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등차수열의 합을 구하는 방법

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공동 작성자 Grace Imson, MA

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등차수열은 이전 항에 차례로 일정한 값을 더하여 만들어진 수열입니다. 그리고 등차수열의 합은 모든 항의 값을 일일이 더해서 구할 수 있습니다. 하지만 항의 개수가 많은 등차수열의 경우 일일이 더하는 방식은 비실용적입니다. 대신에 첫째항과 끝항의 평균값을 전체 항의 개수로 곱하는 공식을 이용하면 보다 빨리 등차수열의 합을 구할 수 있습니다.

파트 1

파트 1 의 3:

등차수열을 파악하기

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1
우선 등차수열인지 확인하세요. 등차수열은 공차가 일정한 수열을 의미합니다. ^{[1]
X
출처 검색하기} 그리고 등차수열의 합 공식은 오로지 등차수열일 경우에만 사용할 수 있습니다.
- 등차수열인지 아닌지를 확인하기 위해서 수열의 맨앞에 있는 항 3, 4개와 끝에 있는 항 3, 4개의 차이값을 각각 계산하세요. 등차수열의 경우 연속된 두 항의 차이값이 항상 같아야 합니다.
- 예를 들어서 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 수열은 등차수열입니다. 왜냐하면 연속된 두 항의 차이값(5)이 일정하기 때문입니다.
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2
등차수열을 이루는 모든 항의 개수를 구하세요. 수열을 이루는 각각의 숫자를 항이라고 부릅니다. 만약 항의 개수가 많지 않다면 직접 세어보세요. 그리고 항의 개수가 많을 경우에는 첫째항, 끝항 그리고 공차(연속된 두 항의 차이값)를 알면 공식을 이용해서 항의 개수를 구할 수 있습니다. 그러므로 일단 항의 개수를 미지수 $n$ 으로 나타내세요.
- 예를 들어서 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 수열의 합을 계산할 경우 $n=5$ 입니다. 왜냐하면 총 5개의 항으로 이루어진 수열이기 때문입니다.
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3
등차수열의 첫째항과 끝항을 파악하세요. 등차수열의 합을 구하기 위해서는 첫째항과 끝항을 알아야 합니다. 흔히 첫째항은 1인 경우가 많지만 항상 그런 것은 아닙니다. 그러므로 수열의 첫째항을 미지수 $a_{1}$ 로 나타내고 끝항을 $a_{n}$ 으로 나타내세요.
- 예를 들어서 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 수열의 경우 $a_{1}=10$ 그리고 $a_{n}=30$ 입니다.
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파트 2

파트 2 의 3:

등차수열의 합을 구하기

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1
등차수열의 합을 구하기 위해서 우선 공식을 적으세요. 등차수열의 합 공식은 $S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})$ 입니다. 바로 $S_{n}$ 이 등차수열의 합을 의미합니다. ^{[2]
X
출처 검색하기}
- 공식을 보면 등차수열의 합은 첫째항과 끝항의 평균값을 전체 항의 개수로 곱한 값과 같다는 사실을 알 수 있습니다. ^{[3]
  X
  출처 검색하기}
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2
공식에 있는 각각의 미지수 $n$ , $a_{1}$ , $a_{n}$ 에 해당 값을 넣으세요. 정확한 값을 넣었는지 꼭 확인하세요.
- 예를 들어서 만약 등차수열의 항의 개수가 총 5개이며 첫째항은 10, 끝항은 30일 경우 올바른 공식은 $S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})$ 입니다.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
첫째항과 끝항의 평균값을 계산하세요. 평균값을 구하기 위해서는 두 숫자를 더한 후 2로 나누면 됩니다.
- 예시:
  $S_{n}=5({\frac {40}{2}})$
  $S_{n}=5(20)$
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4
평균값과 전체 항의 개수를 곱하세요. 두 숫자를 곱한 값이 바로 등차수열의 합입니다.
- 예를 들어서
  $S_{n}=5(20)$
  $S_{n}=100$
  이므로 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 등차수열의 합은 100입니다.
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파트 3

파트 3 의 3:

연습문제를 풀어보기

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1
1~500 사이에 있는 모든 숫자들의 합을 구하세요. 모든 숫자는 정수라고 가정하세요.
- 수열에 있는 모든 항의 개수( $n$ )를 구하세요. 수열의 모든 숫자는 연속된 정수이므로 $n=500$ 입니다.
- 수열의 첫째항( $a_{1}$ )과 끝항( $a_{n}$ )을 파악하세요. 해당 수열은 1~500 사이의 모든 정수를 포함하므로 $a_{1}=1$ 그리고 $a_{n}=500$ 입니다.
- $a_{1}$ 과 $a_{n}$ 의 평균값: ${\frac {1+500}{2}}=250.5$
- 평균값과 $n$ 을 곱한 값: $250.5\times 500=125,250$
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2
다음과 같은 등차수열의 합을 구하세요. 수열의 첫째항은 3, 끝항은 24이며 공차는 7입니다.
- 수열을 이루는 모든 항의 개수( $n$ )를 구하세요. 첫째항이 3, 끝항이 24이며 공차는 7이므로 해당 수열은 3, 10, 17, 24로 이루어져 있습니다. (참고로 공차는 연속된 두 항의 차이값을 의미합니다.) ^{[4]
  X
  출처 검색하기} 그러므로 $n=4$ 입니다.
- 수열의 첫째항( $a_{1}$ )과 끝항( $a_{n}$ )을 파악하세요. 해당 수열은 3에서 24까지 이어지므로 $a_{1}=3$ 그리고 $a_{n}=24$ 입니다.
- $a_{1}$ 과 $a_{n}$ 의 평균값: ${\frac {3+24}{2}}=13.5$
- 평균값과 $n$ 을 곱한 값: $13.5\times 4=54$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0a\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0a\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
다음 문제를 풀이하세요. 민정이는 한 해의 첫째 주에 5000원을 저금합니다. 그리고 1년 동안 매주마다 이전주에 저금한 금액에서 5000원을 더해서 저금할 경우 민정이가 1년 동안 저금하게 될 액수는 총 얼마일까요?
- 수열을 이루는 모든 항의 개수( $n$ )를 구하세요. 민정이는 1년 동안 52번(1년 = 52주) 저금을 하므로 $n=52$ 입니다.
- 수열의 첫째항( $a_{1}$ )과 끝항( $a_{n}$ )을 파악하세요. 민정이가 첫째 주에 저금하는 금액은 5000원이므로 $a_{1}=5000$ 입니다. 그리고 민정이가 1년의 마지막 주에 저금하게 될 금액을 계산한 값은 $5000\times 52=260,000$ 입니다. 그러므로 $a_{n}=260,000$ 입니다.
- $a_{1}$ 과 $a_{n}$ 의 평균값: ${\frac {5000+260,000}{2}}=132,500$
- 평균값과 $n$ 을 곱한 값: $132,500\times 52=6,890,000$ 이므로 민정이가 1년 동안 저금하게 될 금액은 총 6,890,000원입니다.
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관련 위키하우

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출처

이 위키하우에 대하여

공동 작성자 :

Grace Imson, MA

샌프란시스코 시티컬리지 수학강사

이 글은 공동 작성자 Grace Imson, MA . 그레이스 임슨은 40년 이상 경력의 수학강사다. 현재 샌프란시스코 시티칼리지에서 수학강사로 재직 중이며 이전에는 세인트루이스대학교 수학과에서 근무했다. 초등학교, 중학교, 고등학교, 대학교 수학 과목을 가르친 경험이 있는 그녀는 세인트루이스대학교에서 교육학 석사학위를 받았다. 조회수 12,064회

글 카테고리: 수학

인도네시아어

네덜란드어

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