कैसे बहुपदीय समीकरण हल करें (Solve Polynomials)

सहयोगी लेखक द्वारा David Jia

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यह आर्टिकल लिखा गया सहयोगी लेखक द्वारा David Jia . डेविड जिया एक एकेडमिक ट्यूटर और LA मैथ ट्यूटोरिंग के संस्थापक हैं जो लॉस एंजेलिस कैलिफ़ोर्निया में स्थित एक प्राइवेट ट्यूशन कंपनी है | 10 वर्षों से भी अधिक समय के टीचिंग एक्सपीरियंस के साथ डेविड ने सभी उम्र के स्टूडेंट्स और सभी कक्षाओं में कई सारे विषयों पर कम किया है और इसके साथ ही कॉलेज एडमिशन्स काउन्सलिंग और SAT, ACT, ISEE और भी कई टेस्ट की तैयारी कराने पर भी काम किया है | SAT में परफेक्ट 800 मैथ्स स्कोर और 690 इंग्लिश स्कोर हसिल करने के बाद डेविड को मियामी यूनिवर्सिटी से डिकिन्सन स्कॉलरशिप से नवाजा गया था, जहाँ इन्होनें बिज़नस एडमिनिस्ट्रेशन में बैचलर डिग्री पूरी की थी | इसके अलावा, डेविड ने लार्सन टेक्स्ट्स, बिग आइडियाज लर्निंग और बिग आइडियाज मैथ जैसी टेक्स्टबुक कम्पनीज के लिए ऑनलाइन वीडियो देने के लिए इंस्ट्रक्टर के रूप में भी काम किया है |

यहाँ पर 8 रेफरेन्स दिए गए हैं जिन्हे आप आर्टिकल में नीचे देख सकते हैं।

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बहुपदीय समीकरण यह एक व्यंजक या एक्सप्रेशन (expression) है जिसे पदों (terms) को जोड़कर या घटाकर बनाया जाता है। समीकरण में स्थिरांक (constants), गुणांक, और चर (variables) जैसे पद शामिल होते हैं। बहुपदीय समीकरण या पॉलिनोमियल (polynomials) को हल करते समय, आपको आम तौर पर यह पता करने की आवश्यकता होगी कि x के किस मान या वैल्यू (value) के लिए y=0 है। कम घात (degree) वाले बहुपद के शुन्य, एक, या दो वास्तविक मूल (root) या चर की वैल्यूज होते हैं, और यह निर्भर करता है कि बहुपदीय समीकरण रैखिक बहुपद है या द्विघात बहुपद है। इस प्रकार के बहुपदीय समीकरण बेसिक अलजेब्रा और फैक्टर मेथड का इस्तेमाल करके आसानी से हल किए जाते हैं। लेकिन उच्च घात वाले बहुपदीय समीकरण को हल करने के लिए अलग मेथड का इस्तेमाल किया जाता है।

विधि 1

विधि 1 का 2:

रैखिक बहुपद हल करना (Solving a Linear Polynomial)

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1
पता करें कि समीकरण एक रैखिक बहुपद है या नहीं: बहुपद या पॉलिनोमियल जिसका अधिकतम घात एक है उसे रैखिक बहुपद (linear polynomial) कहते हैं। ^{[१]
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रिसर्च सोर्स} इसका अर्थ है कि इस बहुपद में किसी भी चर (variable) का घात एक से बड़ा नहीं होता है। चूंकि यह पहली-डिग्री वाला बहुपद है, इसका केवल एक ही वास्तविक मूल (root), या चर की केवल एक ही वैल्यू मिलेगी। ^{[२]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $5x+2$ एक रैखिक बहुपद है, क्योंकि इसमें चर $x$ पर कोई घात नहीं लिखा है (अर्थात $x$ का घात 1 है)।
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2
समीकरण को शून्य के बराबर दिखाएं: किसी भी बहुपद या पॉलिनोमियल को हल करने के लिए यह एक महत्त्वपूर्ण स्टेप है।
- उदाहरण के लिए, $5x+2=0$
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3
चर पद (variable term) को अलग करें: ऐसा करने के लिए, आपको स्थिरांक (constant) को समीकरण में दोनों तरफ जोड़ने या घटाने की आवश्यकता होगी। बिना चर वाले पद को स्थिरांक या कांस्टेंट कहते हैं। ^{[३]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, व्यंजक $5x+2=0$ से $x$ पद को अलग करने के लिए, आपको स्थिरांक $2$ को समीकरण में दोनों तरफ घटाना होगा:
  $5x+2=0$
  $5x+2-2=0-2$
  $5x=-2$
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4
चर की वैल्यू निकालने के लिए समीकरण को हल करें: आम तौर पर आपको चर की वैल्यू निकालने के लिए समीकरण के दोनों तरफ चर के गुणांक (coefficient) से विभाजित करने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने पर आपको बहुपद का मूल, या चर की वैल्यू मिल जाएगी।
- उदाहरण के लिए, समीकरण $5x=-2$ में $x$ की वैल्यू निकालने के लिए आपको समीकरण की दोनों तरफ $5$ से विभाजित करने की आवश्यकता होगी:
  $5x=-2$
  ${\frac {5x}{5}}={\frac {-2}{5}}$
  $x={\frac {-2}{5}}$
  ताकि, बहुपद $5x+2$ में चर पद $x={\frac {-2}{5}}$ मिल सकें।

विधि 2

विधि 2 का 2:

द्विघात बहुपद को हल करना (Solving a Quadratic Polynomial)

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1
पता करें कि समीकरण द्विघात बहुपात है या नहीं: बहुपत या पॉलिनोमियल जिसमें अधिकतम घात 2 है, उसे द्विघात बहुपत (quadratic polynomial) कहते हैं। ^{[४]
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रिसर्च सोर्स} इसका अर्थ यह है कि, व्यंजक में कोई भी चर का घात 2 से अधिक नहीं होता है। चूंकि यह दूसरी-डिग्री का बहुपद है, इसके दो वास्तवित मूल, या चर की दो वैल्यूज मिलेगी। ^{[५]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $x^{2}+8x-20$ यह एक द्विघात बहुपद है, क्योंकि इसमें चर $x$ के घातांक (exponent) में $2$ है।
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2
सुनिश्चित कर लें कि बहुपद घातांक के सही क्रम में लिखा है: इसका अर्थ यह है कि बहुपद में घातांक $2$ वाला पद सबसे पहले लिखा होना चाहिए, फिर घातांक एक वाला पद और अंत में स्थिरांक या कांस्टेंट लिखा होना चाहिए। ^{[६]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, बहुपद $8x+x^{2}-20$ को सही क्रम में $x^{2}+8x-20$ इस प्रकार लिखा जाना चाहिए।
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3
समीकरण को शून्य के बराबर लिखें: किसी भी बहुपद को हल करने के लिए यह एक महत्त्वपूर्ण स्टेप है।
- उदाहरण के लिए, $x^{2}+8x-20=0$ ।
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4
व्यंजक (expression) को चार-पदों (terms) के साथ दोबारा लिखें: ऐसा करने के लिए, एक-घात वाले पद (अर्थात $x$ पद) को विभाजित करें। आपको ऐसी दो संख्याओं को खोजने की आवश्यकता होगी जिनका योग निकालने पर एक-घात वाले पद का गुणांक (coefficient) मिलें और उन्हीं दो संख्याओं को गुणा करने पर स्थिरांक (constant) मिल सकें। ^{[७]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, द्विघात बहुपद $x^{2}+8x-20=0$ के लिए, आपको ऐसी दो संख्याएं $a$ और $b$ को खोजने की आवश्यकता होगी, जिसमें $a+b=8$ और $a\cdot b=-20$ मिल सकें।
- चूंकि इस बहुपद में स्थिरांक $-20$ है, अर्थात दो संख्याओं में से एक संख्या ऋणात्मक (negative) होनी चाहिए।
- आप पाएंगे कि $10+(-2)=8$ और $10\cdot (-2)=-20$ है। इसलिए, पद $8x$ को विभाजित करके $10x-2x$ लिखें और द्विघात बहुपद को दोबारा इस प्रकार लिखें: $x^{2}+10x-2x-20=0$ ।
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5
ग्रुप बनाकर फैक्टर निकालें: ऐसा करने के लिए, बहुपद के पहले दो पद से कॉमन पद निकालें। ^{[८]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, बहुपद $x^{2}+10x-2x-20=0$ में पहले दो पद $x^{2}+10x$ है। इन दो पदों में $x$ कॉमन है। इसलिए, $x$ को बाहर निकालने पर आपको $x(x+10)$ फैक्टर ग्रुप मिलेगा।
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6
दूसरे ग्रुप के भी फैक्टर निकालें: ऐसा करने के लिए, बहुपद के अंतिम दो पदों में से कॉमन पद निकालें।
- उदाहरण के लिए, बहुपद $x^{2}+10x-2x-20=0$ में अंतिम दो पद $-2x-20$ है। इनमें कॉमन पद $-2$ है। इसलिए, $-2$ को कॉमन निकालने के बाद आपको $-2(x+10)$ फैक्टर ग्रुप मिलेगा।
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7
बहुपद (polynomials) को दो द्विपद (binomials) में लिखें: द्विपद यह एक दो पदों वाला व्यंजक (expression) है। ग्रुप फैक्टर करने के बाद आपको हर ग्रुप के लिए एक द्विपद मिलेगा जो ब्रैकेट में लिखा होगा। और कॉमन पद जो हर एक ग्रुप में आपने बाहर निकाला है उन्हें जोड़कर आपको दूसरा द्विपद मिलेगा।
- उदाहरण के लिए, ग्रुप्स के फैक्टराइजेशन करने के बाद व्यंजक $x^{2}+10x-2x-20=0$ को $x(x+10)-2(x+10)=0$ इस प्रकार लिखा जाएगा।
- पहला द्विपद (binomial) $(x+10)$ है।
- दूसरा द्विपद (binomial) $(x-2)$ है।
- अब आपके ओरिजनल बहुपद $x^{2}+8x-20=0$ को फैक्टर व्यंजक $(x+10)(x-2)=0$ के साथ लिखा जाएगा।
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8
पहला मूल (root) या $x$ की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, पहले द्विपद (binomial) व्यंजक को हल करके $x$ की वैल्यू निकालें। ^{[९]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $(x+10)(x-2)=0$ व्यजंक में पहला मूल निकालने के लिए, पहले द्विपद बराबर $0$ लिखें और $x$ की वैल्यू निकालने के लिए समीकरण को निम्नलिखित तरीके से हल करें:
  $x+10=0$
  $x+10-10=0-10$
  इसलिए, द्विघात बहुपद $x^{2}+8x-20=0$ का पहला मूल (root) या $x$ की वैल्यू बराबर $-10$ है।
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9
दूसरा मूल (root) या $x$ की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, दूसरे द्विपद (binomial) व्यंजक को हल करके $x$ की वैल्यू निकालें। ^{[१०]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, व्यंजक $(x+10)(x-2)=0$ से दूसरा मूल (root) निकालने के लिए, दूसरे द्विपद व्यंजक बराबर $0$ लिखें और $x$ की वैल्यू निकालने के लिए समीकरण को निम्नलिखित तरीके से हल करें:
  $x-2=0$
  $x-2+2=0+2$
  $x=2$
  इसलिए, द्विघात बहुपद $x^{2}+8x-20=0$ का दूसरा मूल (root) या $x$ की वैल्यू बराबर $2$ है।

सलाह

यदि उदाहरण में चर x के बदले t लिखा है, या समीकरण को 0 के बदले f(x) के बराबर दिखाया है, तो चिंता करने की आवश्यकता नहीं है। यदि उदाहरण में आपको मूल, बहुपद का शून्यक (zero of the polynomial), या फैक्टर्स निकालने के लिए कहा है, तो उदाहरण को ऊपर दिए गए तरीके से ही हल करें।
समीकरण को हल करते समय ऑर्डर ऑफ ऑपरेशन (BODMAS) को याद रखें – पहले ब्रैकेट को हल करें, फिर मल्टिप्लिकेशन और डिवीज़न, और आखिर में ऐडिशन और सब्ट्रैक्शन करें। ^{[११]
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रिसर्च सोर्स}

[१]

[२]

[३]

[४]

[५]

[६]

[७]

[८]

[९]

[१०]

[११]

लॉग इन

कैसे बहुपदीय समीकरण हल करें (Solve Polynomials)

चरण

रैखिक बहुपद हल करना (Solving a Linear Polynomial)

द्विघात बहुपद को हल करना (Solving a Quadratic Polynomial)

सलाह

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