कैसे मैथ में किसी फंक्शन की रेंज पता करें (Find the Range of a Function in Math)

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सहयोगी लेखक द्वारा David Jia

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किसी फंक्शन की रेंज (range), उस फंक्शन के द्वारा प्रोड्यूस किए जाने लायक नंबर्स का सेट होती है। दूसरे शब्दों में, ये y-वैल्यूज का वो सेट होता है, जिसे आप सारी पॉसिबल x-वैल्यूज में रखने के बाद पाते हैं। पॉसिबल x-वैल्यूज के इस सेट को डोमेन (domain) कहा जाता है। अगर आप किसी फंक्शन की रेंज निकालने के बारे में सीखना चाहते हैं, तो बस इन स्टेप्स को फॉलो करें।

विधि 1
विधि 1 का 4:

किसी फॉर्मूला को देखते हुए फंक्शन की रेंज पता करना (Finding the Range of a Function Given a Formula)

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    मान लीजिए, कि आप जिस फॉर्मूला पर काम कर रहे हैं, वो: f(x) = 3x 2 + 6x -2 है। इसका मतलब, जब आप इक़्वेशन में कोई भी x वैल्यू रखते हैं, तो आपको आपकी y वैल्यू मिल जाएगी। ये फंक्शन ऑफ पैराबोला (parabola या परवलय का सूत्र) कहलाता है।
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    अगर फंक्शन क्वाड्रेटिक (quadratic) है, तो इसकी वर्टेक्स (vertex) पता करें: अगर आप किसी स्ट्रेट लाइन के साथ या फिर f(x) = 6x 3 +2x + 7 जैसे किसी ऑड़ नंबर (विषम संख्या) के पोलिमिनल (Polyminal) वाले फंक्शन के साथ काम कर रहे हैं, तो आप इस स्टेप को छोड़ सकते हैं। लेकिन अगर आप पैराबोला के साथ या फिर ऐसी किसी दूसरी इक़्वेशन के साथ में काम कर रहे हैं, जिसका x-कोऑर्डिनेट स्क्वेर किया हुआ है या फिर किसी ईवन पावर के साथ रेज़ किया हुआ है, तो आपको एक वर्टेक्स प्लॉट करना होगी। इसे करने के लिए, बस 3x 2 + 6x -2, जहां पर 3 = a, 6 = b, और -2 = c फंक्शन के x कोऑर्डिनेट को पाने के लिए -b/2a फॉर्मूला यूज करें। इस मामले में, -b -6 है और 2a 6 है, इसलिए x-कोऑर्डिनेट -6/6, या -1 होगा।
    • अब, y-कोऑर्डिनेट पाने के लिए फंक्शन में -1 रख दें। f(-1) = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5 हुआ।
    • (-1,-5) वर्टेक्स है। अब इसका एक पॉइंट ड्रॉ करके ग्राफ बना लें, जहां पर x कोऑर्डिनेट -1 और y-कोऑर्डिनेट -5 है। इसे ग्राफ के थर्ड क्वाड्रेंट (quadrant) में होना चाहिए।
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    फंक्शन के बारे में एक समझ पाने के लिए, आपको कुछ दूसरे x-कोऑर्डिनेट्स भी रखकर देखना चाहिए, ताकि आपको फंक्शन की रेंज की तलाश करने से पहले ही, फंक्शन के बारे में एक अंदाजा मिल जाए। चूंकि ये पैराबोला है और x 2 कोऑर्डिनेट पॉज़िटिव है, इसलिए ये ऊपर की तरफ पॉइंट करेगा। लेकिन आपके लिए बेसिक्स क्लियर करने के लिए, कुछ x-कोऑर्डिनेट्स रखकर देखते हैं, कि उनसे और क्या वैल्यू मिलती हैं:
    • f(-2) = 3(-2) 2 + 6(-2) -2 = -2 हुआ। (-2, -2) ग्राफ का एक पॉइंट हुआ।
    • f(0) = 3(0) 2 + 6(0) -2 = -2 हुआ। (0,-2) ग्राफ पर एक और पॉइंट हुआ।
    • f(1) = 3(1) 2 + 6(1) -2 = 7 हुआ। (1, 7) ग्राफ पर तीसरा पॉइंट हुआ।
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    अब, ग्राफ पर y-कोऑर्डिनेट्स की तरफ देखे और उस लोवेस्ट पॉइंट को पाएँ, जिस पर ग्राफ y-कोऑर्डिनेट को टच करता है। इस मामले में, लोवेस्ट y-कोऑर्डिनेट वर्टेक्स पर, -5 हैं, और ग्राफ इस पॉइंट से ऊपर असीम रूप से फैलता है। इसका मतलब, फंक्शन की रेंज y = सारे रियल नंबर्स ≥ -5 हुई।
विधि 2
विधि 2 का 4:

एक ग्राफ पर एक फंक्शन की रेंज ढूँढना (Finding the Range of a Function on a Graph)

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    फंक्शन के y-कोऑर्डिनेट के लोवेस्ट की तलाश करें। मान लीजिए, कि फंक्शन -3 पर इसके लोवेस्ट पर पहुंचता है। ये फंक्शन भी इंफाइनाइट (असीम रूप से) छोटा और छोटा होते जाना चाहिए, ताकि इसके पास में इंफाइनाइट के अलावा -- लोवेस्ट पॉइंट का सेट न आने पाए
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    मान लीजिए कि हाइएस्ट y-कोऑर्डिनेट, जिस पर फंक्शन 10 पर पहुंचता है। ये फंक्शन भी इंफाइनाइट बड़ा और बड़ा होते जाना चाहिए, ताकि इसके पास में हाइएस्ट पॉइंट का कोई सेट न रह जाए -- बचे तो सिर्फ इंफिनिटी।
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    इसका मतलब, फंक्शन की रेंज या फिर y-कोऑर्डिनेट, की रेंज, -3 से 10 की रेंज तक। इसलिए, -3 ≤ f(x) ≤ 10 हुआ। ये फंक्शन की रेंज है।
    • लेकिन मान लेते हैं, कि ग्राफ y = -3 पर इसके लोवेस्ट पॉइंट पर जाता है, लेकिन ये हमेशा ऊपर ही जाता है। तो इसकी रेंज f(x) ≥ -3 होगी और बस यही होगी।
    • मान लेते हैं, कि ग्राफ 10 पर इसके हाइएस्ट पॉइंट पर जाता है, लेकिन हमेशा नीचे ही जाता है। तो रेंज f(x) ≤ 10 होगी।
विधि 3
विधि 3 का 4:

किसी रिलेशन के फंक्शन की रेंज तलाशना (Finding the Range of a Function of a Relation)

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    एक रिलेशन x और y कोऑर्डिनेट्स के साथ ऑर्डर्ड पेयर्स का एक सेट है। आप रिलेशन की ओर देख सकते हैं और इसके डोमेन और रेंज को तय कर सकते हैं। मान लेते हैं, कि आप इन: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} रिलेशन के ऊपर काम कर रहे हैं। [१]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/6f\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/6f\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    रिलेशन की रेंज पता करने के लिए, बस आप सारे ऑर्डर्ड पेयर्स के y-कोऑर्डिनेट्स: {-3, 6, -1, 6, 3} लिख लें। [२]
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e3\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e3\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    किसी भी डुप्लीकेट कोऑर्डिनेट्स को हटा दें, ताकि आपके पास सभी के सिर्फ एक ही y-कोऑर्डिनेट्स हों: आपने "6" को दो बार लिस्ट हुआ नोटिस किया होगा। इसे अलग कर दें, ताकि आपके पास में {-3, -1, 6, 3} बचा रहे। [३]
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/69\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/69\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    रिलेशन की रेंज को असेंडिंग ऑर्डर (बढ़ते क्रम) में लिख लें: अब, सेट में मौजूद नंबर्स को फिर से ऐसे ऑर्डर कर दें, ताकि आप सबसे छोटे से लेकर सबसे बड़े तक मूव करें, और आपके पास में आपकी रेंज हो। रिलेशन {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} की रेंज {-3,-1, 3, 6} है। आपका काम हो गया है। [४]
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    एक रिलेशन के फंक्शन होने के लिए, आप जब भी x कोऑर्डिनेट में कोई नंबर रखें, y कोऑर्डिनेट को सेम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, रिलेशन {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} एक फंक्शन नहीं है, क्योंकि जब आप 2 को पहली बार x की तरह रखते हैं, आपको एक 3 मिलता है, लेकिन दूसरी बार जब आप 2 रखते हैं, आपको 4 मिलता है। किसी रिलेशन के फंक्शन होने के लिए, अगर आप सेम इनपुट रखते हैं, आपको सेम आउटपुट ही मिलना चाहिए। अगर आप -7 रखते हैं, आपको हर बार सेम y कोऑर्डिनेट (फिर चाहे ये जो भी हो) ही मिलना चाहिए। [५]
विधि 4
विधि 4 का 4:

वर्ड प्रॉब्लम में एक फंक्शन की रेंज पता करना (Finding the Range of a Function in a Word Problem)

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    मान लेते हैं, कि आप दी हुई प्रॉब्लम के ऊपर काम कर रहे हैं: "निकी अपने स्कूल के टैलेंट शो में 5 रूपये में टिकट बेच रही है। वह जितना पैसा इकट्ठा करती है, वो उसके द्वारा बेची जाने वाली टिकिट्स का फंक्शन है। फंक्शन की रेंज क्या होगी?"
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4e\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-14-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-14-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4e\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-14-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-14-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    इस मामले में, M उसके द्वारा कलेक्ट किए हुए अमाउंट को रिप्रेजेंट करता है और t उसके द्वारा बेची जाने वाली टिकिट्स को रिप्रेजेंट करता है। हालांकि, चूंकि वो हर एक टिकिट को 5 रूपये में बेच रही है, तो टोटल मनी पाने के लिए आपको अमाउंट को 5 से मल्टिप्लाइ करना होगा, इसलिए, फंक्शन को M(t) = 5t की तरह लिखा जा सकता है।
    • उदाहरण के लिए, अगर वो 2 टिकिट्स बेचती है, तो फिर उसे मिले हुए अमाउंट को पाने के लिए आपको 2 को 5 से मल्टिप्लाइ करना होगा, जो कि 10 है।
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/61\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-15-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-15-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/61\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-15-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-15-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    रेंज तय करने के लिए, आपको सबसे पहले एक रेंज तलाश करनी होगी। डोमेन इक़्वेशन में मौजूद t की सारी पॉसिबल वैल्यूज होता है। इस मामले में, निकी 0 या और ज्यादा टिकिट्स बेच सकती है - वो नेगेटिव टिकिट्स नहीं बेच सकती। चूंकि हमें स्कूल ऑडिटोरियम में मौजूद सीटस का नंबर नहीं मालूम है, तो अभी हम बस ऐसा मान सकते हैं, कि वो कितनी भी टिकिट्स बेच सकती है। और वो सिर्फ एक पूरी टिकिट ही बेच सकती है; वो किसी भी टिकिट को 1/2 नहीं बेच सकती। इसलिए, फंक्शन का डोमेन t = कोई नॉन नेगेटिव इंटीजर होगा।
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/69\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-16-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-16-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/69\/Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-16-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Range-of-a-Function-in-Math-Step-16-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    रेंज निकी के द्वारा बेची जाने वाली टिकिट्स का पॉसिबल अमाउंट होती है। रेंज पता करने के लिए आपको डोमेन के ऊपर काम करना होगा। अगर आपको मालूम है, कि डोमेन कोई एक नॉन-नेगेटिव इंटीजर है और उसके लिए फॉर्मूला M(t) = 5t है, तो फिर आउटपुट या रेंज पाने के लिए आप किसी भी नॉन-नेगेटिव इंटीजर को इस फंक्शन में रख सकते हैं। उदाहरण के लिए, वो अगर 5 टिकिट्स बेचती है, तो M(5) = 5 x 5, या 25 रूपये होगा। वो अगर 100 बेचती है, तो M(100) = 5 x 100, या 500 रुपये हुआ। इसलिए फंक्शन की रेंज पाँच क्का मल्टीपल कोई भी नॉन-नेगेटिव इंटीजर होता है।
    • इसका मतलब कि कोई भी नॉन-नेगेटिव इंटीजर, जो पाँच का मल्टीपल है, वो फंक्शन के इनपुट के लिए पॉसिबल आउटपुट हो सकता है।

सलाह

  • और भी मुश्किल मामलों के लिए, पहले (अगर हो सके, तो) डोमेन का यूज करते हुए ग्राफ ड्रॉ करना आसान होगा और फिर ग्राफ़ेकिली रेंज तय कर लें।
  • देखें, अगर आप इन्वर्स फंक्शन पता लगा सकें। फंक्शन के इन्वर्स का डोमेन, उस फंक्शन के रेंज के बराबर होता है।
  • फंक्शन के रिपीट होने की जांच करें। ऐसा कोई भी फंक्शन, जो x-एक्सिस के साथ रिपीट होता है, उसकी पूरे फंक्शन के लिए सेम रेंज होगी। उदाहरण के लिए, f(x) = sin(x) की रेंज -1 और 1 के बीच होती है।

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रेफरेन्स

  1. ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
  2. ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
  3. ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
  4. ↑ http://www.purplemath.com/modules/fcns2.htm
  5. ↑ http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html

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