कैसे स्क्वेर रूट के पदों को जोड़ें या घटाएं (Add and Subtract Square Roots)

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सहयोगी लेखक द्वारा David Jia

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स्क्वेर रूट के पदों (terms) को जोड़ने या घटाने के लिए, आपको स्क्वेर रूट के समान करणी (radical) वाले पदों को इकट्ठा करने की आवश्यकता होगी। इसका अर्थ यह है कि आप 2√3 और 4√3 को जोड़ या घटा सकते हैं लेकिन 2√3 और 2√5 को जोड़ या घटा नहीं सकते हैं। कई उदाहरण में आपको करणी या रेडिकल (radical) साइन के अंदर ही पदों को हल करने की आवश्यकता होगी ताकि दोनों संख्याओं के करणी पद या रेडिकल टर्म समान हो जाएं। और फिर आप आसानी से स्क्वेर रूट की संख्या को जोड़ या घटा सकते हैं।

विधि 1
विधि 1 का 2:

स्क्वेर रूट के बेसिक्स के साथ शुरुआत करना

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    यदि संभव हो, तो करणी या रेडिकल साइन के भीतर मौजूद टर्म्स को हल करें : रेडिकल साइन के भीतर मौजूद टर्म्स को हल करने के लिए, संख्या को इस तरह फैक्टराइज़ करें कि उसमें कम से कम एक संख्या पर्फेक्ट स्क्वेर मिल सकें। उदाहरण के लिए, 25 (5 x 5) या 9 (3 x 3)। एक बार जब आप यह कर लें, फिर आप उस पर्फेक्ट स्क्वेर संख्या का वर्गमूल या स्क्वेर रूट (square root) निकालें और वर्गमूल को रेडिकल साइन के बाहर लिखें, और बाकी बचे फैक्टर को रेडिकल साइन के अंदर ही लिखें। उदाहरण के लिए, आपको 6√50 - 2√8 + 5√12 इस न्यूमेरिकल को हल करना है। रेडिकल साइन के बाहर लिखी संख्या को गुणक (coefficient) कहते हैं और रेडिकल साइन के भीतर लिखी संख्या को रेडिकैंड्स (radicands) कहते हैं। निम्नलिखित तरीके से आप रेडिकल के भीतर मौजूद पदों को हल कर सकते हैं: [१]
    • न्यूमेरिकल में पहला टर्म 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2 है। इस टर्म में, "50" का फैक्टर "25 x 2" निकालें। और फिर पर्फेक्ट स्क्वेर संख्या "25" का वर्गमूल निकालें, आपको "5" मिलेंगे। "5" को रेडिकल साइन के बाहर लिखें और "2" को रेडिकल साइन के भीतर ही रहने दें। फिर, "5" को गुणांक "6" से गुणा करें जो पहले से ही रेडिकल साइन के बाहर है। अब रेडिकल साइन के बाहर एक नया गुणांक या कोअफिशन्ट (coefficient) 5 * 6 = 30 मिलेगा।
    • न्यूमेरिकल में दूसरा टर्म 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2 है। यहाँ आपको संख्या "8" के फैक्टर निकालना है जो कि "4 x 2" है और इसमें "4" जो पर्फेक्ट स्क्वेर है, उसका वर्गमूल "2" है उसे रेडिकल साइन के बाहर निकालें, और दूसरी फैक्टर संख्या "2" को रेडिकल साइन के भीतर ही रहने दें। फिर रेडिकल साइन के बाहर पहले से मौजूद गुणांक "2" को "2" से गुणा करें, आपको नया गुणांक 4 मिलेगा।
    • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3 । यहाँ आपको संख्या "12" के फैक्टर निकालना है जो कि "4 x 3" है और फिर फैक्टर में से पर्फेक्ट संख्या "4" का वर्गमूल "2" को रेडिकल साइन के बाहर लिखें और दूसरी संख्या "3" को रेडिकल साइन के भीतर लिखें। फिर रेडिकल साइन के बाहर पहले से मौजूद गुणांक "5" से संख्या "2" को गुणा करें, आपको नया गुणांक 10 मिलेगा।
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    दिए गए उदाहरण में सभी पदों के रेडिकैंड को हल करने के बाद आपका उदाहरण का समीकरण इस तरह से दिखाई देगा: 30√2 - 4√2 + 10√3। चूंकि आप केवल समान पदों को ही जोड़ या घटा सकते हैं, आपको समीकरण में समान रेडिकैंड वाले पदों को सर्कल करने की आवश्यकता होगी। इस उदाहरण में समान पद 30√2 और 4√2 है। जैसे भिन्न में केवल समान हर वाली संख्या को ही जोड़ा या घटाया जाता है, उसी प्रकार यहाँ पर भी केवल समान रेडिकैंड के पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। [२]
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    यदि आप किसी बड़े समीकरण को हल कर रहे हैं, तो उसमें कई समान रेडिकैंड वाले टर्म मौजूद होते हैं। तब आप एक पेयर को सर्कल, दूसरे पेयर को अंडरलाइन, तीसरे के लिए एस्टरिस्क साइन इत्यादि का इस्तेमाल कर सकते हैं: टर्म्स को ऑर्डर में लिखने से आपको उत्तर निकालने में भी आसानी होगी।
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    समान रेडिकैंड के पदों के गुणांक को जोड़े या घटाएं: अब, आपको समीकरण में मौजूद समान रेडिकैंड वाले पदों के गुणांक को जोड़ना या घटाना होगा। और इसके अलावा यदि कोई एक्स्ट्रा टर्म समीकरण में मौजूद है, तो उसे ऐसे ही रहने दें। रेडिकैंड को इकट्ठा करने की आवश्यकता नहीं है। इससे केवल यह पता चलता है कि एक ही तरह के कुल कितने रेडिकैंड है। असमान रेडिकेंट वाले पदों को जैसे है वैसे ही लिखें। [३] आपको समीकरण को निम्नलिखित तरीके से लिखना होगा:
    • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
    • (30 - 4)√2 + 10√3 =
    • 26√2 + 10√3
विधि 2
विधि 2 का 2:

प्रैक्टिस के लिए उदाहरण

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    इस उदाहरण में, आपको निम्नलिखित स्क्वेर रूट्स का योग निकालना है: √(45) + 4√5 । इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित स्टेप्स को फॉलो करने की आवश्यकता है:
    • √(45) को हल करें। सर्वप्रथम, आपको रेडिकैंड 45 के फैक्टर निकालने होंगे, आपको मिलेंगे √(9 x 5) ।
    • फिर, आपको पर्फेक्ट स्क्वेर "9" का वर्गमूल "3" को रेडिकल साइन के बाहर निकालना है, और उसे रेडिकल साइन के गुणांक या कोअफिशन्ट के रूप में लिखना है। इसलिए, आप √(45) = 3√5 लिख सकते हैं। [४]
    • अब, केवल समीकरण के समान रेडिकैंड वाले पदों को जोड़ दें ताकि आपको उत्तर मिल सकें। इसलिए, 3√5 + 4√5 = 7√5
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    निम्नलिखित उदाहरण को हल करें: 6√(40) - 3√(10) + √5 । इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित स्टेप्स को फॉलो करने की आवश्यकता है:
    • 6√(40) को हल करें। आपको सर्वप्रथम रेडिकैंड "40" के फैक्टर निकालने की आवश्यकता है। फैक्टर निकालने पर आपको 6√(40) = 6√(4 x 10) मिलेंगे।
    • फिर, पर्फेक्ट स्क्वेर "4" का वर्गमूल निकालने पर आपको मिलेगा "2"। फिर इस "2" को रेडिकैंड साइन के बाहर गुणांक के तौर पर लिखें। अब आपका समीकरण 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10 है।
    • दोनों गुणांकों को गुणा करने पर आपको 12√10 मिलेंगे।
    • अब आपका उदाहरण 12√10 - 3√(10) + √5 इस तरह से दिखाई देगा। चूंकि पहले दो पदों के रेडिकैंड एक समान है, आप दूसरे पद के गुणांक को पहले पद के गुणांक से घटा सकते हैं, और तीसरे पद को ऐसे ही रहने दें।
    • नया समीकरण (12-3)√10 + √5 होगा, जिसे हल करने पर आपको उत्तर 9√10 + √5 मिलेगा।
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    निम्नलिखित उदाहरण को हल करें: 9√5 -2√3 - 4√5 । यहाँ, किसी भी रेडिकल के फैक्टर में पर्फेक्ट स्क्वेर नहीं है, इसलिए यहाँ फैक्टर निकालने की आवश्यकता नहीं है। यहाँ पहले और तीसरे पद के रेडिकल के रेडिकैंड समान है, इसलिए इन दो रेडिकल के गुणांक को इकट्ठा करके (9 - 4) लिख सकते हैं। रेडिकैंड में कोई बदलाव नहीं होगा। समीकरण में बाकी बचे पद समान नहीं है, इसलिए उदाहरण को हल करने पर उत्तर 5√5 - 2√3 मिलेगा।
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    मान लें कि आपको निम्नलिखित उदाहरण को हल करना है: √9 + √4 - 3√2 । इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित स्टेप्स को फॉलो करने की आवश्यकता है:
    • चूंकि √9 = √(3 x 3) है, आप इस रेडिकल को सिम्पलिफाई कर सकते हैं। इस रेडिकल को √9 = 3 लिखें।
    • चूंकि √4 = √(2 x 2) है, आप इस रेडिकल को सिम्पलिफाई कर सकते हैं। इस रेडिकल को √4 = 2 लिखें।
    • अब आप समीकरण के पहले दो पदों में वैल्यू रखेंगे तो 3 + 2 = 5 मिलेगा।
    • अब समीकरण में 5 और 3√2 समान पद नहीं है, आप इस उदाहरण को आगे हल नहीं कर सकते हैं। इसलिए इस उदाहरण का अंतिम उत्तर 5 - 3√2 है।
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    भिन्न या फ्रैक्शन में मौजूद स्क्वेर रूट को जोड़ने या घटाने की कोशिश करते हैं। सामान्यतः भिन्न में समान हर (denominator) वाले भिन्न में ही हम अंश (numerator) को जोड़ या घटा सकते हैं। यहाँ मान लेते हैं कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करना है: (√2)/4 + (√2)/2 । इसे हल करने के लिए निम्नलिखित स्टेप्स फॉलो करें:
    • सर्वप्रथम हमें दोनों पदों के हर या डिनॉमीनेटर को समान करने की आवश्यकता होगी। यहाँ दोनों फ्रैक्शन के हर "4" और "2" का LCM या लघुत्तम समापवर्त्य 4 है। [५]
    • इसलिए, दूसरे पद (√2)/2 के हर में 4 लाने के लिए आपको उस पद के अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों को ही 2 से गुणा करने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने पर, आपको (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4 मिलेगा।
    • अब दोनों ही भिन्न (fractions) के हर समान हो चूके हैं, तो केवल अंश या न्यूमरेटर की संख्या को जोड़ दें और हर को ऐसे ही रहने दें। आपको उसी तरह से संख्या को जोड़ना है जैसे सामान्य फ्रैक्शन में करते हैं। ऐसा करने पर आपको (√2)/4 + (2√2)/4 = 3√2)/4 मिलेगा।

सलाह

  • रेडिकैंड को पहचाने और इकट्ठा करके लिखने से पहले हमेशा रेडिकैंड जिसमें पर्फेक्ट स्क्वेर की संख्या है, उस संख्या का वर्गमूल निकालें।

चेतावनी

  • असमान रेडिकल को इकट्ठा न करें।
  • पूर्णांक संख्या और रेडिकल को कंबाइन करके नहीं लिखा जा सकता है। जैसे 3 + (2x) 1/2 को हल नहीं किया जा सकता है।
    • याद रखें: "2x का आधा घातांक = (2x) 1/2 और " (2x) का वर्गमूल " दोनों एक ही बात है, केवल इसे कहने का तरीका अलग है।

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रेफरेन्स

  1. ↑ http://www.purplemath.com/modules/radicals3.htm
  2. ↑ https://www.youtube.com/watch?v=zug4TxOc6jY
  3. ↑ https://www.youtube.com/watch?v=zug4TxOc6jY
  4. ↑ https://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut40_addrad.htm
  5. ↑ https://www.mathsisfun.com/least-common-denominator.html

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