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함수의 범위란 함수로 인해 나올 수 있는 값들의 집합을 말합니다. 다른 말로, 함수에 x값을 넣었을 때 나올 수 있는 y값들의 집합니다. 가능한 x값들의 집합을 정의역 이라고 부릅니다. 함수의 범위를 찾고 싶다면 다음 설명을 읽어보세요.
단계
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공식을 적으세요. 공식이 이런 함수를 다룬다고 해봅시다. f(x) = 3x 2 + 6x -2 방정식에 x 를 집어넣으면 y 값을 얻을 수 있다는 뜻입니다. 이 함수는 포물선 모양입니다.
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함수식이 이차방정식이라면 정점을 찾도록 하세요. 만약 직선이나 홀수 제곱승의 방정식을 다루고 있다면, 예를 들어 f(x) = 6x 3 +2x + 7, 이 과정을 넘기세요. 하지만 만약 이차곡선이나 x가 짝수 제곱승인 식을 다루고 있다면 정적을 찾아야 합니다. 이를 위해, -b/2a 공식을 이용하여 3x 2 + 6x -2 의 x좌표를 구하세요. 3 = a, 6 = b, 그리고 -2 = c입니다. 이 경우 -b 는 -6, 그리고 2a 는 6, 그러므로 x좌표는 -6/6, 또는 -1입니다.
- 이제 함수에 -1 값을 넣어서 y좌표를 구하세요. f(-1) = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- 정점 좌표는 (-1,-5입니다. 꼭지점 x좌표가 -1 그리고 y좌표가 -5인 그래프를 그리세요. 그래프의 3사분면에 위치해 있을 겁니다.
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함수의 다른 점 몇 개를 찾으세요. 대충 감을 잡으려면, 함수의 범위를 찾기 전에, x좌표 몇 개를 넣어보며 함수의 대략적인 모양을 가늠해볼 수 있습니다. 함수가 포물선 모양이고 x 2 항이 양수이므로, 함수는 위로 향합니다. 하지만 기본을 다지기 위해, x좌표를 넣어서 어떤 y값이 나오는 지 봅시다.
- f(-2) = 3(-2) 2 + 6(-2) -2 = -2. 그래프의 한 점 (-2, -2)
- f(0) = 3(0) 2 + 6(0) -2 = -2. 다른 한 점(0,-2)
- f(1) = 3(1) 2 + 6(1) -2 = 7. 또 다른 한 점 (1, 7).
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그래프의 범위 찾기. 이제 그래프의 y좌표를 보세요. y좌표와 겹치는 최저점을 찾으세요. 이 경우, 정점의 y좌표는, -5이고, 그래프는 이 점 위로 무한히 뻗습니다. 이 뜻은, 그래프의 범위가 y =모든 숫자 ≥ -5 라는 겁니다.광고
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함수의 최소값 찾기. y좌표의 최저값을 찾으세요. -3에서 함수 값이 가장 낮은 점을 지난다고 합시다. 이 함수는 무한히 음수로 향하는 방향일 수도 있습니다. 그러므로 가장 낮은 점은 없을 수도 있어요 – 음의 무한으로 갑니다.
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함수의 최고값 찾기. 함수의 최고 y값이 10이라고 합니다. 이 함수는 양의 방향으로 무한히 뻗는 함수일 수도 있습니다. 그러므로 가장 높은 점이 없이 무한히 뻗어나가죠.
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범위를 정하세요. 함수의 범위, 또는 y좌표의 범위는 -3 에서 10이라면, -3 ≤ f(x) ≤ 10입니다. 이게 함수의 범위입니다.
- 함수가 y = -3에서 최저점에 달한다고 합시다. 하지만 위로 무한히 뻗는다고 합시다. 그렇다면 함수의 범위는 f(x) ≥ -3 입니다. 이렇게 쓰면 됩니다.
- 그래프가 10에서 최저점을 찍지만 아래로 무한히 뻗어 나간다고 합시다. 그렇다면 함수의 범위는 f(x) ≤ 10.
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관계를 적으세요. 관계란 x과 y 좌표의 관련 쌍을 말합니다. 관계를 통해 정의역 또는 범위를 구할 수 있습니다. 이런 관계가 있다고 합시다: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}. [1] X 출처 검색하기
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관계에서 얻은 범위를 오름차순으로 쓰세요. 이제 모든 숫자들을 작은 숫자로부터 큰 숫자까지오름차순으로 정렬하면 범위를 얻을 수 있어요. 관계를 통해 얻은 범위는 {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}에서 {-3,-1, 3, 6}가 됩니다. 이렇게 하면 됩니다. [4] X 출처 검색하기
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관계가 함수가 "맞는지" 확인하세요. 관계가 함수가 되려면 특정 x좌표를 넣을 때 마다 항상 같은 y값이 나와야 합니다. 예를 들어, 관계 {(2, 3) (2, 4) (6, 9)}는 함수가 아닙니다". 왜냐하면 처음에 x에 2를 넣으면 3이 나왔는데 두 번째에 넣었더니 4가 나왔습니다. 관계가 함수가 되려면, 같은 수를 입력해 넣으면 항상 같은 결과 값이 나와야 합니다. -7을 넣었다면 항상 같은 y좌표(어떤 값이던 간에) 값이 나와야 합니다. [5] X 출처 검색하기광고
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문제를 읽으세요. 이와 같은 문제를 풀고 있다고 합시다: "Becky는 학교 장기자랑 대회 티켓을 한 장에 5달러에 팔고 있습니다. 그녀가 판 티켓의 개수에 대한 함수 값은 그녀가 모은 돈의 양입니다. 함수의 범위는?"
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문제를 함수로 적기. 이 경우, M 은 그녀가 모은 돈의 양입니다. 그리고 t 는 그녀가 판 티켓의 양입니다. 하지만 각 티켓은 5달러며 그녀가 판 티켓의 수에 5를 곱하여 금액 수를 구해야 합니다. 그러므로, 함수는 M(t) = 5t. 이렇게 적을 수 있습니다.
- 예를 들어, 그녀가 티켓을 2장 팔았다면 2와 5을 곱하여 10을 얻습니다. 그녀가 벌은 돈 액수입니다.
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정의역 정하기. 함수의 범위를 정하기 위해서는 먼저 정의역을 찾아야 합니다. 정의역은 가능한모든 t 값입니다. 이 경우, Becky는 0 또는 더 많은 양의 티켓을 팔 수 있습니다 – 음수 개의 티켓을 파는 것은 불가능해요. 그녀의 학교 강당에 몇 명이 들어갈 수 있는지는 모르지만 그녀가 티켓을 무한정으로 팔 수 있다고 가정해봅시다. 그녀는 온전한 티켓을 하나씩 팔 수 있습니다; 예를 들어, 티켓의 1/2을 팔거나 할 수 없죠. 그러므로, 함수의 정의역은 t = 음수가 아닌 모든 정수.
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범위 정하기. 범위는 Becky가 팔아서 벌 수 있는 돈의 액수입니다. 정의역을 사용하여 범위를 찾을 수 있어요. 정의역이 음수가 아닌 모든 정수라는 것을 알고 있고 공식은 M(t) = 5t 이므로, 음수가 아닌 모든 정수를 넣어서 결과값을 찾아 범위를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 그녀가 티켓을 5장 팔았다면 M(5) = 5 x 5, 또는 25 달러입니다. 그녀가 100장을 팔았다면, M(100) = 5 x 100, 또는 500달러. 그러므로, 함수의 범위는 음수가 아닌 모든 정수에 5을 곱한 값 입니다.
- 이는 함수의 정의역으로 나올 수 있는 모든 결과 값은 음수가 아닌 모든 정수 값에 5를 곱한 값이라는 뜻입니다.
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팁
- 보다 어려운 문제를 풀 경우, 먼저 정의역을 이용하여(가능하다면) 그래프를 그린 뒤 그래프로 범위를 결정하는게 쉬울겁니다.
- 역함수를 찾을 수 있는지 보세요. 역함수의 정의역은 함수의 범위와 같습니다.
- 함수가 반복되는지 확인하세요. 어떤 함수든 x축을 따라 반복된다면 함수의 모든 범위가 똑같이나올 겁니다. 예를 들어, f(x) = sin(x)의 범위는 -1 에서 1입니다.
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출처
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