कैसे 1 से N तक की संख्याओं या इन्टिजर्स का योग निकालें (Sum the Integers from 1 to N)

सहयोगी लेखक द्वारा Grace Imson, MA

यदि आप किसी स्टैंडर्डाइज़्ड टेस्ट के लिए तैयारी कर रहे हैं या आप केवल कुछ संख्याओं का योग जल्द से जल्द निकालना चाहते हैं, तो आप इस विकिहाउ आर्टिकल के जरिए सीखेंगे कि कैसे 1 से $n$ तक की संख्याओं का योग निकालें। चूंकि इन्टिजर एक पूर्ण संख्या है, इसलिए आपको फ्रैक्शन्स (fractions) या दशमलव (decimal) संख्या के बारे में चिंता करने की आवश्यकता नहीं है। केवल यह तय करें कि दिए गए उदाहरण के लिए कौन सा फॉर्मूला इस्तेमाल करने से आपको सही जवाब निकालने में मदद मिलेगी। फिर उदाहरण में दी गई इन्टिजर की वैल्यू को $n$ की जगह पर सब्स्टिट्यूट करें और समीकरण को हल करें।

विधि 1

विधि 1 का 2:

संख्याओं के सीक्वेंस (sequence) का आकलन करना (Assessing Your Sequence)

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1
संख्याओं के अनुक्रम अर्थात सीक्वेंस को पहचानें: आप जिन संख्याओं का योग निकालने वाले हैं उस संख्याओं की रेंज पता करें। यदि आप इन्टिजर्स का योग निकालने के लिए फार्मूला इस्तेमाल करने वाले हैं, तो यह सुनिश्चित कर लें कि सीक्वेस में मौजूद संख्याएं स्थिर अंकों से बढ़ रही है या नहीं। ^{[१]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, अनुक्रम 5, 6, 7, 8, 9 और 17, 19, 21, 23, 25 यह एक सीरीज है।
- अनुक्रम 5, 6, 9, 11, 14 को सीरीज नहीं कह सकते हैं, क्योंकि इसमें संख्याओं के बीच का बढ़ाव स्थिर या कांस्टेंट नहीं है।
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2
दिए गए सीक्वेंस के लिए $n$ को डिफाइन करें: यदि आप 1 से $n$ तक के इन्टिजर्स का योग निकालने के लिए फॉर्मूला का इस्तेमाल करना चाहते हैं, तो इन्टिजर्स में सबसे बड़ा इन्टिजर $n$ है।
- उदाहरण के लिए, यदि आप 1 से 100 तक की सारी संख्याओं का योग निकालना चाहते हैं, तो यहाँ $n$ की वैल्यू 100 है क्योंकि इस सीक्वेंस में सबसे बड़ा इन्टिजर 100 है।
- याद रखें, इन्टिजर हमेशा पूर्ण संख्या होती है, इसलिए $n$ की वैल्यू दशमलव, फ्रैक्शन या निगेटिव संख्या नहीं हो सकती है।
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3
पता करें कि आप कुल कितने इन्टिजर्स का योग निकालने वाले हैं: सीक्वेंस में मौजूद शुरुआती संख्या से $n$ तक मौजूद सारे इन्टिजर्स का योग निकालने के लिए पता करें कि सीक्वेंस में कुल कितनी संख्याएं मौजूद है। उदाहरण के लिए, यदि आप पहले 200 इन्टिजर्स का योग निकालना चाहते हैं, तो आपके सीक्वेंस में कुल 200 + 1 = 201 टर्म्स मौजूद है। ^{[२]
X
रिसर्च सोर्स}
- यदि आप 1 से 12 तक के इन्टिजर्स का योग निकालना चाहते हैं, तो आपकी सीक्वेंस में 12 + 1 = 13 टर्म्स मौजूद है।
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4
तय करें कि आपको किसी विशेष रेंज का योग निकालना है: आपको उदाहरण में दो संख्याओं के बीच मौजूद संख्याओं की रेंज का योग निकालने के लिए कहा गया है। ऐसे उदाहरण में आपको $n$ की वैल्यू से 1 घटाने की आवश्यकता होगी। ^{[३]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, यदि आपको 1 से 100 तक की संख्याओं के बीच की संख्याओं का योग निकालना है, तो 100 में से 1 घटाने पर आपको 99 मिलेंगे।

विधि 2

विधि 2 का 2:

इन्टिजर्स का योग निकालने के लिए फॉर्मूला का इस्तेमाल करना (Using Formulas to Add the Integers)

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1
क्रमागत संख्याओं (consecutive integers) के लिए फॉर्मूला लिखें: जब आप $n$ की वैल्यू पता कर लेते हैं, तो क्रमागत संख्याओं (consecutive integers) का योग निकालने के लिए n की वैल्यू को sum = $n$ ∗( $n$ +1)/2 फॉर्मूला में सब्स्टिट्यूट करें। ^{[४]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, यदि आप पहले 100 इन्टिजर्स का योग निकाल रहे हैं, तो $n$ बराबर 100 को फॉर्मूला में सब्स्टिट्यूट करें ताकि आपको 100∗(100+1)/2 मिल सकें।
- और यदि आप पहले 20 इन्टिजर्स का योग निकाल रहे हैं, तो $n$ की वैल्यू 20 हो जाएगी। और n की वैल्यू को फॉर्मूला में लिखने के बाद आपका फॉर्मूला 20∗(20+1)/2 इस तरह से दिखाई देगा, जिसे हल करने पर आपको 420/2 मिलेगा। और फिर इसे हल करने पर आपको उत्तर 210 मिलेगा।
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2
केवल सम संख्याओं का योग निकालने के लिए फॉर्मूला लिखें: यदि आपके उदाहरण में 1 से 100 तक की संख्याओं में केवल सम संख्याओं का योग निकालने के लिए कहा गया है, तो आपको अलग फॉर्मूला का इस्तेमाल करने की आवश्यकता होगी। सीक्वेंस में मौजूद सबसे बड़े इन्टिजर $n$ की वैल्यू को फॉर्मूला sum = $n$ ∗( $n$ +2)/4 में सब्स्टिट्यूट करें। ^{[५]
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रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, यदि सीक्वेंस 1 से 20 तक की संख्याओं में केवल सम संख्याओं का योग निकालना है, तो $n$ बराबर 20 को फॉर्मूला में सब्स्टिट्यूट करें। अब आपका फॉर्मूला 20∗22/4 बन जाएगा।
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3
विषम संख्याओं का योग निकालने के लिए फॉर्मूला लिखें: यदि उदाहरण में दिए गए सीक्वेंस में से केवल विषम संख्याओं का योग निकालने के लिए कहा गया है, तो आपको सर्वप्रथम $n$ की वैल्यू पता करने की आवश्यकता होगी। $n$ की वैल्यू निकालने के लिए, सीक्वेंस में मौजूद सबसे बड़े इन्टिजर में 1 मिलाएं। फिर निम्नलिखित फॉर्मूला में $n$ की वैल्यू सब्स्टिट्यूट करें: फॉर्मूला है sum = ( $n$ +1)∗( $n$ +1)/4। ^{[६]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, 1 से 9 सीरीज़ में मौजूद विषम संख्याओं का योग निकालने के लिए सर्वप्रथम संख्या 1 और 9 का योग निकालें। फिर इस योग को फॉर्मूला में सब्स्टिट्यूट करें। अब समीकरण कुछ इस प्रकार दिखाई देगा: 10∗(10)/4। इस समीकरण को हल करने पर आपको योग = 10∗(10)/4 = 25 मिलेगा।
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4
योग निकालने के लिए किसी भी डिफाइन्ड फॉर्मूला का इस्तेमाल करें: जब आप सबसे बड़े इन्टिजर की वैल्यू पता कर लेते हैं, तो इन्टिजर को उसी से गुणा करें और फिर उसमें 1, 2 या 4 मिलाएं जो आपके फॉर्मूला में पर निर्भर करता है। फिर अंतिम उत्तर निकालने के लिए समीकरण को 2 या 4 से भाग दें। ^{[७]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, क्रमागत संख्याओं (consecutive integers) का योग निकालने के लिए फॉर्मूला 100∗101/2 में 100 को 101 से गुणा करें। आपको उत्तर मिलेगा 10100। इस संख्या को 1 से भाग दें ताकि आपको अंतिम उत्तर 5050 मिल सकें।
- और 1 से 20 सीरीज में सम संख्याओं का योग निकालने के लिए, फॉर्मूला होगा 20∗22/4। इसमें 20 को 22 से गुणा करें, आपको मिलेगा 440। अंतिम उत्तर निकालने के लिए अब इस उत्तर को 4 से भागने पर, आपको उत्तर मिलेगा 110।

[१]

[२]

[३]

[४]

[५]

[६]

[७]

लॉग इन

कैसे 1 से N तक की संख्याओं या इन्टिजर्स का योग निकालें (Sum the Integers from 1 to N)

चरण

संख्याओं के सीक्वेंस (sequence) का आकलन करना (Assessing Your Sequence)

इन्टिजर्स का योग निकालने के लिए फॉर्मूला का इस्तेमाल करना (Using Formulas to Add the Integers)

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