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수학은 확실히 어려운 학문이 맞다. 특히 여러 종류의 정리, 공식을 기억하다보면 다른 기본적인 개념을 까먹는 경우가 잦은데, 이 글에서는 쉽게 까먹을 수 있는 기본 원리 중 하나인 약분하는 방법을 두 가지로 나눠 배워보도록 하겠다.
단계
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분자, 분모의 약수 나열하기. 약수라는 것은 곱해서 다른 숫자를 만들 수 있는 수이다. 예를 들어 3과 4는 곱해서 12를 만들 수 있으므로 12의 약수라고 할 수 있다. 어떤 수의 약수를 알기 위해서는 곱해서 그 수를 만들 수 있는 모든 수의 조합을 생각해야 한다. 어떤 수의 약수는 그 수를 딱 떨어지게 나눌 수 있다는 점을 고려해 찾도록 하자.
- 약수를 찾았으면 작은 수부터 큰 수까지 오름차순으로 나열한다. 1은 모든 수의 약수이므로 제외하는 것을 잊지 않는다. 이제 한 눈에 쉽게 분자와 분모의 약수를 볼 수 있을 것이다. 아래에서는 24/32라는 분수가 주어졌다 가정하고 문제를 풀어보겠다:
- 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- 약수를 찾았으면 작은 수부터 큰 수까지 오름차순으로 나열한다. 1은 모든 수의 약수이므로 제외하는 것을 잊지 않는다. 이제 한 눈에 쉽게 분자와 분모의 약수를 볼 수 있을 것이다. 아래에서는 24/32라는 분수가 주어졌다 가정하고 문제를 풀어보겠다:
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분자와 분모의 최대공약수 구하기. 최대공약수는 두 개 이상의 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 공통된 약수 중 가장 큰 수를 의미한다. 일단 전 단계에서 분모와 분자의 약수를 다 나열했으면 이제 두 수의 공통된 약수를 찾아 그 중 가장 큰 수를 찾자. 아래 예시를 통해 최대공약수를 찾는 방법을 직접 보도록 하자.
- 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8 , 12, 24.
- 32: 1, 2, 4, 8 , 16, 32.
- 따라서 24와 32의 최대공약수는 8이 된다. 8은 24와 32를 완전히 나눌 수 있는 수 중 가장 큰 수이다.
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분모와 분자를 최대공약수로 나누기. 이제 분모와 분자를 구한 최대공약수로 나누기만 하면 된다. 공약수로 나누게 되면 분수의 위, 아래가 더 작은 수로 쪼개질 것이다. 아래 예시를 참고해 문제를 풀어보자:
- 24/8 = 3
- 32/8 = 4
- 약분된 분수는 3/4이다.
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검산하기. 분수를 제대로 약분했는지 확인하고 싶으면 검산을 하자. 약분한 분수와 분모에 최대공약수를 곱하기만 하면 된다. 제대로 약분했으면 최대공약수를 곱했을 때 원래 주어졌었던 분수가 나올 것이다. 아래 예시를 참고하자:
- 3 * 8 = 24
- 4 * 8 = 32
- 처음에 주어졌던 분수가 나왔으니 계산을 제대로 한 것이다. 24/32.
- 분수의 약수를 다시 구해 분자와 분모가 더 이상 약분되지 않을 때까지 약분한다. 제대로 약분을 다 했으면 분자와 분모가 소수가 될 것이다. 일단 분자 3은 소수인 것을 쉽게 확인할 수 있다. 3은 1과 자기 자신, 즉 3으로밖에 나눠지지 않기 때문이다. 4는 비록 소수는 아니지만 분자인 3으로 나눠지지 않기 때문에 위에서 구한 분수가 더 이상 약분되지 않는 "기약분수"임을 확인할 수 있다.
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작은 수 고르기. 이 방법을 사용하려면 일단 2, 3, 4, 5, 7 등의 작은 수를 하나 골라야 한다. 작은 수 중 분수를 보고 분자와 분모를 동시에 나눌 수 있을 것 같은 수를 고르도록 한다. 예를 들어 분수 24/108이 주어졌다면 5를 고르는 것은 어리석은 짓이다. 대신 주어진 분수가 25/60이었다면 5를 골랐을 때 가장 효율적으로 약분할 수 있을 것이다.
- 24/32의 경우에는 먼저 2를 골라 약분하는 것이 좋다. 24와 32는 둘 다 짝수이기 때문에 무조건 2로 나눌 수 있다.
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분모와 분자를 고른 수로 나누기. 위에서 고른 작은 수로 분수를 나누게 되면 새로운 분자와 분모가 나올 것이다. 아까 24/32를 2로 나누게 되면 어떻게 되는지 아래 과정을 따라가보자:
- 24/2 = 12
- 32/2 = 16
- 2로 한 번 약분한 분수는 다음과 같다. 12/16.
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이 과정을 반복하기. 계속해서 작은 수를 골라 분수를 약분한다. 일단 위 예시를 계속 따라가보면, 아직 분자와 분모가 짝수이므로 2를 다시 고를 수 있겠다. 만약 분자나 분모가 홀수라면 2보다 큰 숫자를 골라 나눠볼 수 있을 것이다. 12/16으로 다시 문제를 풀어볼테니 아래 과정을 참고하도록 하자:
- 12/2 = 6
- 16/2 = 8
- 다시 분수를 약분하면 6/8이 나온다.
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더 이상 나눌 수 없을 때까지 나누기. 아직 분자와 분모가 둘 다 짝수이니 2로 또 나눌 수 있다. 아래 과정을 참고하자:
- 6/2 = 3
- 8/2 = 4
- 다시 약분한 분수는 3/4이 된다.
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기약분수인지 확인하기. 위에서 구한 3/4를 보도록 하자. 일단 3은 1과 자기 자신으로밖에 나눠지지 않으므로 소수이다. 분모 4는 분자 3으로 나눌 수 없다. 따라서 이 분수는 최대한도로 약분한 기약분수라 할 수 있다. 하지만 답을 쓰기 전에 분자와 분모가 다른 수로 동시에 나눠질 수 있는지 확인해보자.
- 예를 들어 10/40이라는 분수가 주어졌다고 하자. 그러면 일단 분수를 5로 나누게 될 것이다. 약분해서 나온 2/8이라는 분수는 5로는 나눌 수 없지만 그보다 더 작은 수인 2로는 나눌 수 있다. 2로 나누게 되면 기약분수이자 정답인 1/4를 구할 수 있다.
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검산하기. 3/4에 2/2를 세 번 곱해 처음 주어졌던 분수가 나오는지 확인해보자. 제대로 계산했다면 24/32가 나올 것이다. 아래 과정을 참고하자:
- 3/4 * 2/2 = 6/8
- 6/8 * 2/2 = 12/16
- 12/16 * 2/2 = 24/32.
- 이전 단계에서 24/32를 2 * 2 * 2로 나눈 것을 기억하는가? 즉 24/32를 8로 나눈 것이다. 8은 24와 32의 최대공약수이기도 하다.
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주어진 분수 쓰기. 종이의 오른 쪽에 계산과정을 쓸 여백을 미리 마련해둔다. 여기에 약수를 나열할 것이다.
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분자와 분모의 약수 나열하기. 섞어 쓰지 말고 따로 나눠서 깔끔하게 정리하도록 한다. 분자와 그 약수를 위에, 분모의 약수를 아래에 쓰면 더 쉽게 볼 수 있을 것이다. 약수는 1부터 오름차순으로 쓰도록 한다.
- 예를 들어 위 그림처럼 24/60이 주어졌다면 먼저 분자 24의 약수부터 적도록 한다: 24 -- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- 그 다음 분모 60의 약수를 적는다. 60 -- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
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최대공약수를 찾아 나누기. 교과서의 최대공약수를 참고해도 좋다. 분모와 분자를 동시에 나눌 수 있는 약수 중 가장 큰 수를 찾으면 그것이 바로 최대공약수가 된다. 찾아서 한 번 나눠보도록 하자.
- 우리 예시에서는 최대공약수가 12가 된다. 따라서 24를 12로 나누고 분모 60을 12로 나눠 2/5를 얻을 수 있다. 이 분수가 바로 우리가 구하고자 했던 기약분수이다!
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분모와 분자의 소인수 찾기. 일단 소수는 1과 자기 자신으로만 나눠지는 수를 의미한다. 소인수는 어떤 수를 나머지 없이 딱 떨어지게 나눌 수 있는 소수를 의미한다. 소수의 예를 몇 가지 들어보자면 다음과 같다: 2, 3, 5, 7, 11.
- 먼저 분자부터 시작한다. 그림을 보면 분모가 24이므로 숫자 아래에 2와 12를 적는다. 2는 소수이므로 더 이상 신경쓰지 않아도 된다. 이제 12를 보자. 짝수이므로 2로 나눌 수 있다. 따라서 2와 6을 적는다. 마찬가지로 소수인 2를 제외하고 6을 2와 3으로 나눈다. 그러면 24를 2, 2, 2, 3으로 소인수분해 한 것이다.
- 분모로 넘어가보자. 분모는 60이므로 2와 30으로 먼저 나눌 수 있다. 30은 다시 2와 15로 나누어지고 15는 3과 5로 나누어진다. 3과 5는 둘 다 소수이므로 60을 소인수분해한 결과는 2, 2, 3, 5이다.
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소인수분해한 결과 쓰기. 위 그림처럼 구한 소인수를 곱셈의 형식으로 나열하도록 한다. 실제로 계산을 할 필요는 없고 보기 편하라고 쓰는 것이다.
- 분자 24는 다음처럼 쓸 수 있다. 2 x 2 x 2 x 3 = 24.
- 분모 60은 다음처럼 쓸 수 있다. 2 x 2 x 3 x 5 = 60
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공통 소인수 지우기. 분자와 분모에 공통적으로 보이는 소인수를 동시에 지우도록 한다. 위 그림을 보면 2 두 쌍을 지우고 3 한 쌍을 지운 것을 확인할 수 있다.
- 남은 것을 분수 형태로 쓰면, 분자가 2, 분모가 5인 분수 2/5가 된다. 앞서 설명한 과정에서 구한 기약분수와 같은 답이 나왔다.
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팁
- 선생님께 질문을 해보자. 아마 기꺼이 가르쳐 주실 것이다.
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