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बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करना त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात करने के समान ही आसान हो सकता है या फिर ग्यारह भुजा वाली आकृति के क्षेत्रफल ज्ञात करने की तरह कठिन हो सकता है। यदि आप जानना चाहते हैं कि कैसे विभिन्न बहुभुजों के क्षेत्रफलों की गणना की जाये तो इन विधियों को पढ़ें।
चरण
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सामान्य बहुभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लिखें: सामान्य बहुभुज का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए आपको इस आसान सूत्र को लिखना होगा: क्षेत्रफल = 1/2 x परिमिति x अंतःत्रिज्या इसका मतलब यह है:
- परिमिति = सभी भुजाओं की लम्बाई का योग
- अंतःत्रिज्या = एक रेखाखंड जो कि बहुभुज के केंद्र तथा इसके किसी भी भुजा के मध्यबिंदु से खींचा गया हो और जो उस भुजा पर लंब हो
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बहुभुज की अंतःत्रिज्या ज्ञात करें: यदि आप अंतःत्रिज्या विधि का उपयोग कर रहें हैं तो अंतःत्रिज्या का मान आप को दिया गया होगा। मान लीजिये कि एक दिए गए षट्कोण में अंतःत्रिज्या की लम्बाई 10√3 दी गयी है।
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बहुभुज की परिमिति ज्ञात करें: यदि आपको परिमिति दी गयी है तो आप बहुभुज का क्षेत्रफल प्राप्त करने के काफी करीब हैं, परन्तु इसके लिए आपको थोड़ा और कार्य करना होगा। यदि अंतःत्रिज्या दी गयी है और आप सामान्य बहुभुज पर कार्य कर रहें हैं, तो आप इससे परिमिति ज्ञात कर सकते हैं। इसे आप ऐसे करेंगे:
- 30-60-90 त्रिभुज में "x√3" भुजा अंतःत्रिज्या होगी। आप इसे इस प्रकार समझ सकते हैं क्योंकि षट्कोण छः समबाहु त्रिभुजों का बना होता है। अंतःत्रिज्या इनमें से किसी एक को दो भागों में विभाजित करती है, जिससे एक 30-60-90 त्रिभुज बनता है।
- आप जानते हैं कि 60 अंश कोण की विपरीत भुजा की लम्बाई x√3 होती है, 30 अंश कोण की विपरीत भुजा की लम्बाई x होती है और 90 अंश कोण की विपरीत भुजा की लम्बाई 2x होती है। यदि 10√3 को "x√3 के रूप में दर्शाया जाये, "तो आप कह सकते हैं कि x = 10
- आप जानते है कि x त्रिभुज के आधार भुजा के लम्बाई का आधा है। पूरी लम्बाई प्राप्त करने के लिए इसे दुगुना कर दें। इस प्रकार त्रिभुज की आधार भुजा की लम्बाई 20 इकाई होगी। षट्कोण में ऐसी छः भुजाएँ हैं, इसलिए 20 x 6 = 120, यह षट्कोण की परिमिति होगी।
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सूत्र में अंतःत्रिज्या तथा परिमिति का मान भरें: इस सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 x परिमिति x अंतःत्रिज्या , में आप परिमिति की जगह पर 120 तथा अंतःत्रिज्या की जगह 10√3 लिखें। यह इस प्रकार दिखेगा:
- क्षेत्रफल = 1/2 x 120 x 10√3
- क्षेत्रफल = 60 x 10√3
- क्षेत्रफल = 600√3
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सरलीकरण द्वारा उत्तर प्राप्त करें: आप अपने उत्तर को वर्गमूल की जगह दशमलव में दर्शाना चाहेंगे। अपने कैलकुलेटर से √3 का निकटतम मूल्य ज्ञात कीजिये तथा इसे 600 से गुणा कीजिये। √3 x 600 = 1,039.2। यह सामान्य बहुभुज का क्षेत्रफल होगा।
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सामान्य त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें : यदि आपको सामान्य त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है तो आपको इस सूत्र का उपयोग करना है: क्षेत्रफल = 1/2 x आधार x ऊंचाई
- यदि दिए गए त्रिभुज के आधार की लम्बाई 10 हो तथा ऊंचाई 8 हो, तो क्षेत्रफल = 1/2 x 8 x 10 = 40 होगा।
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वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें: वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसकी एक भुजा की लम्बाई का वर्ग ज्ञात कीजिये। यह वर्ग के आधार की उसके ऊंचाई से गुणा करने के समान ही है, क्योंकि वर्ग में आधार तथा ऊंचाई समान होती है।
- यदि वर्ग के भुजा की लम्बाई 6 है तो इसका क्षेत्रफल 6 x 6 = 36 वर्ग इकाई होगा।
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आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें : आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसके आधार तथा ऊंचाई का गुणनफल प्राप्त कीजिये।
- यदि आयत का आधार 4 हो तथा ऊंचाई 3 हो तो, आयत का क्षेत्रफल 4 x 2 = 12 वर्ग इकाई होगा।
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समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किजिये: समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको इस सूत्र का उपयोग करना है: क्षेत्रफल = [(आधार 1 + आधार 2) x ऊंचाई]/2
- मानिए कि दिए गए समलंब चतुर्भुज के आधारों की लम्बाई 6 तथा 8 है तथा ऊंचाई 10 है। इसका क्षेत्रफल [(6 + 8) x 10]/2] होगा, इसका सरलीकरण (14 x 10)/2, या 140/2 होगा तथा इसका क्षेत्रफल 70 होगा।
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असामान्य बहुभुज के शीर्षबिन्दुओं के निर्देशांक लिखें: यदि आपको शीर्षबिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात हों तो आप इसका क्षेत्रफल निर्धारित कर सकते हैं।
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एक सारणी बनाएं: बहुभुज के शीर्षबिन्दुओं के x तथा y निर्देशांक को घड़ी की सुई की विपरीत दिशा में लिखें।
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प्रत्येक बिंदु के x निर्देशांक को अगले बिंदु के y निर्देशांक से गुणा करें: इन उत्तरों को जोड़ें। इन जोड़े हुए उत्तरों का योगफल 82 होगा।
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प्रत्येक बिंदु के y निर्देशांक को अगले बिंदु के x निर्देशांक से गुणा करें: इन उत्तरों को जोड़ें। इन जोड़े हुए उत्तरों का योगफल -38 होगा।
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पहले गुणनफल में से पहले गुणनफल को घटाइए: 82 में से -38 घटाइए; 82 – (-38) = 120
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बहुभुज का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इस अंतर को दो से विभाजित कीजिये: इसलिए 120 को 2 से विभाजित कीजिये, जिससे 60 मिलेगा जो बहुभुज का क्षेत्रफल होगा।
सलाह
- यदि आप इन बिन्दुओं को घड़ी की सुई के विपरीत दिशा की बजाय घड़ी की सुई की दिशा में लिखेंगे तो आपको ऋणात्मक क्षेत्रफल मिलेगा।
- इस सूत्र से क्षेत्रफल को केन्द्रीकरण द्वारा परिकलित किया जाता है। आकृति आठ की तरह के बहुभुज में आप इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जहाँ दो रेखाएं एक दुसरे को काट रही हैं।
रेफरेन्स
- http://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html – research source
