF - greatest common factor) निकालें: महत्तम समापवर्तक (GCF) अर्थात ऐसी सबसे बड़ी संख्या जिससे द्विपद समीकरण के दोनों पद विभाजित हो सकें। यदि ऐसा करने में आपको मुश्किल आ रही है, तो केवल दोनों संख्याओं के फैक्टर निकालें, और फिर उनमें से सबसे बड़ी कॉमन संख्या देखें। उदाहरणार्थ:
- प्रैक्टिस के लिए सवाल : $3t+6$
  - संख्या 3 के फैक्टर है: 1, 3
  - संख्या 6 के फैक्टर है: 1, 2, 3, 6
  - दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (GCF) 3 है।
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4
द्विपद के हर एक पद को महत्तम समापवर्तक (GCF) से विभाजित करें: जब आप महत्तम समापवर्तक (GCF) पता कर लेंगे, तब आपको हर पद से कॉमन फैक्टर को हटाने की आवश्यकता होगी। याद रखें, आप केवल पदों को सिम्पल कर रहे हैं, उन्हें छोटे विभाजन के सवाल में बदल रहे हैं। यदि आपने अब तक सब कुछ सही तरीके से किया है, तो महत्तम समापवर्तक से दोनों पदों को निम्नलिखित तरीके से विभाजित करें:
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $3t+6$
- इस समीकरण का महत्तम समापवर्तक है: 3
- दोनों पदों में से महत्तम समापवर्तक को हटा दें: ${\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2$
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5
नए समीकरण को महत्तम समापवर्तक से गुणा करें: पहले स्टेप में, आपने समीकरण से GCF 3 को हटा दिया ताकि आपको $t+2$ मिल सकें। लेकिन आपने GCF 3 को समीकरण से पूरी तरह अलग नहीं किया है, आपको उसे कॉमन निकालकर लिखने की आवश्यकता होगी। संख्या को बिना एडजस्ट किए आप संख्या को ऐसे ही लुप्त या इरेज़ नहीं कर सकते हैं! इसलिए अंत में मिलें समीकरण को महत्तम समापवर्तक या GCF से गुणा करें। उदाहरण के लिए:
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $3t+6$
- इस समीकरण का महत्तम समापवर्तक है: 3
- दोनों पदों में से महत्तम समापवर्तक को हटा दें: ${\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2$
- महत्तम समापवर्तक या GCF से अंतिम समीकरण को गुणा करें: $3(t+2)$
- फैक्टराइज़ेशन करने के बाद अंतिम उत्तर है: $3(t+2)$
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6
उत्तर को जाँचने के लिए समीकरण को फिर से गुणा करें ताकि आपको ओरिजिनल समीकरण मिल सकें: यदि आपने पूरे प्रॉब्लम को सही तरह से फैक्टराइज़ किया है, तो आपका उत्तर सही है यह जाँचना बहुत ही आसान कार्य है। आपको केवल महत्तम समापवर्तक या GCF से ब्रैकेट में लिखें पदों को अलग-अलग गुणा करने की आवश्यकता होगी। यदि गुणा करने पर आपको ओरिजिनल समीकरण मिल जाएं, तो आपने फैक्टराइज़ेशन सही किया है। शुरूआत से लेकर आखिर तक, निम्नलिखित उदाहरण को हल करके उसके फैक्टर निकालें: $12t+18$
- समीकरण में मौजूद पदों को ऑर्डर में लिखें: $18+12t$
- इस समीकरण में दोनों पदों का महत्तम समापवर्तक या GCF है: $6$
- दोनों पदों में से महत्तम समापवर्तक को हटा दें: ${\frac {18t}{6}}+{\frac {12t}{6}}=3+2t$
- महत्तम समापवर्तक या GCF से नए समीकरण को गुणा करें: $6(3+2t)$
- उत्तर की जाँच करें: $(6*3)+(6*2t)=18+12t$

विधि 2

विधि 2 का 3:

समीकरण को हल करने के लिए द्विपद के गुणनखंड निकालना (Factoring Binomials to Solve Equations)

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1
समीकरण को सरल और आसानी से हल करने के लिए गुणनखंड का इस्तेमाल करें: द्विपद व्यंजक, खासकर कठिन द्विपद में आपको सारे पद एक समान दिखाई देंगे। उदाहरण के लिए, $5y-2y^{2}=-3y$ व्यंजक को हल करने का प्रयास करें। घातांक वाले इस समीकरण को हल करने का एक तरीका यह है कि, सर्वप्रथम व्यंजक या समीकरण के फैक्टर निकालें।
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $5y-2y^{2}=-3y$
- याद रखें कि द्विपद में केवल दो पद मौजूद होते हैं। यदि व्यंजक में दो से अधिक पद मौजूद है, तो आपको बहुपद कैसे हल करते हैं यह सीखने की आवश्यकता होगी।
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2
समीकरण को शून्य के बराबर दिखाने के लिए समीकरण की दोनों तरफ जोड़ना या घटाना करें: यह पूरी प्रक्रिया गणित के सबसे बुनियादी फैक्ट पर निर्भर करती है: और फैक्ट यह है कि कुछ भी यदि शून्य से गुणा करें, तो उत्तर शून्य ही होता है। इसलिए यदि आपका समीकरण शून्य के बराबर हो जाएं, तो फैक्टर टर्म में से एक टर्म या पद शून्य के बराबर होना ही चाहिए! ऐसा करने के लिए, समीकरण में पद को जोड़ने या घटाने की आवश्यकता होगी।
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $5y-2y^{2}=-3y$
- समीकरण को शून्य के बराबर दिखाएं: $5y-2y^{2}+3y=-3y+3y$
  - $8y-2y^{2}=0$
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3
समीकरण के बाईं तरफ अर्थात नॉन-ज़िरो साइड को नॉर्मल तरीके से फैक्टराइज़ करें: इस समय, इस स्टेप में आप समीकरण की दूसरी साइड यानि शून्य लिखे साइड की तरफ अनदेखा करें। केवल समीकरण का महत्तम समापवर्तक या GCF पता करें, महत्तम समापवर्तक से समीकरण में मौजूद पदों को विभाजित करें, और फिर समीकरण को फैक्टर के फॉर्म में लिखें।
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $5y-2y^{2}=-3y$
- समीकरण को शून्य के बराबर दिखाएं: $8y-2y^{2}=0$
- समीकरण को फैक्टर फॉर्म में लिखें: $2y(4-y)=0$
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4
दोनों ब्रैकेट को शून्य के बराबर दिखाएं: अभ्यास में दिए गए उदाहरण में आपने 4 – y को 2y से गुणा किया है, और इसे शून्य के बराबर दिखाएं। चूंकि शून्य से कुछ भी गुणा करें उत्तर शून्य ही मिलता है, इसका अर्थ यह है कि 2y या 4 – y बराबर शून्य है। दो अलग-अलग समीकरण लिखें ताकि दोनों समीकरण के लिए y की वैल्यू क्या है यह पता लग सकें।
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $5y-2y^{2}=-3y$
- समीकरण को शून्य के बराबर दिखाएं: $8y-2y^{2}+3y=0$
- समीकरण को फैक्टर फॉर्म में लिखें: $2y(4-y)=0$
- समीकरण के दोनों फैक्टर्स को 0 के बराबर दिखाएं:
  - $2y=0$
  - $4-y=0$
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5
अंतिम उत्तर या चर (variable) की वैल्यू निकालने के लिए दोनों समीकरण को हल करें: आपको शायद एक या एक से अधिक उत्तर मिल सकते हैं। याद रखें, समीकरण के एक साइड केवल शून्य है, इसलिए एक ही समीकरण के लिए y की विभिन्न वैल्यूज हो सकती है। अभ्यास के तौर पर दिए गए उदाहरण को आखिर तक हल करने के बाद:
- $2y=0$
  - ${\frac {2y}{2}}={\frac {0}{2}}$
  - y = 0
- $4-y=0$
  - $4-y+y=0+y$
  - y = 4
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6
समीकरण को सिद्ध करने के लिए, y की वैल्यू को वापस समीकरण में सब्स्टिट्यूट करें: यदि आपने y की सही वैल्यू कैलकुलेट की है, तो समीकरण को हल करने के लिए आप उस वैल्यू का इस्तेमाल कर सकते हैं। समीकरण में मौजूद हर वेरिएबल y के स्थान पर निम्नलिखित तरीके से उसकी वैल्यू सब्स्टिट्यूट करें। चूंकि y = 0 और y = 4 है, आपका समीकरण इस प्रकार होगा:
- $5(0)-2(0)^{2}=-3(0)$
  - $0+0=0$
  - $0=0$ अर्थात आपका उत्तर सही है।
- $5(4)-2(4)^{2}=-3(4)$
  - $20-32=-12$
  - $-12=-12$ अर्थात आपका यह उत्तर भी सही है।

विधि 3

विधि 3 का 3:

मुश्किल समीकरण के फैक्टर निकालना

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1
याद रखें प्रत्येक वेरिएबल जिसमें घातांक मौजूद होता है उसे भी फैक्टर माना जाता है: याद रखें कि गुणनखंड या फैक्टराइज़ेशन करने पर आप पता कर सकते हैं, कि समीकरण को कौन से पूर्णांक से पूरी तरह से विभाजित कर सकते हैं। व्यंजक $x^{4}$ को $x*x*x*x$ भी लिख सकते हैं। अर्थात, यदि दूसरे पद में x मौजूद है, तो आप इसमें से x कॉमन निकाल सकते हैं। वेरिएबल को साधारण संख्या की तरह ही समझें। उदाहरण के लिए:
- व्यंजक $2t+t^{2}$ के आप फैक्टर निकाल सकते हैं, क्योंकि इस व्यंजक के दोनों पदों में t मौजूद है। फैक्टराइज़ेशन या कॉमन टर्म निकालने के बाद आपको $t(2+t)$ मिलेगा।
- आप समीकरण में, एक साथ कई वेरिएबल्स को कॉमन निकाल सकते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक $x^{2}+x^{4}$ में, दोनों पदों में समान चर या वेरिएबल $x^{2}$ मौजूद है। व्यंजक से फैक्टराइज़ेशन या कॉमन टर्म निकालने के बाद आपको $x^{2}(1+x^{2})$ मिलेगा।
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2
बिना हल किए गए द्विपद में समान पदों को पास-पास लिखें: उदाहरण के लिए, व्यंजक $6+2x+14+3x$ के फैक्टर निकालना है। इस व्यंजक में ऐसे दिखाई देता है कि इसमें चार पद मौजूद है, लेकिन ध्यान से देखने पर आपको पता चलेगा कि इसमें केवल दो टर्म ही है। आप समान पदों को जोड़ सकते हैं। चूंकि 6 और 14 कॉन्सेंट है और 2x और 3x में समान चर या वेरिएबल है, तो इन पदों को जोड़ दें। फिर इस व्यंजक (expression) का फैक्टर निकालना आसान हो जाएगा:
- ओरिजिनल उदाहरण है: $6+2x+14+3x$
- समीकरण के पदों को अरेंज करें: $2x+3x+14+6$
- समान पदों को जोड़ दें: $5x+20$
- महत्तम समापवर्तक या GCF पता करें: $5(x)+5(4)$
- समीकरण के फैक्टर है: $5(x+4)$
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3
"दो पर्फेक्ट स्केवर संख्या के अंतर वाले समीकरण" को पहचानना: पर्फेक्ट स्क्वेर एक ऐसी संख्या है जिसका स्क्वेर रूट या वर्गमूल पूर्णांक ही होता है, जैसे $9$ $(3*3)$ , $x^{2}$ $(x*x)$ , या $144t^{2}$ $(12t*12t)$ है। यदि दिए गए द्विपद समीकरण में दो पर्फेक्ट स्क्वेर संख्याओं को घटाया गया है जैसे $a^{2}-b^{2}$ , तो आपको सर्वसमिका या आइडेंटिटी (identity) का इस्तेमाल करने की आवश्यकता होगी।
- दो पर्फेक्ट स्क्वेर संख्या का अंतर निकालने के लिए जो सर्वसमिका (identity) इस्तेमाल होती है, वह इस प्रकार है: $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $4x^{2}-9$
- प्रत्येक पद का वर्गमूल या स्क्वेर रूट निकालें:
  - ${\sqrt {4x^{2}}}=2x$
  - ${\sqrt {9}}=3$
- सर्वसमिका या आइडेंटिटी (identity) का इस्तेमाल करें: $4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$
4
दो पर्फेक्ट क्यूब संख्या के अंतर वाले समीकरण" के फैक्टर निकालना सीखें: जैसे पर्फेक्ट स्क्वेर के अंतर वाले समीकरण के फैक्टर निकालने के लिए सर्वसमिका (identities) का इस्तेमाल किया है, उसी तरह पर्फेक्ट क्यूब संख्या के अंतर वाले समीकरण का फैक्टर निकालने के लिए सर्वसमिका (identities) का इस्तेमाल करने की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, $a^{3}-b^{3}$ । जैसे पहले स्टेप में किया था, उसी तरह इस केस में आपको पर्फेक्ट क्यूब संख्या का घन मूल या क्यूब रूट निकालने की आवश्यकता होगी। फिर इन वैल्यूज को सर्वसमिका (identities) में सब्स्टिट्यूट करें:
- पर्फेक्ट क्यूब्ज के लिए सर्वसमिका इस्तेमाल करें: $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $8x^{3}-27$
- घन मूल या क्यूब रूट निकालें:
  - ${\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x$
  - ${\sqrt[{3}]{27}}=3$
- सर्वसमिका या आइडेंटिटी (identity) का इस्तेमाल करें: $8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)$ ^{[1]
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5
पर्फेक्ट क्यूब वाली संख्याओं के योग के लिए इस्तेमाल होने वाली सर्वसमिका या आइडेंटिटी का इस्तेमाल करें: जैसे पर्फेक्ट स्क्वेर के अंतर आपने आसानी से कैलकुलेट किया उसी तरह पर्फेक्ट क्यूब्ज के योग निकाल सकते हैं। उदाहरण के लिए $a^{3}+b^{3}$ की वैल्यू निकालने के लिए आपको सर्वसमिका या आइडेंटिटी (identity) का इस्तेमाल करने की आवश्यकता होगी। यह आइडेंटिटी (identity) पर्फेक्ट क्यूब वाली संख्याओं के अंतर निकालने के लिए जिस आइडेंटिटी (identity) का इस्तेमाल उसी के समान है, केवल कुछ प्लस (+) और माइनस (-) साइन में बदलाव करने की आवश्यकता होगी। यह आइडेंटिटी पहले दो आइडेंटिटी (identity) के समान ही आसान है, आपको केवल समीकरण में मौजूद दो क्यूब संख्याओं को पहचानने की आवश्यकता होगी।
- पर्फेक्ट क्यूब वाली संख्याओं के योग के लिए इस्तेमाल होने वाली सर्वसमिका या आइडेंटिटी है: $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
- प्रैक्टिस के लिए सवाल: $8x^{3}+27$
- क्यूब रूट या घन मूल निकालें:
  - ${\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x$
  - ${\sqrt[{3}]{27}}=3$
- सर्वसमिका या आइडेंटिटी (identity) का इस्तेमाल करें: $8x^{3}+27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$ ^{[2]
  X
  रिसर्च सोर्स}

सलाह

सारे द्विपदों में कॉमन फैक्टर मौजूद हो यह जरूरी नहीं है! कुछ द्विपद पहले से ही सिम्प्लिफाइड होते हैं।
यदि आप समीकरण में कॉमन फैक्टर पता करने में सुनिश्चित नहीं है, तो समीकरण को छोटी संख्या से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको 32 और 16 में से 16 कॉमन फैक्टर है यह पहचानने में यदि आपको कठिनाई आ रही है, तो संख्याओं को छोटी संख्या जैसे 2 से विभाजित करें। अब आपके पास 16 और 8 बचेंगे, जिन्हें आप 8 से पूरी तरह से विभाजित कर सकते हैं। अब आपके पास सबसे छोटे फैक्टर में 2 और 1 है। अब यह स्पष्ट है कि 8 और 2 से भी बड़ी ऐसी संख्या है जो 32 और 16 में कॉमन है।
याद रखें कि वेरिएबल के षष्ठ घात (x ⁶ ) में दोनों पर्फेक्ट स्क्वेर ‘’और ‘’ पर्फेक्ट क्यूब मौजूद होता है। यदि द्विपद दो पर्फेक्ट सिक्स्थ पॉवर या षष्ठ घातांक वाली संख्याओं का अंतर है, तो आप दोनों पर्फेक्ट क्यूब वाले सर्वसमिका या आइडेंटिटी (identity) का बारी-बारी से इस्तेमाल कर सकते हैं, जैसे x ⁶ - 64। हालांकि पर्फेक्ट स्क्वेर की सर्वसमिका या आइडेंटिटी का सर्वप्रथम इस्तेमाल करना उत्तम विचार है, ताकि आप द्विपद को पूरी तरह से फैक्टराइज़ कर सकें।

चेतावनी

एक द्विपद जो दो पर्फेक्ट स्क्वेर का योग है, उसका गुणनखंड नहीं निकाला जा सकता है।

[1]

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कैसे द्विपद समीकरण का गुणनखंड निकालें (Factor Binomials)

चरण

द्विपद समीकरण का गुणनखंड या फैक्टर निकालना (Factoring Binomials)

समीकरण को हल करने के लिए द्विपद के गुणनखंड निकालना (Factoring Binomials to Solve Equations)

मुश्किल समीकरण के फैक्टर निकालना

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