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1, 3, 8같은 자연수의 대소를 판별하는 것은 매우 쉽다. 하지만 분수의 경우에는 한 번 훑어보는 것으로 어떤 수가 크고 어떤 수가 작은지 판별하기가 힘들다. 만약 분수의 아래 쪽에 있는 수, 분모가 같다면 일반적인 정수처럼 크기 순으로 나열하면 된다. 예를 들면 3/5, 1/5, 8/5가 있으면 분모가 같기 때문에 5는 무시하고 분수의 위 쪽 숫자, 즉, 분자를 크기 순으로 나열해 1/5, 3/5, 8/5로 쓰면 된다. 만약 분모가 다른 숫자라면 분수의 값을 변경하지 않고 같은 분모를 사용하도록 약간 변경하면 된다. 물론 익숙해지려면 어느 정도 연습이 필요하다. 이 글을 통해 분수의 대소를 판별하는 법과 7/3같은 가분수를 다루는 법, 그리고 두 개의 분수 중 어떤 것이 더 큰지 빠르게 알 수 있는 방법 등을 배워보자.
단계
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분모들의 최소공분모 찾기 . 먼저 아래 방법을 써서 모든 분모의 배수 중 가장 작은 수를 찾아야 한다. 이 것을 최소공분모라 하는데 모든 분모들이 같은 분모를 가지게 되면 분자만 놓고 비교를 해 어떤 분수가 더 큰지 쉽게 파악할 수 있기 때문이다: [1] X 출처 검색하기
- 모든 분모를 곱해보자. 예를 들어 2/3, 5/6, 1/3의 세 수를 비교하고 싶다면 분모들끼리 곱한다: 3 x 6 = 18 . 3은 중복되므로 뺀 것을 확인할 수 있다. 이 방법은 매우 간단하지만 분모가 클 때는 곱셈이 복잡해지므로 시간이 많이 걸릴 수 있다는 단점이 있다.
- 아니면 각 분모의 배수를 따로 적어보는 방법이 있다. 각 분모의 2배수부터 차례대로 적다보면 모든 분모가 공통적으로 가지는 숫자를 발견할 수 있을 것이다. 예를 들어 아까처럼 2/3, 5/6, 1/3을 비교하려 한다면 먼저 3의 배수를 찾고: 3, 6, 9, 12, 15, 18. 다음에 6의 배수를 찾는다: 6, 12, 18. 그러면 18 이 3과 6의 배수 양쪽을 만족하는 것을 확인할 수 있을 것이다. (물론 12를 쓸 수도 있겠지만 이번에는 18을 써서 문제를 풀어보도록 하자)
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모든 분수의 분모를 공분모로 통일하기. 분자와 분모에 같은 수를 곱하면 숫자는 바뀌지만 결국 그 분수의 값은 바뀌지 않는다는 사실을 기억하자. 따라서 우리가 방금 구한 공분모를 보면서 비교하고자 하는 분수의 분모에 특정 숫자를 곱해 공분모로 만들고, 분자에도 같은 숫자를 곱하도록 하자. 이 방법을 2/3, 5/6, 1/3의 세 분모에 적용시켜 보자. 공분모는 18이므로 다음 과정을 거칠 것이다:
- 18 ÷ 3 = 6이다. 따라서 2/3 = (2x6)/(3x6)=12/18
- 18 ÷ 6 = 3이다. 따라서 5/6 = (5x3)/(6x3)=15/18
- 18 ÷ 3 = 6이다. 따라서 1/3 = (1x6)/(3x6)=6/18
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분자를 비교하기. 이제 모두 같은 분모를 가진 분수를 비교하는 문제이기 때문에 쉽게 해결할 수 있다. 분수 위에 있는 숫자인 분자 를 작은 수부터 차례대로 나열하면 된다. 방금 구했던 분수의 경우에는 6/18, 12/18, 15/18의 순서대로 쓸 수 있을 것이다.
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분수 약분하기. 이제 나열한 분수는 현재 위치에 가만히 놓고 아까와는 반대로 약분하도록 하자. 분모를 공분모로 만드는 과정에서 분자와 분모에 어떤 수를 곱했는지 기억하고 있다면 반대로 그 숫자로 분자와 분모를 나누면 된다:
- 6/18 = (6 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 1/3
- 12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 2/3
- 15/18 = (15 ÷ 3)/(18 ÷ 3) = 5/6
- 따라서 정답은 "1/3, 2/3, 5/6"가 된다.
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비교하고자 하는 두 분수를 나란히 쓰기. 이번에는 3/5과 2/3를 비교하려고 한다. 일단 비교하기 쉽게 나란히 옆에 써준다. 위 그림처럼 3/5를 왼쪽에, 2/3을 오른쪽에 써 보자.
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첫 번째 분수의 분자와 두 번째 분수의 분모를 대각선으로 곱하기. 위 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있는데. 첫 번째 분수 (3/5)의 분자 3 과 두 번째 분수 (2/3)의 분모 3 을 곱하면 된다. 3 x 3 = 9가 나오는 것을 알 수 있다.
- 이 방법을 교차 곱셈 이라고 부른다. 대각선으로 두 숫자를 곱하기 때문이다.
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곱해서 나온 값을 첫 번째 분수 옆에 써 놓기. 곱한 값을 위 그림처럼 첫 번째 분수 옆에 작게 쓰도록 하자. 우리가 구한 값은 3 x 3 = 9이므로 옆에 작게 9 라고 쓰면 된다. 아무래도 왼쪽에 쓰는 것이 보기 쉬울 것이다.
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같은 방식으로 두 번째 분수의 분자와 첫 번째 분수의 분모 곱하기. 어떤 분수가 더 큰지 확인하기 위해 우리는 아까 위해서 구한 숫자를 다른 교차 곱셈의 결과와 놓고 비교할 필요가 있다. 이제 같은 방식으로 두 숫자를 위 그림을 참고해 곱하도록 하자. 3/5와 2/3에서 두 번째 교차 곱셈을 하려면 2와 5를 곱하면 된다.
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구한 값을 두 번째 분수 옆에 쓰기. 이제 교차곱을 해서 나온 값을 두 번째 분수 오른쪽에 위 그림처럼 적도록 하자. 우리는 2와 5를 곱했기 때문에 10이 나왔다.
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교차곱을 해서 나온 값 비교하기. 이렇게 대각선으로 곱해 얻은 곱셈의 결과를 교차곱 이라고 부른다. 이제 두 값을 비교해보자. 간단히 말하자면 교차곱의 값이 더 큰 쪽의 분수가 더 크다. 우리가 방금 구한 두 교차곱의 값은 왼쪽이 9, 오른쪽이 10이므로 2/3이 3/5보다 더 크다는 말이 된다.
- 교차곱의 값을 쓸 때 헷갈리지 않도록 주의한다. 분자를 곱한 쪽 옆에 써야 한다.
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왜 이 방법이 통하는지 이해하기. 두 분수를 비교하기 위해서는 분모를 같게 만들 필요가 있다. 사실 교차곱은 이 과정을 교묘히 비틀어 한 것에 불과하다. [2] X 출처 검색하기 교차곱을 통해 분수를 비교하는 과정에서는 실제로 분모를 써서 공분모로 바꾸고 비교하는 과정을 넘겨 빠르게 계산한 것이다. 이 과정은 우리에게 주어진 분수가 2개 밖에 없기 때문에 가능한 것이다. 즉, 우리가 이번에 비교한 3/5과 2/3의 경우에는 분수가 2개 뿐이기에 교차곱을 통해 빠르게 계산한 것이다:
- 3/5=(3x3)/(5x3)=9/15
- 2/3=(2x5)/(3x5)=10/15
- 9/15 < 10/15
- 따라서 3/5 < 2/3
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이 방법은 분자와 분모의 값이 같거나 분자가 분모보다 큰 경우에 쓰는 것임을 유념하기. 가분수는 분수의 위쪽에 위치한 숫자인 분자 가 아랫쪽에 위치한 숫자인 분모 보다 큰 분수를 의미한다. 예를 들면 8/3같은 것이 있겠다. 추가적으로, 이 방법은 1과 같은 값을 가지는 분수, 즉 분모와 분자 값이 같은 9/9같은 분수에도 적용할 수 있다. 이 두 가지 형태의 분수를 통틀어 가분수 라고 칭한다. [3] X 출처 검색하기
- 가분수 형태의 분수도 위에서 쓴 방법을 사용해 크기 순으로 정렬할 수 있다. 하지만 여기서 설명할 방법이 더 빠르고 효율적일 것이다.
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가분수를 대분수로 바꾸기. 먼저 가분수를 대분수로 바꿔야 한다. 물론 암산으로 할 수도 있겠지만 약간 풀어 써보자면 분모를 분수로 나눴을 때 나오는 몫을 분수 앞에 쓰고 나머지를 분자에 쓰면 쉽게 가분수를 대분수로 바꿀 수 있다. 참고로 9/9의 경우에는 분자와 분모가 같기 때문에 값을 1이라고 써도 무방하다. 과정을 약간 써보자면:
- 8/3 = 2 + 2/3
- 9/9 = 1
- 19/4 = 4 + 3/4
- 13/6 = 2 + 1/6 처럼 될 것이다.
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자연수의 크기를 기준으로 대분수 정렬하기. 이제 모든 수를 정수 혹은 대분수로 바꿨으면 이제 각 분수가 실제로 어느 정도의 크기를 가지는지 짐작할 수 있을 것이다. 일단 분수 부분은 무시하고 자연수, 혹은 정수를 기준으로 해서 작은 수부터 나열하도록 하자:
- 1이 가장 작은 정수이다.
- 다음으로 2 + 2/3와 2 + 1/6를 쓴다. (아직 어떤 수가 더 큰지는 모른다)
- 마지막으로 4 + 3/4가 가장 큰 수이다.
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필요하다면 같은 정수를 가진 분수끼리 비교하기. 같은 정수를 가지는 대분수가 여러개 나왔다고 가정하자. 위 그림의 예시처럼 2 + 2/3와 2 + 1/6가 있는 경우에는 이제 정수 부분을 떼고 분수끼리 비교해야 할 것이다. 비교 방법은 이미 위에서 설명했으니 원하는 것을 골라 비교하면 된다. 여기서는 두 분수 2 + 2/3와 2 + 1/6의 분모를 공분모로 만들어 비교해 보도록 하겠다:
- 2/3 = (2x2)/(3x2) = 4/6
- 1/6 = 1/6
- 4/6 > 1/6
- 따라서 2 + 4/6 > 2 + 1/6이며
- 2 + 2/3 > 2 + 1/6이다.
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결과를 보고 대분수 다시 정렬하기. 같은 정수를 가지는 대분수의 대소를 완전히 판별했으면 이제 다시 정렬하도록 한다. 제대로 구했다면 다음과 같이 나왔을 것이다: 1, 2 + 1/6, 2 + 2/3, 4 + 3/4.
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대분수를 가분수로 되돌리기. 이제 다 정렬했으니 대분수를 가분수로 되돌리도록 하자. 하지만 순서는 그대로 놔두도록 한다: 9/9, 8/3, 13/6, 19/4.광고
팁
- 만약 분수가 다 똑같다면 거꾸로 정렬하면 된다. 예를 들면 1/8 < 1/7 < 1/6 < 1/5과 같이 말이다. 피자 조각을 떠올려보자. 1/2와 1/8이 있다면 어떤 것이 더 크겠는가. 1/2는 피자 한 판을 두 조각으로 자르는 것이고 1/8은 피자 한 판을 8조각으로 자르는 것이다. 당연히 1/2가 더 클 것이다.
- 정렬해야 할 분수가 많다면 한꺼번에 다 하려고 하지 말고 2, 3, 4개씩 나눠서 정렬하도록 하자.
- 최소공분모를 찾게 되면 매우 편하게 문제를 풀 수 있다. 하지만 그렇다고 해서 오랜 시간 최소공분모를 찾으려 노력할 필요는 없다. 아무 공분모나 찾기만 하면 다 쓸 수 있다. 우리 목표가 최소공분모를 찾는 것이 아닌 분수를 정렬하려고 하는 것임을 잊지 말자. 간단한 예를 들어 2/3, 5/6, 1/3의 세 분수를 놓고 최소공분모가 아닌 공분모 36으로 대소를 판별해보자. 어찌 되었든 결과적으로 같은 답을 얻을 것이다.
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출처
- ↑ http://www.mathsisfun.com/least-common-denominator.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/cross-multiply.html
- ↑ http://www.mathvillage.info/node/76
- http://www.mathgoodies.com/lessons/fractions/order.html
- http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.06/justin2.html
- http://www.mathvillage.info/node/76
이 위키하우에 대하여
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