Unduh PDF
Unduh PDF
Operasi invers biasa digunakan di aljabar untuk menyederhanakan perhitungan yang tanpanya bisa cukup sulit. Misalnya, jika ingin membagi dengan sebuah pecahan, Anda bisa mempermudah perhitungan dengan mengalikan kebalikannya. Artikel ini membahas tentang operasi invers. Karena matriks tidak bisa dibagi, Anda perlu mengalikan dengan inversnya. Menghitung invers matriks 3x3 secara manual memang cukup sulit, tetapi tetap harus dibahas. Anda juga bisa menghitung invers matriks dengan menggunakan kalkulator grafik canggih.
Langkah
-
Cek determinan matriks. Pertama-tama hitung determinan matriks. Jika determinannya sama dengan 0 maka Anda berhenti di sini, karena matriks ini tidak memiliki invers. Determinan matriks M dapat disimbolkan dengan det(M). [1] X Teliti sumber
- Untuk matriks 3x3, cari determinannya terlebih dahulu
- Untuk mengulang kembali cara mencari determinan sebuah matriks, lihat Menentukan Determinan Matriks 3X3 .
-
Lakukan transpose pada matriks. Transpose berarti mencerminkan matriks terhadap sumbu diagonal utama, atau bisa dilakukan dengan menukar angka pada posisi (i,j) dan (j,i). Ketika Anda melakukan proses transpose, perhatikan bahwa nilai pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) tidak berubah. [2] X Teliti sumber
- Anda juga bisa membuat transpose dengan menulis ulang baris pertama menjadi kolom pertama, baris tengah menjadi kolom tengah, dan baris ketiga menjadi kolom ketiga. Perhatikan angka yang diberi warna pada diagram dan lihat ke mana posisinya telah berpindah.
-
Cari determinan untuk tiap matriks minor 2x2. Setiap angka pada matriks 3x3 hasil transpose berpasangan dengan sebuah matriks "minor" 2x2. Untuk menemukan matriks minor pada tiap angka, pertama-tama tandai baris dan kolom pada angka yang Anda kerjakan. Ada lima angka yang ditandai pada matriks. Empat angka sisanya adalah matriks minor. [3] X Teliti sumber
- Pada contoh di atas, jika Anda ingin mencari matriks minor untuk angka pada baris kedua kolom pertama, tandai lima angka pada baris kedua dan kolom pertama. Empat angka sisanya adalah matriks minornya.
- Cari determinan tiap matriks minor dengan mengalikan silang diagonal-diagonalnya dan mengurangkannya, seperti pada contoh.
-
Buat matriks kofaktor. Masukkan hasil dari tahap sebelumnya ke dalam matriks kofaktor dengan memasukkan determinan setiap matriks minor pada posisi sesuai dengan matriks asal. Jadi, determinan yang dihitung dari angka pada posisi (1,1) matriks asal dimasukkan pada posisi (1,1). Anda harus membalik tanda secara selang-seling pada matriks ini, mengikuti pola "papan catur" seperti yang ditunjukkan pada contoh. [4] X Teliti sumber
- Ketika memberi tanda, nilai pertama pada baris pertama harus mengikuti tanda aslinya. Tanda pada nilai kedua dibalik. Tanda pada nilai ketiga seperti tanda aslinya. Lanjutkan untuk seluruh matriks mengikuti pola ini. Perhatikan bahwa tanda (+) dan (-) pada pola papan catur tidak menunjukkan apakah angka akhir harus positif atau negatif. Tanda tersebut hanya menunjukkan apakah Anda harus mempertahankan (+) atau membalik (-) tanda asal.
- Hasil akhir dari langkah ini disebut matriks adjugat dari matriks asal. Matriks ini juga sering disebut sebagai matriks adjoin. Matriks adjugat disimbolkan dengan Adj(M).
-
Bagi tiap angka dari matriks adjugat dengan determinan. Ingat kembali nilai determinan matriks M yang telah Anda hitung pada langkah pertama (untuk mengecek apakah matriks memiliki invers atau tidak). Sekarang bagi setiap angka pada matriks dengan nilai tersebut. Masukkan hasil setiap perhitungan pada posisi asalnya. Hasilnya adalah invers matriks dari matriks asal. [5] X Teliti sumber
- Untuk contoh matriks seperti yang ditunjukkan di diagram, determinannya adalah 1. Oleh karena itu, proses pembagian matriks adjugat akan menghasilkan matriks adjugat itu sendiri. (Anda mungkin tidak akan selalu seberuntung itu).
- Alih-alih membagi, beberapa referensi menuliskan tahap ini sebagai perkalian setiap angka pada matriks M dengan 1/det(M). Secara matematis, kedua pernyataan ini sama.
Iklan
Metode 2
Metode 2 dari 3:
Menggunakan Operasi Baris Elementer untuk Mencari Invers Matriks
Unduh PDF
-
Gabungkan matriks identitas dengan matriks asal. Tuliskan matriks asal M, buat sebuah garis vertikal di sebelah kanannya, lalu tuliskan matriks identitas di sebelah kanannya. Sekarang Anda memiliki sebuah matriks yang tampak sebagai matriks dengan tiga baris dan enam kolom. [6] X Teliti sumber
- Ingat kembali bahwa matriks identitas adalah sebuah matriks khusus yang bernilai 1 pada tiap angka diagonal utama dari kiri atas ke kanan bawah, dan bernilai 0 pada semua posisi lain.
-
Lakukan operasi baris elementer. Tujuan Anda adalah membuat matriks identitas pada sisi kiri matriks yang baru dibuat. Saat melakukan operasi basis elementer pada sisi kiri, Anda harus melakukan proses yang sama pada sisi kanan, yang awalnya adalah matriks identitas. [7] X Teliti sumber
- Ingat bahwa operasi baris elementer adalah kombinasi dari perkalian skalar dan penjumlahan atau pengurangan baris, yang bertujuan untuk mengisolasi nilai matriks tertentu.
-
Lanjutkan sampai Anda memperoleh matriks identitas. Terus ulangi operasi baris elementer sampai sisi kiri matriks baru Anda menjadi matriks identitas (diagonalnya bernilai 1, dan angka lain bernilai 0). Ketika Anda sampai pada titik ini, matriks pada sisi sebelah kanan garis vertikal adalah invers dari matriks asal. [8] X Teliti sumber
-
Tulis invers matriks. Seluruh angka pada sisi kanan garis vertikal adalah invers matriks. [9] X Teliti sumberIklan
-
Pilih kalkulator yang bisa menghitung matriks. Kalkulator sederhana 4-fungsi tidak bisa membantu Anda mencari invers secara langsung. Namun, beberapa kalkulator grafik canggih, seperti TI-83 atau CASIO-9860 yang bisa melakukan perhitungan berulang, dapat membantu Anda mempermudah perhitungan. [10] X Teliti sumber
-
Masukkan matriks ke dalam kalkulator. Pertama-tama, masuk ke dalam fungsi Matrix di dalam kalkulator Anda dengan menekan tombol Matrix , jika ada tombolnya di kalkulator Anda. Pada kalkulator Texas Instrument , Anda perlu menekan tombol 2 nd Matrix .
-
Pilih submenu Edit . Untuk memasuki submenu, gunakan tombol panah atau pilih fungsi yang tepat pada tombol bagian atas kalkulator, tergantung posisi tombol pada kalkulator Anda. [11] X Teliti sumber
-
Pilih nama matriks. Sebagian besar kalkulator bisa menghitung antara 3 sampai 10 matriks, yang diberi nama A sampai J. Biasanya pilih saja [A] dan teruskan perhitungan. Tekan tombol Enter setelah memasukkan pilihan. [12] X Teliti sumber
-
Masukkan dimensi matriks. Artikel ini berfokus pada matriks 3x3. Namun, kalkulator dapat menangani matriks dengan ukuran lebih besar. Masukkan jumlah baris, lalu tekan Enter , dan masukkan jumlah kolom, dan tekan Enter . [13] X Teliti sumber
-
Masukkan setiap angka pada matriks. Layar kalkulator akan menunjukkan sebuah matriks. Jika Anda pernah menggunakan fungsi matriks, matriks sebelumnya akan muncul pada layar. Kursor akan berada pada posisi pertama matriks. Ketikkan angka pada matriks yang ingin Anda hitung, lalu tekan Enter . Kursor akan berpindah secara otomatis pada angka berikutnya dalam matriks, menggantikan nilai yang telah ada sebelumnya. [14] X Teliti sumber
- Jika Anda ingin memasukkan angka negatif, gunakan tombol negatif (-) pada kalkulator, bukan tanda kurang. Fungsi matriks tidak akan bisa membaca angka tersebut dengan sempurna.
- Jika diperlukan, gunakan tombol panah pada kalkulator untuk berpindah posisi dalam matriks.
-
Keluar dari fungsi Matrix . Setelah Anda memasukkan semua angka pada matriks, tekan tombol Quit (atau 2 nd Quit , jika perlu). Anda akan keluar dari fungsi Matrix dan kembali pada menu utama pada kalkulator. [15] X Teliti sumber
-
Gunakan tombol invers untuk mencari invers matriks. Pertama-tama, buka fungsi Matrix dan gunakan tombol Name untuk memilih nama matriks yang Anda gunakan untuk mendefinisikan matriks Anda (misalnya [A]). Lalu, tekan tombol invers pada kalkulator, . Anda mungkin perlu menekan tombol 2 nd sebelumnya, tergantung jenis kalkulator Anda. Pada layar kalkulator akan tertulis . Tekan Enter , dan invers matriks akan tampak di layar kalkulator. [16] X Teliti sumber
- Jangan menggunakan tombol ^ pada kalkulator dan memasukkan perhitungan A^-1. Kalkulator tidak akan bisa memproses operasi ini.
- Jika Anda mendapatkan pesan kesalahan saat menekan tombol invers, ada kemungkinan matriks Anda tidak memiliki invers. Hitung kembali determinan untuk mengeceknya.
-
Ubah invers matriks Anda menjadi bentuk yang akurat. Pada perhitungan pertama kalkulator Anda akan memberikan hasil dalam bentuk desimal. Nilai ini bukanlah nilai yang paling "akurat". Anda bisa mengubah bentuk desimal menjadi bentuk pecahan, jika diperlukan. (Jika Anda cukup beruntung, semua hasilnya adalah bilangan bulat, tetapi ini jarang sekali terjadi.) [17] X Teliti sumber
- Kalkulator Anda mungkin memiliki fungsi untuk mengubah secara otomatis desimal menjadi pecahan. Misalnya, pada TI-86, masuk ke dalam fungsi Math , lalu pilih Misc , dan kemudian Frac , dan tekan Enter . Nilai desimal akan otomatis berubah menjadi pecahan.
Iklan
Tips
- Anda bisa mengikuti semua langkah ini untuk mencari invers matriks yang tidak mengandung angka saja tetapi juga mengandung variabel, yaitu nilai tak tentu atau bahkan bentuk aljabar.
- Tuliskan semua langkah dalam proses ini karena sulit sekali menghitung invers matriks 3x3 di awang-awang.
- Ada program komputer yang bisa menghitung invers matriks [18] X Teliti sumber , sampai ukuran matriks 30x30.
- Cek apakah hasilnya akurat, dengan cara apa pun yang Anda sukai, misalnya mengalikan M dengan M -1 . Pastikan bahwa M*M -1 = M -1 *M = I. I adalah matriks identitas, yang bernilai 1 pada diagonal utama dan 0 pada posisi lainnya. Jika hasilnya bukan matriks identitas, Anda pasti melakukan kesalahan perhitungan.
Iklan
Peringatan
- Tidak semua matriks 3x3 memiliki invers. Jika determinan matriks adalah 0, matriks tersebut tidak memiliki invers. (Perhatikan bahwa pada rumus kita perlu membagi dengan det(M). Hasilnya tidak terdefinisi jika dibagi dengan nol.)
Iklan
Referensi
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse-minors-cofactors-adjugate.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices11-2009-1.pdf
- ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
- ↑ http://www.mathwords.com/c/cofactor_matrix.htm
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/inverses.html
- ↑ http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/
Iklan
