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이등변삼각형 넓이 구하는 방법

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공동 작성자 David Jia

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이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형입니다. 길이가 같은 두 변은 항상 같은 각도로 밑변(세 번째 변)과 연결되며, 정확히 밑변의 중점 위에서 만납니다. ^{[1]
X
출처 검색하기} 길이가 같은 연필 두 자루와 자로 이 특성을 확인할 수 있습니다: 어느 한쪽의 각도를 기울이면 두 연필의 끝이 만나게 할 수 없습니다. 이등변삼각형의 이런 특성은 몇 가지 정보만으로 넓이를 구할 수 있게 합니다.

방법 1

방법 1 의 2:

변의 길이를 이용하여 넓이 구하는 방법

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1
평행사변형의 넓이 구하는 방법을 복습합니다. 정사각형과 직사각형은 평행한 두 쌍의 네 변을 가지고 있으므로 평행사변형입니다. 모든 평행사변형의 넓이 공식은 간단합니다: 넓이는 밑변과 높이의 곱과 같고 수식으로는 A = bh 입니다. ^{[2]
X
출처 검색하기} 평행사변형을 수평면에 놓는다면, 밑변은 수평면에 놓여 지지하는 변을 말합니다. 높이는 (예상대로) 바닥을 기준으로 얼마나 높은지를 나타냅니다: 밑변부터 밑변의 반대쪽 변까지의 길이를 말합니다. 높이는 항상 밑변으로부터 직각 (90 도) 거리로 계산합니다.
- 정사각형과 직사각형의 경우, 모든 변이 직각을 이루므로 높이는 세로 변의 길이와 같습니다.
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두 도형의 사이에 간단한 관계가 성립합니다. 평행사변형을 대각선을 따라 반으로 나누면 같은 삼각형이 두 개 나옵니다. 마찬가지로, 동일한 두 개의 삼각형을 붙여서 평행사변형을 만들 수 있습니다. 이 뜻은 모든 삼각형의 넓이는 그에 해당하는 평행사변형 넓이의 정확히 반이며, 수식으로는 A = ½bh 로 나타낼 수 있습니다. ^{[3]
X
출처 검색하기}
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3
이등변삼각형의 밑변을 찾습니다. 공식은 알지만, 이등변삼각형에서 밑변과 높이가 정확히 무엇일까요? 밑변은 찾기 쉽습니다: 길이가 나머지 두 변과 다른 세 번째 변 입니다.
- 예를 들어, 이등변삼각형의 변의 길이가 5 cm, 5 cm, 6 cm라면 6 cm가 밑변이 됩니다.
- 삼각형의 변의 길이가 모두 같다면 (정삼각형), 어떤 변을 밑변으로 선택해도 무방합니다. 정삼각형은 특수한 경우의 이등변삼각형으로, 넓이는 같은 방법으로 계산할 수 있습니다. ^{[4]
  X
  출처 검색하기}
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4
밑변부터 반대편 꼭지점까지 연결합니다. 연결한 선이 밑변에서 직각을 이루도록 합니다. 이 선의 길이가 삼각형의 높이가 되며, h 라고 표기합니다. h 를 계산하면 넓이를 구할 수 있습니다.
- 이등변삼각형의 경우, 이 선은 항상 밑변의 중심과 만납니다. ^{[5]
  X
  출처 검색하기}
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5
이등변삼각형의 반 쪽을 관찰합니다. 높이를 나타내는 선은 이등변삼각형을 동일한 두 개의 직각삼각형으로 나눕니다. 그 직각삼각형의 세 변의 길이를 확인합니다:
- 짧은 변 중에 하나는 밑변 길이의 반입니다: ${\frac {b}{2}}$
- 다른 변은 높이인 h 입니다.
- 이등변삼각형의 길이가 같은 두 변 중에 하나가 직각삼각형의 빗변이 됩니다. 빗변을 s 라고 표기합니다.
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6
피타고라스 정리를 사용합니다 . 직각삼각형의 두 변의 길이를 이용해 세번째 변의 길이를 구할 때 피타고라스 정리를 이용합니다. ^{[6]
X
출처 검색하기} (변 1) ² + (변 2) ² = (빗변) ² 이 문제에서 사용하는 변수들을 대입하면 $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ 공식을 구할 수 있습니다.
- 피타고라스 정리를 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 공식으로 배웠을 겁니다. 이것을 “변”과 “빗변” 으로 대신해 쓰면 혼동을 막을 수 있습니다.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/03\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/03\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
를 계산합니다. 넓이 공식은 b 와 h 를 사용하기 때문에, 우선 h 의 값을 계산해야 합니다. 공식을 재배열하여 h 를 계산합니다:
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
  $h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$ .
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8
공식에 삼각형 변의 길이를 대입해 h 를 구합니다. 이전 단계에서 공식을 구했으니, 변의 길이를 아는 모든 이등변삼각형에 공식을 사용할 수 있습니다. 밑변의 길이를 b 에 대입하고 길이가 같은 변의 길이를 s 에 대입하여 h 를 계산합니다.
- 예를 들어, 변의 길이가 5 cm, 5 cm, 6 cm인 이등변삼각형은 b = 6, s = 5 가 됩니다.
- 이 값들을 공식에 대입합니다:
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ cm.
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9
밑변과 높이 값을 넓이 공식에 대입합니다. 앞서 언급한 넓이 공식 A = ½bh 에 필요한 값은 모두 구했습니다. 이 공식에 b 와 h 를 대입해 넓이를 계산합니다. 넓이의 단위는 제곱임을 명심합니다.
- 앞선 예제를 이어가자면, 5-5-6 삼각형은 밑변이 6 cm, 높이가 4 cm 입니다.
- A = ½bh
  A = ½(6cm)(4cm)
  A = 12 cm ² .
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10
좀 더 어려운 문제를 시도합니다. 대부분의 이등변삼각형 문제는 방금 사용한 예제보다 더 어렵습니다. 일반적으로 높이의 경우 정수가 아닌 제곱근을 포함하기도 합니다. 이 경우 높이는 제곱근 값을 정리하는 방법 을 참고하여 간소화합니다. 아래의 예제를 참고합니다:
- 변의 길이가 8 cm, 8 cm, 4 cm 인 삼각형의 넓이는?
- 나머지 두 변과 다른 4 cm 의 변이 밑변 b 가 됩니다.
- 높이 $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- 소인수분해로 제곱근을 간소화합니다: $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}.$
- 넓이 $={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$
- 제곱근 그대로 답을 두거나 계산기를 사용하여 소수점으로 근사값을 구합니다 (대략 15.49 제곱 센티미터)
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방법 2

방법 2 의 2:

삼각법을 이용하여 넓이 구하는 방법

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1
변과 각을 이용합니다. 삼각법을 배웠다면, 한 변의 길이가 없어도 이등변삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 아래의 정보만 주어진 예제를 소개합니다: ^{[7]
X
출처 검색하기}
- 길이가 같은 변 “s” 의 길이는 10 cm 입니다.
- 길이가 같은 변 사이의 각 θ 는 120 도 입니다.
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2
이등변삼각형을 두 개의 직각삼각형으로 나눕니다. 길이가 같은 두 변이 만나는 꼭지점부터 밑변을 직각으로 만나는 선을 그립니다. 그러면 합동인 두 개의 직각삼각형이 나옵니다.
- 이 선은 θ 를 정확하게 반으로 나눕니다. 나뉜 직각삼각형은 ½θ 각을 가지게 되며, 이 경우는 (½)(120) = 60 도 입니다.
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3
삼각법을 사용하여 “h” 값을 구합니다. 직각삼각형이므로 사인, 코사인, 탄젠트 삼각함수를 사용할 수 있습니다. 이 예제에서 빗변의 길이는 주어졌고 이미 계산한 각에 인접한 변인 “h” 를 구해야 합니다. 코사인 = 밑변/빗변 임을 이용해 “h” 를 구합니다:
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
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4
남은 변의 길이를 구합니다. 길이를 구해야 하는 변을 “x” 로 표기합니다. 사인 = 높이 /빗변 공식을 이용해 계산합니다:
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
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처음에 주어진 이등변삼각형으로 다시 돌아갑니다. 길이가 “x” 부분으로 이등분 된 밑변 “b” 는2”x” 가 됩니다.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b0\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b0\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
넓이 공식에 “h” 와 “b” 를 대입합니다. 밑변과 높이를 구했으니 A = ½bh 공식을 사용할 수 있습니다:
- $A={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(2x)(10cos60)$
  $=(10sin60)(10cos60)$
  $=100sin(60)cos(60)$
- 계산기로 계산하면 (각도는 디그리 모드) 43.3 제곱 센티미터가 나옵니다. 다른방법으로는, 삼각함수 성질을 이용해 A = 50sin(120º) 로 간소화 할 수 있습니다.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
일반적인 공식을 구합니다. 계산방법을 익혔으니, 위의 과정을 매번 반복하지 않고 일반적인 공식을 이용할 수 있습니다. 특정 숫자없이 위의 과정을 반복하면 (그리고 삼각법의 특성을 이용하여 간소화 하면) 다음의 공식을 얻게 됩니다: ^{[8]
X
출처 검색하기}
- $A={\frac {1}{2}}s^{2}sin\theta$
- s 는 이등변삼각형의 길이가 같은 변의 길이입니다.
- θ 는 길이가 같은 두 변 사이의 각도입니다.
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팁

직각 이등변삼각형 (두 변의 길이가 같으며 사잇각이 90 도) 의 경우 더 쉽게 넓이를 구할 수 있습니다. 짧은 변 중에 하나를 밑변으로 놓으면, 다른 짧은 변이 높이가 됩니다. ^{[9]
X
출처 검색하기} A = ½ b * h 공식을 ½s ² 로 간소화할 수 있으며, 여기서 s 는 짧은 변의 길이를 말합니다.
제곱근은 양수와 음수 두 개의 답이 존재하지만, 기하학에서는 음수는 무시해도 무방합니다. 예를 들어, 삼각형에서 높이가 음수가 될 수는 없습니다.
다른 삼각법 문제들은 밑변의 길이와 다른 한 각도(그리고 삼각형의 두 변의 길이가 같다는 조건)와 같은 다른 정보를 제공할 수도 있습니다. 문제에 접근하는 기본 방식은 같습니다: 이등변삼각형을 직각삼각형으로 나누고, 삼각함수를 이용하여 높이를 구합니다.

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출처

이 위키하우에 대하여

공동 작성자 :

학업튜터

이 글은 공동 작성자 David Jia . 데이빗 지아는 학업 지도 교사이며 캘리포니아 주 로스 엔젤레스 소재 개인 과외업체인 LA Math Tutoring의 창업자이다. 10년 간의 교사 경력을 바탕으로 데이빗은 모든 연령과 학년의 학생들에게 다양한 과목을 지도할 뿐만 아니라 대학진학 상담과 SAT, ACT, ISEE 등의 시험 준비도 제공한다. 데이빗은 SAT에서 수학 800점 만점과 영어 690점으로 마이애미대학에서 디킨슨 장학금을 받았다. 그는 이 대학에서 경영학 학사학위를 받았다. 데이빗은 또한 Larson Texts, Big Ideas Learning, Big Ideas Math와 같은 교과서 발행사의 온라인 강의도 하고 있다. 조회수 47,974회

글 카테고리: 수학 | 학교 | 교육

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