Cara Menurunkan Akar Kuadrat X

Disusun bersama David Jia

Jika telah belajar kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui aturan pangkat untuk menemukan diferensial/turunan fungsi dasar. Namun, ketika fungsi berisi akar kuadrat atau tanda radikal, misalnya ${\sqrt {x}}$ , aturan pangkat tampak sulit diterapkan. Memakai substitusi eksponen sederhana, penurunan fungsi ini bisa menjadi lebih mudah. Anda kemudian bisa menerapkan substitusi yang sama dan menggunakan aturan rantai kalkulus untuk menurunkan banyak fungsi lainnya yang memiliki akar pangkat.

Metode 1

Metode 1 dari 3:

Menggunakan Aturan Pangkat

Unduh PDF

1
Kaji ulang aturan pangkat turunan. Aturan pertama yang kemungkinan Anda pelajari untuk mencari turunan adalah aturan pangkat. Aturan ini menyatakan bahwa untuk setiap variabel $x$ yang dipangkatkan sebanyak $a$ , turunannya adalah: ^{[1]
X
Teliti sumber}
- $f(x)=x^{{a}}$
- $f^{{\prime }}(x)=ax^{{a-1}}$
- Sebagai contoh, perhatikan fungsi berikut dan turunannya:
  - Jika $f(x)=x^{2}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)=2x$
  - Jika $f(x)=3x^{2}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)=2*3x=6x$
  - Jika $f(x)=x^{3}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)=3x^{2}$
  - Jika $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$
2
Tulis ulang akar kuadrat sebagai eksponen. Untuk menemukan turunan fungsi akar kuadrat, Anda perlu mengingat bahwa akar kuadrat semua angka atau variabel juga bisa ditulis sebagai eksponen. Suku di bawah tanda akar kuadrat (radikal) ditulis sebagai dasar, dan dipangkatkan sebanyak 1/2. Perhatikan contoh berikut: ^{[2]
X
Teliti sumber}
- ${\sqrt {x}}=x^{{{\frac {1}{2}}}}$
- ${\sqrt {4}}=4^{{{\frac {1}{2}}}}$
- ${\sqrt {3x}}=(3x)^{{{\frac {1}{2}}}}$
3
Terapkan aturan pangkat. Jika fungsi dalam soal adalah akar kuadrat dalam bentuk paling sederhana, $f(x)={\sqrt {x}}$ , terapkan aturan pangkat berikut untuk menemukan turunannya: ^{[3]
X
Teliti sumber}
- $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$ (Tuliskan fungsi awal.)
- $f(x)=x^{{({\frac {1}{2}})}}\ \ \ \ \$ (Tulis ulang radikal sebagai eksponen.)
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{({\frac {1}{2}}-1)}}\ \ \$ (Temukan turunan dengan aturan pangkat.)
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{(-{\frac {1}{2}})}}\ \ \$ (Sederhanakan eksponen.)
4
Sederhanakan hasil. Pada tahap ini, Anda perlu menyadari bahwa eksponen negatif adalah kebalikan dari angka tersebut dengan pangkat positif. Eksponen $-{\frac {1}{2}}$ berarti akar kuadrat dasar akan menjadi penyebut pecahan. ^{[4]
X
Teliti sumber}
- Melanjutkan fungsi akar kuadrat x di atas, turunannya dapat disederhanakan menjadi:
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{-{\frac {1}{2}}}}$
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{{\sqrt {x}}}}$
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
Iklan

Metode 2

Metode 2 dari 3:

Menggunakan Aturan Rantai untuk Fungsi Akar Kuadrat

Unduh PDF

1
Ulas kembali aturan rantai fungsi. Aturan rantai adalah aturan untuk turunan yang digunakan ketika fungsi awalnya menggabungkan fungsi dalam fungsi lainnya. Aturan rantai menyatakan bahwa, untuk dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ , turunan kombinasi keduanya bisa dicari seperti berikut: ^{[5]
X
Teliti sumber}
- Jika $y=f(g(x))$ , artinya $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)*g^{{\prime }}(x)$ .
2
Tetapkan fungsi aturan rantai. Untuk menggunakan aturan rantai, pertama-tama Anda perlu menetapkan dua fungsi yang menyusun fungsi kombinasi terlebih dahulu. Untuk fungsi akar kuadrat, fungsi luar $f(g)$ akan menjadi fungsi akar kuadrat, dan fungsi dalamnya $g(x)$ akan menjadi apa pun yang tampak di bawah tanda radikal. ^{[6]
X
Teliti sumber}
- Misalnya, katakan Anda ingin menemukan turunan ${\sqrt {3x+2}}$ . Tetapkan kedua bagiannya sebagai berikut:
  - $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$
  - $g(x)=(3x+2)$
3
Temukan turunan kedua fungsi. Untuk menerapkan aturan rantai fungsi akar kuadrat, pertama-tama Anda harus menemukan turunan fungsi akar kuadrat umum: ^{[7]
X
Teliti sumber}
- $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2}}g^{{-{\frac {1}{2}}}}$
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$
- Kemudian, temukan turunan fungsi kedua:
  - $g(x)=(3x+2)$
  - $g^{{\prime }}(x)=3$
4
Gabungkan fungsi dalam aturan rantai. Ingat kembali aturan rantai, $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)*g^{{\prime }}(x)$ , lalu gabungkan turunan sebagai berikut: ^{[8]
X
Teliti sumber}
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3$
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3$
- $y^{{\prime }}={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}$
Iklan

Metode 3

Metode 3 dari 3:

Menggunakan Jalan Pintas Turunan untuk Fungsi Radikal

Unduh PDF

1
Pelajari jalan pintas untuk turunan semua fungsi radikal. Ada pola sederhana yang bisa diterapkan ketika ingin menemukan turunan akar kuadrat variabel atau fungsi. Turunan akan selalu menjadi turunan radicand , dibagi kelipatan dua akar kuadrat awal. Persamaannya adalah sebagai berikut: ^{[9]
X
Teliti sumber}
- Jika $f(x)={\sqrt {u}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {u^{{\prime }}}{2{\sqrt {u}}}}$
2
Temukan turunan radicand . Radicand adalah istilah untuk fungsi di bawah tanda akar kuadrat. Untuk menggunakan jalan pintas ini, cari turunan radicand saja. Perhatikan contoh berikut: ^{[10]
X
Teliti sumber}
- Di dalam fungsi ${\sqrt {5x+2}}$ , radicand adalah $(5x+2)$ , dan turunannya adalah $5$ .
- Di dalam fungsi ${\sqrt {3x^{4}}}$ , radicand adalah $3x^{4}$ . Turunannya adalah $12x^{3}$ .
- Di dalam fungsi ${\sqrt {sin(x)}}$ , radicand adalah $\sin(x)$ . Turunannya adalah $\cos(x)$ .
3
Tuliskan turunan radicand sebagai pembilang pecahan. Turunan fungsi radikal akan melibatkan pecahan. Jadi, sesuai contoh di atas, bagian pertama turunan adalah sebagai berikut: ^{[11]
X
Teliti sumber}
- Jika $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{{\text{penyebut}}}}$
- Jika $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{{\text{penyebut}}}}$
- Jika $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{{\text{penyebut}}}}$
4
Tuliskan penyebut sebagai dua kali akar kuadrat awal. Menggunakan jalan pintas ini, penyebut akan menjadi dua kali fungsi akar kuadrat awal. Dengan demikian, untuk tiga contoh fungsi di atas, penyebut penyebut adalah turunan adalah: ^{[12]
X
Teliti sumber}
- Jika $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{pembilang}}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
- Jika $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{pembilang}}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
- Jika $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{pembilang}}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
5
Gabungkan pembilang dan penyebut untuk menemukan turunan. Tuliskan kedua bagian pecahan tersebut bersama-sama, dan hasilnya adalah turunan fungsi awal. ^{[13]
X
Teliti sumber}
- Jika $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
- Jika $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
- Jika $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , artinya $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
Iklan