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육각형은 여섯개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형이다. 정육각형은 모든 변의 길이가 같으면 여섯개의 정삼각형으로 나눠질 수 있다. 육각형의 넓이를 계산하는 방법은 여러가지가 있으며, 이 글에서는 정육각형과 그에 속하지 않은 육각형의 넓이를 쉽게 계산하는 방법에 대해 배워볼 것이다.
단계
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한 변의 길이를 알 때 사용할 수 있는 정육각형 넓이 공식 배우기. 정육각형은 여섯개의 동일한 정삼각형으로 나눠질 수 있다. 따라서 정육각형의 넓이 공식은 정삼각형 공식을 확장시킨 것과 같다. 정육각형 넓이 공식은 다음과 같다. 넓이 = (3√3 s 2 )/ 2 . 여기서 s 는 정육각형의 한 변의 길이를 의미한다. [1] X 출처 검색하기
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한 변의 길이 알기. 문제에서 한 변의 길이가 이미 주어졌다면 그냥 종이에 적기만 하면 된다. 일단 주어진 정육각형의 길이가 9 cm라고 가정하고 문제를 풀어보도록 하겠다. 만약 한 변의 길이가 주어지지 않았다면 정육각형의 둘레나 변심거리(정육각형을 이루는 정삼각형의 높이)가 주어졌는지 살펴보도록 한다. 그리고 아래 설명을 참고해 한 변의 길이를 구하도록 한다:
- 만약 둘레 길이가 주어졌다면 6으로 나눠 한 변의 길이를 구하면 된다. 예를 들어 문제에서 정육각형의 둘레 길이가 54 cm라고 알려줬다면 이를 6으로 나눠 한 변의 길이인 9 cm를 구하면 된다.
- 만약 변심거리만 주어졌다면 다음 공식을 사용해 한 변의 길이를 알아내야 한다. 즉, a = x√3 의 x에 2를 곱한 값이 된다. 2를 곱하는 이유는 변심거리가 정삼각형을 반으로 잘랐을 때 생기는 30-60-90도 삼각형의 한 변을 x라고 가정했을 때 x√3이 되는 변을 의미하기 때문이다. 만약 변심거리가 10√3로 주어졌다면, x는 10이 되며 한 변의 길이는 10 * 2인 20이 될 것이다.
- 만약 둘레 길이가 주어졌다면 6으로 나눠 한 변의 길이를 구하면 된다. 예를 들어 문제에서 정육각형의 둘레 길이가 54 cm라고 알려줬다면 이를 6으로 나눠 한 변의 길이인 9 cm를 구하면 된다.
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공식에 구한 길이 대입하기. 이제 정육각형을 이루는 정삼각형의 한 변의 길이를 알았으니, 9를 공식에 대입하도록 한다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다. 넓이 = (3√3 x 9 2 )/2
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식 단순화하기. 이제 식을 정리하고 값을 구하도록 한다. 참고로 넓이를 구하는 과정이니 결과가 제곱단위로 표현되어야 할 것이다. 다음 과정을 참고해 문제를 풀어본다:
- (3√3 x 9 2 )/2 =
- (3√3 x 81)/2 =
- (243√3)/2 =
- 420.8/2 =
- 210.4 cm 2
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변심거리 쓰기. 주어진 변심거리가 5√3 cm라고 가정하자.
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변심거리로 둘레 길이 구하기. 변심거리는 육각형의 중심으로부터 한 변에 내린 수선의 길이를 의미하며, 30-60-90도를 가지는 직각삼각형의 한 변을 형성하게 된다. 30-60-90도를 가지는 직각삼각형의 각 변의 길이는 x, x√3, 2x가 된다. 30도를 마주보는 가장 짧은 변이 x가 되며, 60도를 마주보는 긴 변의 길이가 x√3, 빗변이 2x가 된다. [3] X 출처 검색하기
- 변심거리는 x√3인 변이다. 따라서 공식 a = x√3 에 변심거리를 대입해 문제를 풀도록 한다. 예를 들어 변심거리가 5√3으로 주어졌다면 공식에 대입했을 때 다음처럼 표현될 것이다. 5√3 cm = x√3, x = 5 cm.
- x에 대해 문제를 풀게 되면 위에서 설명했던 직각삼각형의 짧은 변의 길이를 구하게 될 것이다. 이 변의 길이는 정육각형의 한 변의 길이의 절반과 동일하기 때문에, 구한 값에 2를 곱해야 한 변의 길이를 구할 수 있다. 5 cm x 2 = 10 cm.
- 이제 정육각형의 한 변의 길이 10을 구했으니 6을 곱해 둘레 길이를 구하도록 하자. 10 cm x 6 = 60 cm
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구한 모든 값들을 공식에 대입하기. 가장 어려운 부분인 육각형의 둘레를 구하는 부분은 이미 지나갔다. 이제 구한 모든 값들을 공식에 대입해 풀기만 하면 된다:
- 넓이 = 1/2 x 둘레 길이 x 변심거리
- 넓이 = 1/2 x 60 cm x 5√3 cm
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답 간략화 하기. 공식에 넣은 값을 다 곱해 식을 간략화하자. 답의 단위를 제곱으로 쓰는 것을 잊지 않도록 한다.
- 1/2 x 60 cm x 5√3 cm =
- 30 x 5√3 cm =
- 150√3 cm =
- 259. 8 cm 2
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모든 꼭짓점의 좌표 적기. 만약 육각형의 좌표가 문제에서 주어졌다면 가장 먼저 해야할 일은 종이에 위 그림처럼 일곱개의 행과 2개의 열을 가진 표를 만들어 각 좌표를 써넣어 정리하는 것이다. 각 행에는 점 A, 점 B, 점 C처럼 모든 점의 이름을 적고, 해당하는 열에 x와 y좌표를 적어 넣도록 하자. 모든 좌표를 적을 때 (x, y)형태로 적으면 나중에 문제를 풀기가 더 쉬울 것이다. 점 F까지 다 적었으면 마지막 칸에 점 A를 다시 적도록 한다. 참고로 이 글에서는 육각형이 xy좌표계에 위치해 있다고 가정한다: [4] X 출처 검색하기
- A: (4, 10)
- B: (9, 7)
- C: (11, 2)
- D: (2, 2)
- E: (1, 5)
- F: (4, 7)
- A (마지막 줄에 다시 한 번 적는다): (4, 10)
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각 점의 x좌표에 다음 꼭짓점의 y좌표 곱하기. 이 과정을 한 점의 왼쪽 좌표에서 오른쪽 아래로 대각선을 긋는 것처럼 생각하면 쉬울 것이다. 값을 다 곱했으면 모두 더한다.
- 4 x 7 = 28
- 9 x 2 = 18
- 11 x 2 = 22
- 2 x 5 = 10
- 1 x 7 = 7
- 4 x 10 = 40
- 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
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각 점의 y좌표에 다음 꼭짓점의 x좌표 곱하기. 이 과정을 한 점의 오른쪽 y좌표에서 왼쪽 아래로 대각선을 긋는다고 생각하면 쉬울 것이다. 다 곱했으면 나온 값을 모두 더한다.
- 10 x 9 = 90
- 7 x 11 = 77
- 2 x 2 = 4
- 2 x 1 = 2
- 5 x 4 = 20
- 7 x 4 = 28
- 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
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첫 번째 값에서 두 번째 값 빼기. x좌표에 y좌표를 곱해 더한 값에서 y좌표에 x좌표를 곱해 더한 값을 뺀다. 125에서 221을 빼면 된다. 125 - 221 = -96. 이제 나온 값의 절대값을 취한다. 96. 넓이는 무조건 양의 수로 표현된다는 점을 고려하자.
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구한 값을 반으로 나누기. 이제 구한 값 96을 2로 나누면 주어진 육각형의 넓이가 나온다. 96/2 = 48. 답을 쓸 때 단위를 제곱으로 쓰는 것을 잊지 말자. 48 제곱단위로 답이 나오면 맞게 푼 것이다.광고
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정삼각형이 하나 모자라는 정육각형 도형의 넓이 구하기. 만약 일반적인 정육각형에서 삼각형이 하나 이상 빠진 것 같은 형태의 도형을 주고 넓이를 구하라고 한다면 가장 먼저 취해야 할 행동은 전체 정육각형의 넓이를 구하는 것이다. 그 다음 부족한 삼각형의 개수만큼 넓이를 빼면 된다. 그러면 쉽게 육각형의 넓이를 계산할 수 있을 것이다.
- 예를 들어 일반적인 정육각형 형태라고 가정하고 계산한 넓이가 60 cm 2 라고 하자. 그리고 부족한 삼각형의 넓이가 10 cm 2 로 나왔다면 다음처럼 전체 넓이에서 부족한 삼각형의 넓이를 빼주면 끝이다: 60 cm 2 - 10 cm 2 = 50 cm 2 .
- 주어진 육각형이 정육각형에서 삼각형이 하나 부족한 형태임을 확실히 알고 있다면 전체 넓이에 5/6을 곱하는 것으로 쉽게 넓이를 구할 수도 있다. 정육각형은 같은 크기와 삼각형 6개를 포함하고 있으므로 삼각형이 하나가 부족하면 전체 6개 중 5개만 가지고 있는 것이다. 마찬가지로 삼각형 2개가 부족한 정육각형은 전체 넓이에 4/6(약분하면 2/3)을 곱하면 될 것이다.
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주어진 육각형을 다른 형태의 삼각형으로 분할하기. 예를 들어 주어진 육각형이 다른 4개의 모양이 각각 다른 삼각형들로 나눠질 수도 있다. 이때 육각형의 전체 넓이를 구하기 위해서는 각 삼각형의 넓이를 따로 구해 합치면 된다. 주어진 정보를 바탕으로 어떻게 구해야 할지 생각해보도록 한다.
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주어진 육각형에 어떤 도형이 들어갈 수 있는지 생각해보기. 만약 주어진 육각형을 단순히 여러 개의 삼각형으로 나누기 힘들다면, 다른 도형이 들어갈 수 있는지 살펴보도록 한다. 삼각형이 들어갈 수도 있으며, 직사각형이나 정사각형이 들어갈 수도 있을 것이다. 일단 넓이를 구하기 쉬운 도형들로 육각형을 채웠으면 각각의 넓이를 구해 합치도록 한다.
- 어떤 육각형은 두 개의 평행사변형으로 이루어졌을 수도 있다. 평행사변형의 넓이를 구하기 위해서는 단순히 밑변과 높이를 곱하기만 하면 된다. 직사각형의 넓이를 구하는 것과 같기 때문에 쉽게 할 수 있을 것이다. 다 구했으면 구한 값들을 합쳐 전체 육각형의 넓이를 구하도록 한다.
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출처
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