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비율은 두 개 이상의 숫자를 비교하기 위한 수학적 표현이다. 비율을 사용하면 정해진 값을 비교할 수도 있는 것은 물론 전체의 일부끼리 비교할 때도 유용하게 사용할 수 있다. 비율은 다양한 형태로 쓰일 수 있지만 개념 자체는 항상 동일하다.
단계
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비율이 어떻게 사용되는지 알기. 비율은 순전히 수학에서만 다루는 것이 아닌 현실 세계에서도 물건을 상대적으로 셀 때 사용한다. 이미 본 적이 있겠지만 비율의 가장 간단한 형태는 두 값을 비교하는 것이지만, 세 개, 심지어 네 개 이상의 값끼리 비율을 통해 비교하는 것도 가능하다는 사실을 알아두자. 서로 양을 비교하는 것으로 화학식을 계산할 수도 있으며, 부엌에서 사용할 레시피도 원하는대로 맛을 조절할 수 있다. 일단 비율에 대해 배우기만 한다면 평생 사용할 수 있다. [1] X 출처 검색하기
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비율이 의미하는 바를 알기. 위에서 설명했듯이 비율은 적어도 두 개 이상의 물건의 양을 서로 비교하는 데 쓰인다. 예를 들어 어떤 케이크에 밀가루 2 컵, 설탕 1 컵이 재료로 들어간다면 밀가루와 설탕의 비율은 2 : 1이라고 쓸 수 있다.
- 비율은 두 물질의 양을 비교하기 위해 쓰이는데 두 물질이 서로 관계가 없다 해도 비율을 통해 표현할 수 있다(아까 레시피에서처럼 말이다). 예를 들어 교실에 여학생 5명과 남학생 10명이 있다고 가정하자. 그러면 여학생과 남학생의 비율은 5 : 10이 되는 것이다. 당연하겠지만 여학생과 남학생은 서로 상관관계도 없으며 서로간에 의존하지도 않는다. 누가 반을 떠나거나 새 학생이 들어온다고 해도 그 양에 비례해 비율의 값이 달라질 뿐이지 비교한다는 사실은 변하지 않는다.
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비율이 표현되는 방식이 여러가지가 있음을 이해하기. 비율은 말 또는 수학적 기호로 표현할 수 있다. [2] X 출처 검색하기
- 위에서 설명했던 방식은 비율을 말로 표현한 것이다. 비율은 아주 흔하게 다양한 분야에서 사용되기 때문에 당신이 수학, 과학적인 부분을 공부하지 않는다면 대부분 말로 표현한 것을 볼 수 있을 것이다.
- 비율은 일반적으로 콜론을 이용해 표시한다. 두 숫자를 하나의 비율로 표시해 비교할 때는 (7 : 13) 콜론을 하나만 쓰고, 두 개 이상의 숫자를 비교할 때는 (10 : 2 : 23) 각 숫자 사이에 콜론을 적어 비교할 수 있다. 교실의 학생 성비(성별 비율)와 관련된 예시에서는 여학생이 5명, 남학생이 10명 있었으므로 단순히 숫자만 적어 5 : 10이라고 표현할 수 있다.
- 비율을 분수로 쓰는 경우도 있다. 방금의 교실 학생 성비를 다시 보면, 여학생이 5명, 남학생이 10명 있었으므로 5/10으로 표현할 수 있다. 대신 분수라고 생각해 똑같이 읽으면 안 되니 항상 염두하도록 하자. 이는 전체의 일부가 아닌 두 개의 다른 숫자를 비교한 것이다.
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비율을 가장 간단한 형태로 표현하기. 비율은 분수처럼 최대공약수를 찾으면 단순화(약분)시킬 수 있다. 비율을 단순화시키려면 모든 숫자를 최대공약수가 존재하지 않을 때까지 나눠야 한다. 대신 약분을 할 때는 처음에 어떤 숫자였는지 기억해놓도록 하자. [3] X 출처 검색하기
- 위의 교실 문제로 돌아가보자. 여학생 5명과 남학생 10명을 5 : 10으로 썼던 것을 기억하는가? 5와 10의 최대공약수는 5이므로 두 수를 공통적으로 나누게 되면 여학생 1명과 남학생 2명(1 : 2)의 비율이 될 것이다. 하지만 처음에 5 : 10이었던 것을 기억하고 있지 않으면 나중에 원래 숫자로 돌아가기가 힘드니 항상 조심해야 한다. 1 : 2라고 해서 교실에 있는 학생의 전체 수가 3명인 것이 아니다. 5 : 10을 약분해 나온 비율이기 때문에 전체 학생 수는 15명이 된다. 즉, 1 : 2라는 것은 남학생 2명마다 여학생이 1명 존재한다는 뜻이며, 남학생 2명과 여학생 1명이 있다는 말이 아니다.
- 어떤 비율은 약분할 수 없다. 예를 들어 3 : 56이라는 비율이 있다고 해보자. 일단 3이 소수이며 56이 3으로 나눠 떨어지지 않기 때문에 최대공약수가 없다고 볼 수 있다.
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비율을 "조절하기" 위해 곱셈, 나눗셈 사용하기. 비율이라는 개념을 사용하는 문제 중 흔히 볼 수 있는 것은 비율의 크기를 늘리고 줄이는 것이다. 비율에 같은 숫자를 곱하거나 같은 숫자로 나누게 되면 처음과 같은 비례 정도를 유지하면서 숫자만 바꿀 수 있다. 따라서 비율의 크기를 조절하려면 항상 같은 숫자를 사용하는 것을 잊지 말자. [4] X 출처 검색하기
- 예를 들어 빵가게에서 어떤 케이크의 크기를 원래 레시피의 세 배로 만들려 한다고 가정해보자. 기존 밀가루 대 설탕의 비율은 2 : 1 이었다. 이제 양쪽에 3을 곱하면 밀가루 6컵과 설탕 3컵을 합쳐 세 배 크기의 케이크를 만들 수 있을 것이며, 이 때의 비율은 6 : 3으로 쓸 수 있다.
- 같은 과정을 거꾸로도 취할 수 있다. 빵가게에서 원래의 절반 크기의 케이크를 만들고자 한다면 비율의 양쪽에 1/2를 곱하거나 2로 나누면 된다. 그러면 밀가루 1컵 당 설탕 0.5컵이라는 비율이 나올 것이다.
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같은 비율이 두 개 주어졌을 때 미지수 찾기. 비율을 사용한 또 다른 흔한 문제 유형으로는 한 개 이상의 비율이 같다고 주어졌을 때 미지수를 찾는 것이다. 이 때, 두 비율은 등호로 이어져 있게 된다. 여기에서는 교차곱을 쓰기만 하면 쉽게 문제를 풀 수 있다. 먼저 각 비율을 앞서 설명했던 분수 형태로 쓴 뒤에 등호로 같다고 놓고 교차곱을 하면 된다. [5] X 출처 검색하기
- 예를 들어 어떤 반에 남학생 2명과 여학생 5명이 있다고 가정하자. 같은 남녀비율을 유지한 형태로 반의 크기를 키워 여학생이 20명 있게 만들려면 어떻게 해야겠는가? 먼저 두 비율을 써보도록 하자. 남학생 2명 : 여학생 5명 = 남학생 x명 : 여학생 20명. 다음에 이를 분수형태로 표현해보면 2/5 = x/20을 얻을 수 있다. 다음은 교차곱이 제 역할을 할 차례이다. 단순 계산으로 5x = 40이 나올 것이다. 이제 양변을 5로 나누면 미지수 x의 값이 8이 됨을 알 수 있다. x = 8.
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비율을 계산할 때는 덧셈과 뺄셈은 하지 않기. 보통 비율 문제라고 하면 다음과 같을 것이다. "어떤 레시피에 감자 4개와 당근 5개가 들어간다. 레시피의 양을 늘려 감자를 8개 쓰고 싶으면 같은 비율을 유지하기 위해 몇 개의 당근이 필요하겠는가?" 많은 학생들은 비율 개념이 정립되지 않은 상태에서 이를 해결하기 위해 덧셈을 사용하곤 한다. 사실은 덧셈이 아닌 곱셈을 사용해야 비율이 유지된다는 사실을 알아야 한다. 아래에 잘못된 방법과 올바른 방법을 적어놓았으니 참고하도록 하자.
- 잘못된 방법: "8 - 4 = 4, 이제 레시피에 감자 4개를 더해보자. 그러면 마찬가지로 당근 5개에 4개를 더하면 되겠네? 그런데 왜 비율이 처음이랑 다르지? 다시 해보자."
- 올바른 방법: "8 ÷ 4 = 2, 그러면 레시피의 감자에 2를 곱한 셈이 되는구나. 똑같이 당근에도 2를 곱해보자. 5 x 2 = 10. 그러면 새 레시피에는 당근이 10개 들어가는구나!"
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같은 단위로 바꾸기. 단위가 달라지면 문제가 복잡해지는 경우가 있다. 이럴 때는 제대로 된 비율을 찾기 위해 단위를 같은 것으로 바꾸도록 한다. 아래 예시를 참고해보자.
- 용이 500g의 금과 10kg의 은을 동굴에 보관하고 있다. 용이 가지고 이는 금과 은의 비율은 어떻게 되는가?
- g과 kg은 같은 단위가 아니다. 따라서 1kg = 1,000g임을 이용해야 한다. 10kg = 10 kg x = 10 x 1,000 g = 10,000 g.
- 용은 500g의 금과 10,000g의 은을 가지고 있다.
- 여기서 금과 은의 비율은 .
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문제에 단위를 표시하기. 비율 문제를 풀게 되면 단위를 쓰지 않아 실수를 하는 경우가 많다. 단위가 사라지는 때는 분수의 위와 아래에 있는 숫자의 단위가 같을 때만 가능하다. 단위를 똑같이 바꾼 뒤 분수의 위와 아래에서 동시에 지워나가면 올바른 단위를 가진 정확한 비율을 찾을 수 있을 것이다.
- 예제: 지금 방에 상자가 여섯 개 있다. 상자 세 개당 구슬이 아홉 개 들어 있다. 방에 있는 구슬은 모두 몇 개인가?
- 잘못된 방법: 잠깐만. 그러면 답이 "상자 x 상자 / 구슬"이 되잖아. 뭔가 틀렸어
- 올바른 방법:
구슬은 18개가 있어.
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출처
- ↑ http://www.virtualnerd.com/common-core/grade-6/6_RP-ratios-proportional-relationships/A
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/ratio.htm
- ↑ http://www.helpwithfractions.com/math-homework-helper/least-common-denominator/
- ↑ http://www.mathplanet.com/education/algebra-1/how-to-solve-linear-equations/ratios-and-proportions-and-how-to-solve-them
- ↑ http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U2L2DP.html
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