कैसे मैथमेटिक्स में एक एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन को सॉल्व करें (Solve an Algebraic Expression)

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सहयोगी लेखक द्वारा David Jia

रेफरेन्स

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एक एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन (algebraic expression) एक मैथमेटिकल फ्रेज होते है, जिसमें नंबर्स और/या वेरिएबल (variable) मौजूद होते हैं। भले ही इसमें एक इक्वल्स (=) साइन नहीं होने की वजह से आप इसे सॉल्व नहीं कर सकते, लेकिन इसे सिम्प्लिफ़ाई जरूर किया जा सकता है। हालांकि, आप एक ऐसे एल्जेब्रिक इक़्वेशन को जरूर सॉल्व कर सकते हैं, जिसमें इक्वल साइन से सेपरेट किया हुआ एक एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन मौजूद है। अगर आप भी मैथमेटिक्स के इस कान्सैप्ट को सीखना चाहते हैं, तो नीचे दिए पहले स्टेप के साथ शुरुआत करें।

विधि 1
विधि 1 का 2:

बेसिक्स को समझना (Understanding the Basics)

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    एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन और एल्जेब्रिक इक़्वेशन के बीच के अंतर को समझें: एक एल्जेब्रिक इक़्वेशन एक मैथमेटिकल फ्रेज है, जिसमें नंबर्स और/या वेरिएबल्स मौजूद होते हैं। इसमें कोई इक्वल साइन नहीं होता और इसे सॉल्व नहीं किस जा सकता है। हालांकि, एक एल्जेब्रिक इक़्वेशन को सॉल्व किया जा सकता है और इसमें एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन की एक सीरीज मौजूद होती है, जिसे एक इक्वल साइन से सेपरेट किया जाता है। यहाँ पर इसके कुछ उदाहरण दिए गए हैं: [१]
    • एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन : 4x + 2
    • एल्जेब्रिक इक़्वेशन : 4x + 2 = 100
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    एक ही तरह की टर्म्स को कम्बाइन करने के तरीके को जानें: टर्म्स को कम्बाइन करने का सीधा सा मतलब है कि एक सी डिग्री वाली टर्म्स को जोड़ना (या घटाना)। इसका मतलब कि सारी x 2 टर्म्स को दूसरी x 2 टर्म्स के साथ, और x 3 टर्म्स को x 3 टर्म्स के साथ और सारे कोंस्टेंट, नंबर्स, जो वेरिएबल से जुड़े नहीं हैं, उन सभी को जोड़ा या कम्बाइन किया जा सकता है। यहाँ इसका एक उदाहरण दिया है: [२]
    • 3x 2 + 5 + 4x 3 - x 2 + 2x 3 + 9 =
    • 3x 2 - x 2 + 4x 3 + 2x 3 + 5 + 9 =
    • 2x 2 + 6x 3 + 14
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    अगर आप एक एल्जेब्रिक इक़्वेशन के ऊपर काम कर रहे हैं, जिसका मतलब कि इक्वल साइन के एक साइड पर एक इक़्वेशन होगा, तो आप उसे कॉमन टर्म में फेक्टर कर सकते हैं। सारी टर्म्स (वेरिएबल या कोंस्टेंट के पहले वाले नंबर्स) के गुणांक या कोएफ़िशिएट (coefficients) को देखें और देखें, अगर ऐसा कोई नंबर हो, जिसे आप हर एक टर्म को उस नंबर से डिवाइड करके "फेक्टर" कर सकें। अगर आप इसे कर सकते हैं, तो आपके पास एक सिम्प्लिफ़ाई की हुई इक़्वेशन होगी और आप उसे सॉल्व करने की ओर बढ़ चुके होंगे। यहाँ इसे करने के तरीके को बताया गया है: [३]
    • 3x + 15 = 9x + 30
      • आप यहाँ देख सकते हैं कि हर एक कोएफ़िशिएंट 3 से डिवाइड हो सकता है। इसलिए इक़्वेशन को सिम्प्लिफ़ाई करने के लिए हर एक टर्म को 3 से डिवाइड करके नंबर को "फेक्टर आउट" कर लें।
    • 3x/3 + 15/3 = 9x/3 + 30/3 =
    • x + 5 = 3x + 10
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    ऑपरेशन का ऑर्डर, जिसे PEMDAS के नाम से भी जाना जाता है, ये उस ऑर्डर को दर्शाता है, जिसमें आपको सभी मैथमेटिकल ऑपरेशन को परफ़ोर्म करना होता है। इसका ऑर्डर: पेरेन्थिसिस (Parentheses), एक्स्पोनेंट्स (Exponents), मल्टीप्लिकेशन (Multiplication), डिवीजन (Division), एडिशन (Addition) और सब्ट्रेक्शन (Subtraction) है। यहाँ पर ऑपरेशन के इस ऑर्डर के कम करने के तरीके का एक उदाहरण दिया गया है: [४]
    • (3 + 5) 2 x 10 + 4
    • सबसे पहले P, पेरेन्थिसिस के ऑपरेशन को फॉलो करें:
    • = (8) 2 x 10 + 4
    • फिर, E, एक्स्पोनेंट्स के ऑपरेशन को फॉलो करें:
    • = 64 x 10 + 4
    • फिर, मल्टीप्लिकेशन करें:
    • = 640 + 4
    • और आखिर में, एडिशन करें:
    • = 644
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    अगर आप एक एल्जेब्रिक इक़्वेशन सॉल्व कर रहे हैं, तो आपका लक्ष्य होगा वेरिएबल, जिसे अक्सर x कहा जाता है, को इक़्वेशन के एक साइड पर लेकर जाने का, जबकि बाकी की कोंस्टेंट टर्म्स को आपको इक़्वेशन की दूसरी साइड पर रखना है। आप x को फिर डिवीजन, मल्टीप्लिकेशन, एडिशन, सब्ट्रेक्शन से स्क्वेर रूट निकालकर या बाकी के ऑपरेशन के जरिए अलग कर सकते हैं। जब आप x को अलग कर करें, फिर आप उसे सॉल्व कर सकते हैं। यहाँ इसे करने का तरीका दिया है: [५]
    • 5x + 15 = 65 =
    • 5x/5 + 15/5 = 65/5 =
    • x + 3 = 13 =
    • x = 10
विधि 2
विधि 2 का 2:

एक एल्जेब्रिक इक़्वेशन सॉल्व करना (Solve an Algebraic Equation)

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    एक बेसिक लिनियर एल्जेब्रिक इक़्वेशन (basic linear algebraic equation) सॉल्व करें: एक लिनियर एल्जेब्रिक इक़्वेशन काफी अच्छे और आसान होते हैं, जिनमें केवल कोंस्टेंट्स और फर्स्ट डिग्री (कोई एक्स्पोनेंट बगाइयाढ़ नहीं) में वेरिएबल्स होते हैं। इसे सॉल्व करने के लिए, वेरिएबल को अलग रखने और "x" को सॉल्व करने के लिए बस मल्टीप्लिकेशन, डिवीजन, एडिशन और सब्ट्रेक्शन का इस्तेमाल करें। यहाँ पर इसे करने का तरीका दिया गया है: [६]
    • 4x + 16 = 25 -3x =
    • 4x = 25 -16 - 3x
    • 4x + 3x = 25 -16 =
    • 7x = 9
    • 7x/7 = 9/7 =
    • x = 9/7
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    एक्स्पोनेंट्स के साथ एल्जेब्रिक इक़्वेशन सॉल्व करें: अगर इक़्वेशन में एक्स्पोनेंट्स हैं, तो आपको बस एक्स्पोनेंट को इक़्वेशन की एक साइड पर आइसोलेट करने के तरीके की तलाश करना होगी और फिर एक्स्पोनेंट और दूसरे साइड पर मौजूद कोंस्टेंट के रूट (root) की तलाश करके एक्स्पोनेंट को "हटाना" होगा। इसे इस तरह से करें: [७]
    • 2x 2 + 12 = 44
      • सबसे पहले, दोनों साइड से 12 को घटाएँ।
    • 2x 2 + 12 -12 = 44 -12 =
    • 2x 2 = 32
      • फिर, दोनों साइड को 2 से डिवाइड करें।
    • 2x 2 /2 = 32/2 =
    • x 2 = 16
      • दोनों ही साइड का स्क्वेर रूट लेकर सॉल्व करें, क्योंकि ऐसा करने से x 2 अकेला x ही रह जाएगा।
    • √x 2 = √16 =
    • दोनों ही आन्सर को लिखें:x = 4, -4
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/94\/Solve-an-Algebraic-Expression-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-an-Algebraic-Expression-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/94\/Solve-an-Algebraic-Expression-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-an-Algebraic-Expression-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    फ्रेक्शन के जरिए एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन को सॉल्व करें: अगर आप एक ऐसे एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन को सॉल्व करना चाहते हैं, जो फ्रेक्शन का यूज करता है, तो आपको फ्रेक्शन को क्रॉस मल्टीप्लाय करना होगा और फिर वेरिएबल को आइसोलेट करना होगा। यहाँ इसे करने का तरीका दिया गया है: [८]
    • (x + 3)/6 = 2/3
      • सबसे पहले, फ्रेक्शन को हटाने के लिए क्रॉस मल्टीप्लाय करें। आपको एक फ्रेक्शन के न्यूमरेटर या अंश को दूसरे फ्रेक्शन के डिनोमिनेटर या भाजक से मल्टीप्लाय करना होगा।
    • (x + 3) x 3 = 2 x 6 =
    • 3x + 9 = 12
      • अब, एक सी टर्म्स को कम्बाइन करें। कोंस्टेंट टर्म्स, 9 और 12 को दोनों साइड से 9 को घटाते हुए कम्बाइन करें।
    • 3x + 9 - 9 = 12 - 9 =
    • 3x = 3
      • दोनों साइड को 3 से डिवाइड करके वेरिएबल X को आइसोलेट करें और आपको आन्सर मिल जाएगा।
    • 3x/3 = 3/3 =
    • x =1
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ec\/Solve-an-Algebraic-Expression-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-an-Algebraic-Expression-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ec\/Solve-an-Algebraic-Expression-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-an-Algebraic-Expression-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    रेडिकल साइन (radical signs) वाले एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन को सॉल्व करें: अगर आप रेडिकल साइन वाले एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन के साथ काम कर रहे हैं, तो आपको केवल उस रेडिकल साइन को हटाने के लिए दोनों ही साइड को स्क्वेर करने के तरीके की तलाश करना होगी और फिर वेरिएबल के लिए सॉल्व करना होगा। इसे इस तरह से करें: [९]
    • √(2x+9) - 5 = 0
      • सबसे पहले, रेडिकल साइन से बाहर जो भी कुछ है, उसे इक़्वेशन की दूसरी साइड पर ले जाएँ:
    • √(2x+9) = 5
    • फिर, रेडिकल को हटाने के लिए दोनों साइड को स्क्वेर करें:
    • (√(2x+9)) 2 = 5 2 =
    • 2x + 9 = 25
      • अब, इक़्वेशन को हमेशा की तरह कम्बाइन करके और वेरिएबल को आइसोलेट करके सॉल्व करें:
    • 2x = 25 - 9 =
    • 2x = 16
    • x = 8
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/10\/Solve-an-Algebraic-Expression-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-an-Algebraic-Expression-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/10\/Solve-an-Algebraic-Expression-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-an-Algebraic-Expression-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    एक एब्सोल्यूट (absolute) या पूर्ण अंक वाले एल्जेब्रिक एक्स्प्रेशन को सॉल्व करें: एब्सोल्यूट वैल्यू एक नंबर है, जो इसकी वैल्यू को दर्शाती है, फिर चाहे वो पॉज़िटिव हो या नेगेटिव; एब्सोल्यूट वैल्यू हमेशा पॉज़िटिव ही रहेगी। जैसे, -3 की एब्सोल्यूट वैल्यू (जिसे |3| की तरह भी जाना जाता है), एक 3 ही रहेगी। एब्सोल्यूट वैल्यू पाने के लिए, आपको एब्सोल्यूट वैल्यू को आइसोलेट करना होगा और फिर x के लिए दो बार सॉल्व करना होगा, दोनों साइड पर x के लिए एब्सोल्यूट वैल्यू को हटाकर और साथ ही जब इक्वल साइन के दूसरे साइड की टर्म्स उनके साइन को नेगेटिव से पॉज़िटिव या इसके विपरीत बदलें, तब सॉल्व करें। यहाँ इसे करने का तरीका दिया गया है: [१०]
    • यहाँ पर एब्सोल्यूट वैल्यू को आइसोलेट करके और फिर उसे हटाकर, एब्सोल्यूट वैल्यू के लिए सॉल्व करने का तरीका दिया गया है:
      • |4x +2| - 6 = 8 =
    • |4x +2| = 8 + 6 =
    • |4x +2| = 14 =
    • 4x + 2 = 14 =
    • 4x = 12
    • x = 3
      • अब, एब्सोल्यूट वैल्यू को आइसोलेट करने के बाद, इक़्वेशन की दूसरी साइड पर टर्म के साइन को पलटकर एक बार फिर से सॉल्व करें:
    • |4x +2| = 14 =
    • 4x + 2 = -14
    • 4x = -14 -2
    • 4x = -16
    • 4x/4 = -16/4 =
    • x = -4
      • अब, दोनों आन्सर को लिखें: x = -4, 3

सलाह

  • पॉलीनोमिनल (polynomial) की डिग्री टर्म्स के अंदर सबसे ज्यादा पॉवर की होती हैं।
  • अपने आन्सर को क्रॉस-चेक करने के लिए, wolfram-alpha.com पर जाएँ। यहाँ आपको आन्सर मिलते हैं और ये अक्सर टू-स्टेप में होते हैं।
  • जैसे ही आप इसे कर लें, फिर वेरिएबल की जगह पर आन्सर को रखें और उस प्रॉब्लम को सॉल्व करके देखें, अगर एक ही जवाब मिलता हो। अगर ऐसा होता है, तो इसका मतलब आपने एक एल्जेब्रिक इक़्वेशन को सॉल्व कर लिया है!

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रेफरेन्स

  1. ↑ http://www.mathnstuff.com/math/algebra/aequex.htm
  2. ↑ https://www.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-expressions-and-variables/cc-6th-combining-like-terms/v/combining-like-terms-2
  3. ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/factoring.html
  4. ↑ https://www.studygs.net/pemdas/
  5. ↑ https://sciencing.com/tips-for-solving-algebraic-equations-13712207.html
  6. ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/equations-solving.html
  7. ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SolveExpEqns.aspx
  8. ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/fractions-algebra.html
  9. ↑ http://www.algebra-class.com/radical-sign.html
  1. ↑ https://www.mathplanet.com/education/algebra-1/linear-inequalitites/solving-absolute-value-equations-and-inequalities

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