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어떤 수 a를 어떤 숫자들의 곱으로 나타낼 수 있으면, 그 숫자들을 수 a의 "인수"라고 부른다. 그렇다면 생각해보자. 모든 숫자는 인수의 곱으로 이루어져 있는가? 정답은 "그렇다"이다. 인수를 구하는 방법을 알게 되면 숫자가 주어졌을 때 그 수를 더 작은 수들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 기술은 산수에서만 사용되는 것이 아닌, 대수학, 미적분 등 고등 수학 과정에서도 사용된다. 이 글을 통해 기본적인 인수를 구하는 법과 주어진 수를 소인수분해 하는 방법을 배워보도록 하자.
단계
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소인수분해 할 숫자 쓰기. 어떤 수의 인수를 구하고 싶으면 일단 숫자를 정해야 한다. 아무거나 원하는 숫자를 적어라. 대신 이 단계에서는 기본적인 정수를 다루고 있기 때문에 되도록이면 간단한 수로 정하도록 하자. "정수"란 분수나 소수 부분이 없는 수를 의미한다(또한 정수는 음수와 양수를 포함한다).
- 이 글에서는 12 를 정했다고 가정하고 소인수분해를 해보도록 하겠다. 숫자를 정했으면 공책에 쓰도록 하자.
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곱해서 정한 숫자가 되는 모든 숫자 쌍 찾기. 모든 숫자는 두 수의 곱으로 나타낼 수 있다. 심지어 소수도 그 자신과 1의 곱으로 표현할 수 있다. 당신이 정한 수가 어떠한 두 수의 곱으로 이루어져 있는지 알아내려면 약간 "거꾸로" 생각할 필요가 있다. 스스로에게 물어보도록 하자 "내가 어떤 수와 어떤 수를 곱해야 이 수를 만들 수 있을까?"
- 여기서 정한 숫자 12는 다양한 인수를 가지고 있다 - 12 × 1, 6 × 2, 3 × 4 은 전부 12를 만든다. 따라서 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 라고 할 수 있다. 이제 소인수분해를 위해 6과 2의 숫자 쌍을 좀 더 자세히 살펴볼 것이다.
- 짝수는 인수를 찾기가 더 쉽다. 왜냐하면 모든 짝수는 2를 인수로 가지기 때문이다. 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2 처럼 말이다.
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인수가 다시 나눠질 수 있는지 보기. 대부분의 큰 숫자들은 여러분 나눠질 수 있다. 만약 당신이 어떤 수를 두 개의 인수로 나눴다고 하자. 그 중 큰 숫자가 또 다른 숫자 쌍의 곱으로 표현될 수 있는가? 그렇다면 그 수를 다시 나눠서 두 인수의 곱으로 표현해보자. 이 방법은 주어진 문제의 목적과 상황에 따라 편할 수도, 불편할 수도 있다.
- 우리가 아까 나눴던 12를 생각해보자. 12를 2 × 6으로 나눈 것을 기억하는가? 여기서 6을 자세히 살펴보면 3 × 2 = 6 처럼 쓸 수 있는 것을 알 수 있다. 즉, 6은 또 다시 두 개의 인수로 나눌 수 있는 것이다. 따라서 12 = 2 × (3 × 2) 라고 써도 무방하다.
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소수를 만나면 멈추기. 소수는 그 자신과 1로만 나누어질 수 있는 숫자를 말한다. 몇 가지 소수를 예로 들면, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 등이 있겠다. 어떤 수를 계속해서 인수의 곱으로 나타내다 보면 결국 소수를 만나게 될 것이다. 소수는 더 이상 나눌 수 없기 때문에 그 이상의 계산은 무의미하다. 따라서 숫자를 분해하다가 소수가 나오면 계산을 멈추면 된다. 이렇게 어떤 수를 인수의 곱으로 분해하는 도중에 나오는 소수를 소인수라고 한다.
- 아까 우리는 12를 다음과 같이 분해했다. 12 to 2 × (2 × 3). 이 식을 이루는 숫자인 2, 2, 3은 모두 소수이다. 따라서 우리가 만약 여기서 계속 분해를 하려 한다면 (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)), 과 같이 표현해야 할 것이다. 보면 알겠지만 의미가 없는 계산이다. 따라서 보통 생략되곤 하는 부분이다.
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음수도 같은 방식으로 나누기. 음수의 경우에도 양수와 마찬가지로 분해할 수 있다. 하나 다른 점은 두 인수를 구해서 곱해봤을 때 결과가 음수로 나와야 한다는 점이다(생각해보면 당연하다. 음수를 나눴으니 다시 곱해도 음수가 나와야 한다.) 따라서 음수를 분해할 때는 홀수 개의 숫자 앞에 마이너스 부호를 붙이도록 한다.
- 예를 들어 -60이 주어졌다고 하면 아래처럼 분해할 수 있을 것이다:
- -60 = -10 × 6
- -60 = (-5 × 2) × 6
- -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
- -60 = -5 × 2 × 3 × 2 . 여기서 보면 홀수 개의 숫자 앞에 마이너스 부호가 있는 것을 확인할 수 있다. 이 식을 다르게 표현하면 -5 × 2 × -3 × -2 처럼 쓸 수도 있을 것이다. 마이너스 부호가 3개, 즉 홀수개 있으므로 결과는 앞의 식과 똑같이 60이 나온다.
광고 - 예를 들어 -60이 주어졌다고 하면 아래처럼 분해할 수 있을 것이다:
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위 그림처럼 2열로 된 표 그리기. 작은 정수를 소인수분해 하는 것은 위에서도 봤듯이 쉽지만 큰 숫자를 분해하려고 한다면 상당히 벅차게 느껴질 수도 있다. 보통 4, 5자리 수가 되면 암산으로 소인수분해 하는 것은 매우 힘들다고 보면 된다. 하지만 여기서 설명하는 것처럼 2열 표를 그려서 문제를 풀면 매우 쉽게 큰 수를 소인수분해 할 수 있다. 이 표에 당신이 계산해낸 인수를 적어가면서 소인수가 나올 때까지 풀어보자.
- 일단 예시를 들기 위해 6,552 가 주어졌다고 가정하고 풀어보겠다.
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주어진 숫자를 가장 작은 소인수로 나누기. 문제에서 주어진 숫자를 1을 제외한 가장 작은 소인수로 나누도록 한다. 명심할 점은 소인수로 어떤 수를 나누게 되면 나머지가 나오지 않아야 한다는 것이다. 자, 이제 수를 나눴으면 사용한 소인수를 왼쪽에 적고 나눈 결과를 오른 쪽에 적도록 한다. 위에서 설명했듯이 짝수는 항상 소인수2를 인수로 포함하기 때문에 소인수분해를 더 쉽게 할 수 있다. 하지만 홀수의 경우에는 경우에 따라 가장 작은 소인수가 달라진다.
- 우리에게 주어진 6,552는 다행히 짝수이다. 따라서 2가 가장 작은 소인수가 될 것이다. 그러면 6,552 ÷ 2 = 3,276가 되는 것을 알 수 있고, 즉, 표 왼쪽에는 2 , 오른쪽에는 3,276 을 쓰면 된다는 것을 알 수 있다.
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같은 방식으로 계속 분해하기. 이제 표 오른쪽에 쓴 숫자를 다시 그 수의 가장 작은 소인수로 나누도록 한다. 실수로라도 이전 단계에서 사용했던 나누기 전의 숫자의 소인수를 사용하지 않도록 한다(표 왼쪽 위에 적힌 숫자를 의미한다). 이제 사용한 소인수를 다시 표 왼쪽 칸에 적고, 나눠서 나온 수를 오른쪽 칸에 적는다. 이 과정을 반복하라. 오른쪽 칸에 적힌 숫자의 크기가 점차 줄어드는 것을 확인할 수 있을 것이다.
- 위 그림을 참고로 계산을 계속해보자. 3,276 ÷ 2 = 1,638이기 때문에 표 왼쪽에는 다시 2 를 적고, 오른쪽에는 1,638 를 적을 것이다. 그리고 1,638 ÷ 2 = 819이므로, 다시 2 를 왼쪽에 819 를 오른쪽에 적을 것이다..
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홀수는 작은 소인수부터 차례대로 나눠보기. 홀수의 소인수를 찾는 것은 약간 까다롭다. 짝수처럼 항상 2를 소인수로 가지지 않기 때문이다. 따라서 계산을 하다가 홀수를 만나게 되면 작은 소수부터 차례대로 이용해 나눠보자. 2는 짝수니까 제외하고 그 다음 소수인 3부터 해서 5, 7, 11 등으로 나눈다. 나누다보면 언젠가는 나머지 없이 딱 떨어지는 수를 찾을 수 있을 것이다. 그 수가 바로 당신이 찾는 소인수가 될 것이다.
- 전 단계에서 결국 홀수인 819를 만난 것을 기억하는가? 819는 짝수가 아니므로 2를 소인수로 가지지 않는다. 이제 위에서 설명했던 것처럼 그 다음으로 큰 소수인 3으로 나눠보도록 하겠다. 819 ÷ 3 = 273이므로 나머지가 없는 것을 확인할 수 있다. 따라서 여태까지 했던 것처럼 3 과 273 를 각각 표의 왼쪽, 오른쪽에 쓰겠다.
- 홀수를 보고 어떤 수로 나눠야 할 지가 고민된다면 일단 그 홀수의 제곱근보다 작은 소수를 전부 시도해보자. 만약 그래도 홀수를 나눌 소인수가 발견되지 않았다면 아마 당신이 나누려고 하는 수가 소수일 가능성이 높다.
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1이 나올 때까지 계속하라. 표 오른 쪽에 있는 숫자를 계속해서 그 수의 가장 작은 소인수로 나누다 보면 언젠가 소수가 나올 것이다. 그러면 소수를 자기 자신으로 나눠 표 오른쪽에 1이 나오도록 만들자.
- 이제 계산을 마무리 할 단계까지 왔다. 자세한 과정은 아래를 보자:
- 다시 3으로 나눈다: 273 ÷ 3 = 91, 완전히 나누어 떨어진다. 따라서 표에 3 과 91 을 적는다.
- 다시 3을 시도해본다: 91 는 3과 그 다음 소수인 5를 인수로 가지지 않는다. 하지만 91 ÷ 7 = 13에서 보이는 것처럼 7을 소인수로 가진다. 따라서 표에 7 과 13 를 적는다.
- 다시 7을 시도해본다: 13은 7을 인수로 가지지 않으며 그 다음으로 큰 소수인 11도 인수로 가지지 않는다. 따라서 그 다음으로 큰 소수인 13으로 나눠보면 1이 나오는 것을 확인할 수 있다. 13 ÷ 13 = 1. 이제 1이 나왔으니 13 과 1 을 적고 계산을 끝낸다.
- 이제 계산을 마무리 할 단계까지 왔다. 자세한 과정은 아래를 보자:
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표 왼쪽에 있는 숫자를 나열해 주어진 수의 소인수로 적기. 표의 오른쪽 아래에 1이 나왔으면 일단 계산은 끝났다고 보면 된다. 이제 표의 왼쪽에 써있는 숫자를 보자. 그 숫자들이 문제에서 주어진 숫자의 소인수들이 될 것이다. 다시 말하자면 표 왼쪽의 숫자를 전부 곱하면 원래 주어졌던 숫자가 된다. 이제 그 숫자들을 위 그림처럼 같은 숫자는 하나로 묶고 전부 곱해 식으로 정리하도록 하자. 우리 표에는 2가 4개 있으므로, 2 × 2 × 2 × 2처럼 적는 대신 2 4 로 적는다.
- 우리가 풀었던 문제의 답을 적어보자면 다음과 같다. 6,552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13 . 이 식이 6,552를 소인수분해 한 결과이며, 곱하는 순서가 어찌되었든 곱해서 나오는 값은 항상 6,552가 될 것이다.
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팁
- 소수 의 개념은 상당히 중요하다. 소수는 자기 자신과 1로만 나눠질 수 있는 숫자를 의미한다. 3은 1과 3으로만 나눠질 수 있기 때문에 소수라 할 수 있다. 하지만 4는 1과 4 이외에도 2로 나누어 떨어지기 때문에 소수가 아니다. 소수가 아닌 숫자는 합성수 라고 불린다. (다만 1은 예외로 소수도 합성수도 아닌 숫자이다.)
- 가장 작은 소수들을 나열해자면 다음과 같다: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
- 어떤 수가 주어진 수의 인수 라면, 주어진 수를 그 수로 나눴을 때 "나머지 없이" 딱 나눠 떨어져야 한다. 즉, 큰 숫자를 나누더라도 두 개의 더 작은 숫자로 나눠 떨어져야지, 나머지가 발생해서는 안된다는 얘기다. 예를 들어 6은 24의 인수이다. 24 ÷ 6 = 4처럼 나머지가 없이 딱 나눠 떨어지기 때문이다. 하지만 6은 25의 인수가 아니다. 25를 6으로 나누면 나머지 1이 나오기 때문이다.
- 어떤 숫자들은 다른 방법을 사용했을 때 더 빠르게 소인수분해 할 수 있다. 하지만 모든 경우에 통용되는 방법은 아닐 것이다. 하지만 이 방법은 모든 수를 소인수분해 할 수 있다. 그리고 하나 추가로 말해주자면, 표가 완성되었을 때 왼편에 소수가 오름차순으로 정렬되어 있는 것을 볼 수 있을 것이다.
- 이 글에서 다룬 숫자는 "자연수"를 기준으로 한 것임을 잊지말자(예: 1, 2, 3, 4, 5...). 여기서는 음수나 분수에 대해 설명하고 있지 않으며, 이 방법을 사용해 음수나 분수를 소인수분해 하는 것은 힘들 것이다.
- 현재 계산하고 있는 숫자의 각 자리 수 합이 3의 배수라면, 그 수가 3으로 나누어진다는 점을 알자. ( 819 = 8+1+9 = 18, 1+8 =9. 따라서 9의 약수인 3 역시 819의 소인수가 된다)
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- 필요없는 계산 과정을 반복하지 않도록 한다. 한 번 소인수로 쓰이지 않은 숫자는 계속해서 소인수로 쓰이지 않을 것이다. 예를 들어 819가 2를 소인수로 가지지 않는다는 것을 확인했으면 계산이 끝날 때까지 2는 더 이상 등장하지 않는다는 점을 기억하자.
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필요한 것
- 종이
- 필기도구, 연필(혹은 샤프)과 지우개
- 계산기(검산용)
이 위키하우에 대하여
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