Unduh PDF
Unduh PDF
Trinomial adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari tiga suku. Kemungkinan besar, Anda akan mulai mempelajari cara memfaktorkan trinomial kuadrat , artinya trinomial yang dituliskan dalam bentuk ax 2 + bx + c. Terdapat beberapa trik untuk dipelajari, yang dapat digunakan untuk berbagai jenis trinomial kuadrat, tetapi Anda akan dapat menggunakannya dengan lebih baik dan cepat dengan latihan. Polinomial dengan tingkat lebih tinggi, dengan suku seperti x 3 atau x 4 , tidak selalu dapat diselesaikan dengan cara yang sama, tetapi Anda seringkali dapat menggunakan pemfaktoran atau substitusi sederhana untuk mengubahnya menjadi persoalan yang dapat diselesaikan seperti rumus kuadrat lainnya.
Langkah
-
Mempelajari perkalian PLDT. Anda mungkin sudah mempelajari cara perkalian PLDT, atau "Pertama, Luar, Dalam, Terakhir" untuk mengalikan ekspresi-ekspresi seperti (x+2)(x+4). Akan berguna untuk mengetahui cara kerja perkalian ini sebelum kita memfaktorkan:
- Kalikan suku-suku Pertama : ( x +2)( x +4) = x 2 + __
- Kalikan suku-suku Luar : ( x +2)(x+ 4 ) = x 2 + 4x + __
- Kalikan suku-suku Dalam : (x+ 2 )( x +4) = x 2 +4x+ 2x + __
- Kalikan suku-suku Terakhir : (x+ 2 )(x+ 4 ) = x 2 +4x+2x+ 8
- Sederhanakan: x 2 + 4x+2x +8 = x 2 + 6x +8
-
Pahami pemfaktoran. Saat Anda mengalikan dua binomial menggunakan cara PLDT, Anda akan mendapatkan trinomial (ekspresi dengan tiga suku) dalam bentuk a x 2 + b x+ c , dengan a, b, dan c adalah bilangan-bilangan biasa. Jika Anda mulai dengan sebuah persamaan yang memiliki bentuk yang sama, Anda dapat memfaktorkannya kembali menjadi dua binomial.
- Jika persamaannya tidak ditulis dalam urutan seperti ini, aturlah persamaannya sehingga memiliki urutan seperti ini. Misalnya, tulislah ulang 3x - 10 + x 2 menjadi x 2 + 3x - 10 .
- Karena pangkat tertingginya adalah 2 (x 2 , jenis ekspresi ini disebut kuadrat .
-
Berikan tempat kosong untuk jawaban dalam bentuk perkalian PLDT. Untuk sementara, tulis saja (__ __)(__ __) di tempat Anda akan menuliskan jawaban. Kita akan mengisinya sambil mengerjakannya
- Jangan menuliskan + atau – di antara suku-suku yang kosong karena kita belum mengetahui tanda yang benar.
-
Isilah suku-suku Pertamanya. Untuk soal-soal sederhana, yang suku pertamanya dari trinomial Anda hanyalah x 2 , suku-suku pada posisi Pertama selalu x dan x . Ini adalah faktor-faktor dari suku x 2 karena x dikali x = x 2 .
- Contoh kita x 2 + 3x - 10 dimulai dengan x 2 , sehingga kita dapat menuliskan:
- (x __)(x __)
- Kita akan mengerjakan soal-soal yang lebih rumit pada bagian selanjutnya, termasuk trinomial yang dimulai dengan suku seperti 6x 2 atau -x 2 . Untuk sementara, ikuti soal-soal contoh ini.
-
Gunakan pemfaktoran untuk menebak suku-suku Terakhirnya. Jika Anda kembali dan membaca langkah-langkah cara perkalian PLDT, Anda akan melihat bahwa mengalikan suku-suku Terakhirnya akan menghasilkan suku terakhir pada polinomial (suku yang tidak memiliki x). Jadi untuk memfaktorkan, kita harus mencari dua angka yang jika dikalikan akan menghasilkan suku terakhir.
- Dalam contoh kita x 2 + 3x - 10, suku terakhirnya adalah -10.
- Berapakah faktor-faktor dari -10? Angka berapa yang jika dikalikan sama dengan -10?
- Terdapat beberapa kemungkinan: -1 dikali 10, 1 dikali -10, -2 dikali 5, atau 2 dikali -5. Tulislah pasangan-pasangan ini di suatu tempat untuk mengingatnya.
- Jangan mengubah jawaban kita terlebih dahulu. Jawaban kita harus masih tetap terlihat seperti ini: (x __)(x __) .
-
Ujilah kemungkinan-kemungkinan yang sesuai dengan perkalian Luar dan Dalam. Kita sudah mempersempit suku-suku Terakhirnya menjadi beberapa kemungkinan. Gunakan sistem uji coba untuk menguji setiap kemungkinan, dengan mengalikan suku-suku Luar dan Dalam dan membandingkan hasil perkaliannya dengan trinomial kita. Misalnya:
- Soal awal kita memiliki suku "x" pada 3x, jadi hasil pengujian kita harus sesuai dengan suku ini.
- Pengujian -1 dan 10: (x-1)(x+10). Luar + Dalam = 10x - x = 9x. Salah.
- Pengujian 1 dan -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Ini salah. Sebenarnya, jika Anda menguji -1 dan 10, Anda akan mengetahui bahwa 1 dan -10 adalah kebalikan dari jawaban di atas: -9x dan bukan 9x.
- Pengujian -2 dan 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Hasilnya sesuai dengan polinomial awal, jadi inilah jawaban yang benar: (x-2)(x+5) .
- Dalam kasus-kasus sederhana seperti ini, jika Anda tidak memiliki konstanta di depan suku x 2 , Anda dapat menggunakan cara cepat: jumlahkan saja kedua faktornya dan letakkan "x" di belakangnya (-2+5 → 3x). Akan tetapi, cara ini tidak dapat digunakan untuk soal-soal yang lebih rumit, jadi lebih baik mengingat "cara panjang" yang dideskripsikan di atas.
Iklan
-
Gunakan pemfaktoran sederhana untuk membuat soal-soal yang lebih rumit menjadi lebih sederhana. Misalkan, Anda harus memfaktorkan 3x 2 + 9x - 30 . Carilah bilangan yang dapat memfaktorkan ketiga suku-sukunya ("faktor persekutuan terbesar"atau FPB). [1] X Teliti sumber Dalam kasus ini, FPBnya adalah 3:
- 3x 2 = (3)(x 2 )
- 9x = (3)(3x)
- -30 = (3)(-10)
- Dengan demikian, 3x 2 + 9x - 30 = (3)(x 2 +3x-10). Kita dapat memfaktorkan keluar trinomial yang baru menggunakan langkah-langkah pada bagian di atas. Jawaban akhir kita akan menjadi (3)(x-2)(x+5) .
-
Carilah faktor-faktor yang lebih rumit. Terkadang, faktornya mungkin melibatkan variabel, atau Anda mungkin perlu memfaktorkan beberapa kali untuk mencari ekspresi paling sederhana yang mungkin. Inilah beberapa contohnya:
- 2x 2 y + 14xy + 24y = (2y) (x 2 + 7x + 12)
- x 4 + 11x 3 - 26x 2 = (x 2 ) (x 2 + 11x - 26)
- -x 2 + 6x - 9 = (-1) (x 2 - 6x + 9)
- Jangan lupa untuk memfaktorkan kembali trinomial yang baru, menggunakan langkah-langkah pada cara 1. Periksa pekerjaanmu dan carilah contoh-contoh soal yang hampir sama pada contoh-contoh soal di dekat bagian bawah halaman ini.
-
Selesaikan soal-soal dengan sebuah bilangan di depan x 2 . Beberapa trinomial kuadrat tidak dapat disederhanakan menjadi jenis soal yang paling mudah. Pelajari cara menyelesaikan soal-soal seperti 3x 2 + 10x + 8, kemudian berlatihlah sendiri dengan contoh-contoh soal pada bagian bawah halaman ini:
- Aturlah jawaban kita menjadi: (__ __)(__ __)
- Suku-suku "Pertama" kita masing-masing akan memiliki satu x, dan jika dikalikan akan menghasilkan 3x 2 . Hanya adalah satu kemungkinan: (3x __)(x __) .
- Tulislah daftar faktor-faktor dari 8. Kemungkinannya adalah 1 dikali 8 atau 2 dikali 4.
- Ujilah kemungkinan ini menggunakan suku-suku Luar dan Dalam. Perhatikan bahwa urutan faktor-faktor sangatlah penting karena suku Luar dikalikan dengan 3x dan bukan x. Cobalah setiap kemungkinan hingga Anda mendapatkan hasil Luar+Dalam = 10x (dari soal awal):
- (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x bukan
- (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x bukan
- (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x bukan
- (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x ya . Ini adalah faktor yang benar.
-
Gunakan substitusi untuk trinomial dengan tingkat lebih tinggi. Buku matematika Anda mungkin mengejutkan Anda dengan persamaan dengan pangkat yang tinggi, misalnya x 4 , bahkan setelah Anda menggunakan pemfaktoran sederhana untuk membuat soalnya menjadi lebih mudah. Cobalah mensubstitusi variabel baru yang mengubahnya menjadi soal yang Anda ketahui cara penyelesaiannya. [2] X Teliti sumber Misalnya:
- x 5 +13x 3 +36x
- =(x)(x 4 +13x 2 +36)
- Ayo kita buat variabel baru. Kita misalkan y = x 2 dan masukkan ke dalamnya:
- (x)(y 2 +13y+36)
- =(x)(y+9)(y+4). Sekarang, ubahlah kembali menjadi variabel awalnya:
- =(x)(x 2 +9)(x 2 +4)
- = (x)(x±3)(x±2)
Iklan
-
Carilah bilangan-bilangan prima. Carilah untuk melihat jika konstanta pada suku pertama atau ketiga dari trinomial merupakan bilangan prima. Bilangan prima hanya dapat dibagi habis oleh dirinya sendiri dan 1, jadi hanya ada satu kemungkinan pasangan faktor-faktor binomial.
- Misalnya, dalam x 2 + 6x + 5, 5 adalah bilangan prima, jadi binomialnya harus dalam bentuk (__ 5)(__ 1).
- Dalam soal 3x 2 +10x+8, 3 adalah bilangan prima, jadi binomialnya harus dalam bentuk (3x __)(x __).
- Untuk soal 3x 2 +4x+1, baik 3 maupun 1 adalah bilangan prima, jadi satu-satunya penyelesaian yang mungkin adalah (3x+1)(x+1). (Anda harus tetap mengalikan bilangan ini untuk memeriksa jawaban Anda karena beberapa ekspresi tidak dapat difaktorkan sama sekali – misalnya, 3x 2 +100x+1 tidak memiliki faktor.)
-
Cari tahu jika trinomialnya merupakan kuadrat sempurna. Trinomial kuadrat sempurna dapat difaktorkan menjadi dua binomial yang identik, dan faktornya biasa dituliskan sebagai (x+1) 2 dan bukan (x+1)(x+1). Inilah beberapa contoh yang cenderung muncul dalam soal-soal:
- x 2 +2x+1=(x+1) 2 , dan x 2 -2x+1=(x-1) 2
- x 2 +4x+4=(x+2) 2 , dan x 2 -4x+4=(x-2) 2
- x 2 +6x+9=(x+3) 2 , dan x 2 -6x+9=(x-3) 2
- Trinomial kuadrat sempurna dalam bentuk a x 2 + b x + c selalu memiliki suku-suku a dan c yang merupakan kuadrat sempurna positif (seperti 1, 4, 9, 16, atau 25) dan satu suku b (positif atau negatif) yang sama dengan 2(√a * √c). [3] X Teliti sumber
-
Cari tahu apakah sebuah soal tidak memiliki penyelesaian. Tidak semua trinomial dapat difaktorkan. Jika Anda tidak dapat memfaktorkan suatu trinomial kuadrat (ax 2 +bx+c), gunakan rumus kuadrat untuk mencari jawabannya. Jika satu-satunya jawaban adalah akar kuadrat bilangan negatif, tidak ada penyelesaian bilangan real, maka soal tersebut tidak memiliki faktor.
- Untuk trinomial non-kuadrat, gunakan Kriteria Eisenstein, yang dideskripsikan dalam bagian Tips.
Iklan
Jawaban dan Contoh-Contoh Soal
- Jawaban dari soal-soal "pemfaktoran rumit".
Ini adalah soal-soal dari langkah "faktor-faktor yang lebih rumit." Kita sudah menyederhanakan soal-soalnya menjadi soal-soal yang lebih mudah, jadi cobalah untuk menyelesaikannya menggunakan langkah-langkah pada cara 1, kemudian periksa pekerjaanmu di sini:
- (2y)(x 2 + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
- (x 2 )(x 2 + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
- (-1)(x 2 - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3) 2
- Cobalah soal-soal pemfaktoran yang lebih rumit.
Soal-soal ini memiliki faktor yang sama pada setiap sukunya yang harus difaktorkan terlebih dahulu. Bloklah bagian kosong setelah tanda sama dengan untuk melihat jawabannya sehingga Anda dapat memeriksa pekerjaan Anda:
- 3x 3 +3x 2 -6x = (3x)(x+2)(x-1) ← bloklah bagian kosongnya untuk melihat jawaban
- -5x 3 y 2 +30x 2 y 2 -25y 2 x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
- Berlatihlah menggunakan soal-soal
. Soal-soal ini tidak dapat difaktorkan menjadi persamaan-persamaan yang lebih mudah, jadi Anda harus mencari jawabannya dalam bentuk (_x + __)(_x + __) menggunakan uji coba:
- 2x 2 +3x-5 = (2x+5)(x-1) ← bloklah untuk melihat jawabannya
- 9x 2 +6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1) 2 (Petunjuk: Anda mungkin ingin mencoba lebih dari satu pasangan faktor untuk 9x.)
Tips
- Jika Anda tidak dapat mengetahui cara memfaktorkan trinomial kuadrat (ax 2 +bx+c), Anda dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari x.
- Meskipun Anda tidak perlu mengetahui cara melakukannya, Anda dapat menggunakan Kriteria Eisenstein untuk menentukan dengan cepat jika suatu polinomial tidak dapat disederhanakan dan difaktorkan. Kriteria ini berlaku untuk polinomial apa pun tetapi paling baik digunakan untuk trinomial. Jika ada bilangan prima p yang dapat membagi habis dua suku terakhir dan memenuhi syarat-syarat berikut, maka polinomial tersebut tidak dapat disederhanakan:
- Suku konstanta (tanpa variabel) merupakan kelipatan p tetapi bukanlah kelipatan p 2 .
- Suku depannya (misalnya, a dalam ax 2 +bx+c) bukanlah kelipatan p.
- Misalnya, 14x 2 + 45x + 51 tidak dapat disederhanakan karena ada bilangan prima (3) yang dapat membagi habis baik 45 dan 51, tetapi tidak membagi habis 14, dan 51 tidak dapat dibagi habis oleh 3 2 .
Iklan
Peringatan
- Meskipun benar untuk trinomial kuadrat, trinomial yang dapat difaktorkan tidaklah harus merupakan hasil perkalian dua binomial. Misalnya, x 4 + 105x + 46 = (x 2 + 5x + 2)(x 2 - 5x + 23).
Iklan
Referensi
- ↑ http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut28_facttri.htm
- ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/ate13/highpolylesson.htm
- ↑ http://www.themathpage.com/alg/perfect-square-trinomial.htm
- http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut28_facttri.htm
- http://www.themathpage.com/alg/factoring-trinomials.htm
- http://www.algebrahelp.com/lessons/factoring/trinomial/
Tentang wikiHow ini
Halaman ini telah diakses sebanyak 124.631 kali.
Iklan
