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수학에서 벡터란 길이가 정의되고 그 크기를 알 수 있으며 방향이 있는 물체를 말합니다. 벡터는 우리가 아는 선분이나 모양이 아니므로 그들 사이의 각을 알려면 특별한 공식을 사용해야 합니다.
단계
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벡터 확인하기. 두 벡터에 대해 아는 모든 정보를 쓰세요. 당신이 벡터의 좌표(성분이라고도 합니다)만을 알고 있다고 가정합시다. 벡터의 길이(크기)를 알고 있다면 밑의 단계를 뛰어넘어도 됩니다.
- 예를 들어: 2차원의 벡터 = (2,2). 벡터 = (0,3). 이렇게도 쓸 수 있습니다. = 2 i + 2 j 그리고 = 0 i + 3 j = 3 j .
- 예제에서는 2차원 벡터를 사용하였지만 밑의 설명에서는 벡터 성분 개수와 상관없이 여러 벡터를 다룹니다.
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코사인 식을 쓰세요. 두 벡터 사이의 각 θ를 찾으세요. 공식에서 Θ의 코사인 값을 먼저 찾으세요 식에 대해 더 알고 싶다면 여기를 누르세요 , 아니면 그냥 쓰세요: [1] X 출처 검색하기
- cosθ = ( • ) / ( || || || || )
- || || 는 ". 벡터의 길이를 나타냅니다"
- • 는 두 벡터의 점곱(스칼라곱)을 나타내며 밑에서 설명할 겁니다.
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각 벡터의 길이를 계산하세요. 벡터의 x성분, y성분, 그리고 벡터 그 자체를 이용하여 직각삼각형을 그린다고 상상해보세요. 벡터는 삼각형의 빗변을 그립니다. 그러므로 그 길이를 구하기 위해서는 피타고라스의 정리를 사용하세요. 이 공식은 가지고 있는 성분에 상관 없이 벡터로 확장될 수 있음을 알 수 있어요.
- || u || 2 = u 1 2 + u 2 2 . 벡터가 3개 이상의 성분을 갖는다면, 똑같이 더하면 됩니다. +u 3 2 + u 4 2 + ...
- 그러므로 2차원의 벡터에서는, || u || = √(u 1 2 + u 2 2 ) 가 나옵니다.
- 위의 예제에서, || || = √(2 2 + 2 2 ) = √(8) = 2√2 . || || = √(0 2 + 3 2 ) = √(9) = 3 .
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두 벡터의 점곱을 계산하세요. 아마 이미 이 벡터곱 방법을 알고 있을 겁니다. 스칼라곱 이라고도 부릅니다. [2] X 출처 검색하기벡터 성분을 이용해 점곱을 계산하려면 각 방향의 성분을 곱하세요. 그리고 결과를 모두 더하세요.컴퓨터 그래픽 프로그램을 쓴다면, 넘어가기 전에 체크해보세요. 팁 .
점곱 계산하는 예제
수학적 용어로, • = u 1 v 1 + u 2 v 2 , u = (u 1 , u 2 ). 벡터의 성분이 3개 이상이라면, 계속 더해 나가세요. + u 3 v 3 + u 4 v 4 ...
예제에서, • = u 1 v 1 + u 2 v 2 = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6 는 그리고 의 점곱 결과입니다. -
결과를 식에 넣으세요. 명심하세요cosθ = ( • ) / ( || || || || ). 이제 점곱과 벡터의 길이를 알아냈습니다. 이 값들을 공식에 넣어 코사인 값을 구하세요.
점곱과 벡터 길이를 이용하여 코사인 값 구하기
예제에서, cosθ = 6 / ( 2√23 ) = 1 / √2 = √2 / 2.
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코사인에 기반한 각도를 찾으세요. 계산기로 arccos 나 cos -1 함수를 이용해보세요.알고 있는 코사인 θ 값을 이용해 θ 값을 구하세요.어떤 결과 값들은 단위원에 기반한 값들로 찾을 수 있습니다..
코사인으로 각도 찾기
예제에서, cosθ = √2 / 2. "arccos(√2 / 2)" 를 계산기에 쳐서 각도를 알아내세요. 다른 대안으로는, cosθ = √2 / 2 인 단위원을 사용하여 각 θ를 찾으세요. 이렇게 나옵니다. θ = π / 4 or 45º .
모든 것을 조합하면 최종 공식은 : θ = arccosine(( • ) / ( || || || || ))광고
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공식의 목적 이해하기. 이 공식은 기존의 법칙을 이용해 도출된 식이 아닙니다. 대신, 벡터의 점곱과 그 사이의 각도에 대한 정의를 이용해 만들어졌습니다. [3] X 출처 검색하기 하지만 임의로 나온 식은 아닙니다. 기본 기하학을 찾아 보면 이 공식이 왜 이런 직관적이고 유용한 정의를 내릴 수 있는지 알게 됩니다.
- 밑의 예제는 2차원의 벡터를 사용합니다. 가장 직관적으로 사용하기 좋기 때문입니다. 3개 이상의 성분을 가진 벡터의 특성은 이와 굉장히 비슷하고 일반적인 공식으로 정의됩니다.
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코사인 법칙 복습하기. 변 a와 b 사이 각이 θ이고 다른 변은 c인 일반적인 삼각형을 예로 들어봅시다. 코사인 법칙은 c 2 = a 2 + b 2 -2ab cos (θ) 입니다. 기본 기하학을 통해 공식을 쉽게 유도할 수 있습니다.
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두 벡터를 연결해 삼각형 만들기. 2차원의 벡터를 종이에 그리세요. 벡터 와 , 사이의 각은 θ입니다. 두 벡터 사이에 다른 세 번째 벡터를 그려 삼각형을 만드세요. 즉, 그러므로 + = . = - . [4] X 출처 검색하기
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이 삼각형에 코사인 법칙을 쓰세요. “벡터 삼각형”의 길이를 코사인 법칙 공식에 넣으세요:
- || (a - b) || 2 = || a || 2 + || b || 2 - 2 || a || || b || cos (θ)
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점곱을 사용해 적으세요. 명심하세요. 점곱은 다른 벡터에 투영된 벡터입니다. 스스로의 점곱은 투영할 필요가 없습니다. 방향에 변화가 없기 때문입니다. [5] X 출처 검색하기 이런 뜻입니다. • = || a || 2 . 이를 이용해 공식을 재구성 해보세요:
- ( - ) • ( - ) = • + • - 2 || a || || b || cos (θ)
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우리가 잘 아는 공식으로 만들기. 공식의 왼쪽을 확장하고 정리하여 각도 찾는 공식으로 만드세요.
- • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b || cos (θ)
- - • - • = -2 || a || || b || cos (θ)
- -2( • ) = -2 || a || || b || cos (θ)
- • = || a || || b || cos (θ)
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팁
- 빠르게 풀고 싶다면, 이 공식을 이용해 2차원 벡터를 푸세요: cosθ = (u 1 • v 1 + u 2 • v 2 ) / (√(u 1 2 • u 2 2 ) • √(v 1 2 • v 2 2 )).
- 컴퓨터 그래픽 프로그램을 다룬다면 길이가 아닌 벡터의 방향만을 신경 쓰게 됩니다. 이 과정을 통해 식을 정리하고 프로그램 속도를 높이세요: [6]
X
출처 검색하기
[7]
X
출처 검색하기
- 벡터를 단위화하여 길이를 1로 만드세요. 각 벡터의 성분을 벡터 길이로 나누면 됩니다.
- 원래 벡터말고 단위벡터를 이용해 점곱을 구해봅시다.
- 길이가 1이므로 식에서 길이를 무시하여도 좋습니다. 최종 각도 식은 arccos( • ) 입니다.
- 코사인 공식에 기반하여, 둔각인지 예각인지 빠르게 판단할 수 있습니다. 이렇게 시작하세요. cosθ = (
•
) / ( ||
||
||
||
):
- 식의 오른쪽과 왼쪽은 모두 같은 부호를 가져야 합니다.(양수나 음수)
- 길이 값은 언제나 양수이므로 cos θ는 점곱과 같은 부호를 가져야 합니다.
- 그러므로, 점곱이 양수이면 cos θ값도 양수입니다. 단위원을 네 부분으로 나눴을 때, 그 첫 조각부분( θ < π / 2 or 90º)을 사용합니다. 예각이군요.
- 만약 점곱이 음수이면 cosθ도 음수입니다. 이 경우, 단위원의 두 번째 조각( π / 2 < θ ≤ π or 90º < θ ≤ 180º)을 사용합니다. 둔각입니다.
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출처
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-dot-product.html
- ↑ http://mathforum.org/library/drmath/view/54087.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/defining-the-angle-between-vectors
- ↑ http://physics.info/vector-multiplication/
- ↑ http://stackoverflow.com/questions/2304634/why-must-we-normalize-a-vector
- ↑ http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/vectors/angleBetween/index.htm
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