단계
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사건과 결과 정하기. 확률은 한 가지 또는 그 이상의 사건을 가능한 모든 선택지(가능성)의 수로 나눠서 구할 수 있다. 예를 들어 육면체 주사위를 굴렸을 때 3이 나올 확률을 구한다고 가정해보자. "3을 굴린다"는 것이 사건이다. 우리는 이미 육면체 주사위에 여섯 개의 숫자가 적혀있으며 이를 굴렸을 때 여섯 개의 숫자 중 하나가 나올 수 있다는 사실을 알고 있다. 따라서 모든 가능성의 수는 6이다. 아래의 두 가지 예시를 추가로 살피면서 이해도를 높여보자:
- 예시 1
: 일주일 중 요일을 하나 골랐을 때 주말이 걸릴 확률은 얼마인가?
- "주말을 뽑는다"는 것이 우리가 정한 사건이다. 그리고 일주일에 포함된 요일은 7이므로 가능한 선택지의 수는 7이다.
- 예시 2
: 병 안에 파란 구슬이 4개, 빨간 구슬이 5개, 흰 구슬이 11개 들어 있다. 구슬을 무작위로 하나 뽑았을 때 빨간 구슬을 뽑을 확률은 얼마인가?
- "빨간 구슬을 고른다"는 것이 우리가 정한 사건이며, 가능한 모든 가능성이 개수는 병 안의 구슬의 개수, 즉, 20이다.
- 예시 1
: 일주일 중 요일을 하나 골랐을 때 주말이 걸릴 확률은 얼마인가?
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사건의 수를 모든 가능성의 수로 나누기. 그러면 한 사건이 발생할 확률을 구할 수 있다. 주사위를 굴려 3이 나오는 예시에서는 주사위의 숫자가 여섯 개고 3은 하나 있으므로 1 ÷ 6, 1/6, .166, 또는 16.6%로 확률을 계산해볼 수 있다. 나머지 예시의 결과를 확인해보자:
- 예시 1
: 일주일 중 요일을 하나 골랐을 때 주말이 걸릴 확률은 얼마인가?
- 사건의 개수는 2이다(일주일에 주말을 토요일과 일요일의 두 개가 있다), 그리고 모든 가능성이 개수는 7이다. 따라서 확률은 2 ÷ 7 = 2/7, 0.285 또는 28.5%이 된다.
- 예시 2
: 병 안에 파란 구슬이 4개, 빨간 구슬이 5개, 흰 구슬이 11개 들어 있다. 구슬을 무작위로 하나 뽑았을 때 빨간 구슬을 뽑을 확률은 얼마인가?
- 빨간 구슬이 다섯 개 있으므로 사건의 수는 5이다. 그리고 모든 가능성의 개수는 20이다. 따라서 확률은 5 ÷ 20 = 1/4, 0.25 또는 25%이다.
광고 - 예시 1
: 일주일 중 요일을 하나 골랐을 때 주말이 걸릴 확률은 얼마인가?
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문제를 여러 부분으로 나누기. 여러 사건이 발생할 확률을 계산하기 위해서는 문제를 "여러 개의 확률 문제"로 나눠야 한다. 아래의 세 가지 예시를 살펴보자:
- 예시 1:
육면체 주사위에서 5를 두 번 굴릴 확률은 얼마인가?
- 5를 굴릴 확률은 1/6인 것을 이미 알고 있다. 또한 두 번째 사건인 5를 굴릴 확률 역시 동일하게 1/6이다.
- 이는 독립 사건 이다. 처음 주사위를 굴린 것이 두 번째로 주사위를 굴릴 때 영향을 주지 않기 때문이다. 3을 한 번 굴려도 다시 3을 굴릴 수 있다.
- 예시 2
: 카드덱에서 카드 두 장을 무작위로 뽑는다고 가정하자. 두 카드가 모드 클로버 문양일 확률은 얼마인가?
- 첫 번째 카드가 클로버일 가능성은 13/52 또는 1/4이다(카드덱 하나에는 클로버가 13개 있다). 이제 남은 카드는 51장이므로 두 번째 카드가 클로버일 가능성은 12/51이 된다.
- 이는 종속 사건 의 확률을 계산하는 것이다. 첫 번째 사건이 두 번째 사건에 영향을 주기 때문이다. 클로버의 3을 뽑은 뒤에 카드덱에 다시 넣는 것이 아닌 이상 카드덱에 클로버가 한 장 줄어든 상태에서 다시 카드를 뽑게 될 것이다.
- 예시 3
: 병에 파란 구슬이 4개, 빨간 구슬이 5개, 흰 구슬이 11개 들어 있다. 무작위로 병 안에서 구슬 세 개를 꺼냈을 때 첫 번째 구슬이 빨간색, 두 번째 구슬이 파란색, 세 번째 구슬이 흰색일 확률은 얼마인가?
- 첫 번째 구슬이 빨간색일 확률은 5/20 또는 1/4이다. 두 번째 구슬이 파란색일 확률은 4/19이다. 총 가능성의 숫자가 줄어든 이유는 병 안에서 뽑을 수 있는 구슬의 개수가 줄어들었기 때문이다. 물론 뽑을 수 있는 파란 구슬의 개수는 동일하다. 마지막으로 세 번째로 뽑은 구슬이 흰색일 확률은 11/18이다. 이미 구슬 두 개를 꺼냈기 때문이다. 이 문제의 사건 역시 종속 사건 이다.
- 예시 1:
육면체 주사위에서 5를 두 번 굴릴 확률은 얼마인가?
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각 사건의 확률을 곱하기. 그러면 각 사건이 차례대로 발생할 확률이 계산된다. 아래를 참고해보자:
- 예시 1:
육면체 주사위에서 5를 두 번 굴릴 확률은 얼마인가?
두 사건의 확률은 동일하게 1/6이었다.
- 이를 곱하면 1/6 x 1/6 = 1/36이 된다. 결과는 0.027 또는 2.7%로도 쓸 수 있다.
- 예시 2
: 카드덱에서 카드 두 장을 무작위로 뽑는다고 가정하자. 두 카드가 모드 클로버 문양일 확률은 얼마인가?
- 첫 번째 사건이 발생할 확률은 13/52이다. 두 번째 사건이 발생할 확률은 12/51이다. 이를 곱하면 13/52 x 12/51 = 12/204이 된다. 결과는 1/17 또는 5.8%로도 쓸 수 있다.
- 예시 3
: 병에 파란 구슬이 4개, 빨간 구슬이 5개, 흰 구슬이 11개 들어 있다. 무작위로 병 안에서 구슬 세 개를 꺼냈을 때 첫 번째 구슬이 빨간색, 두 번째 구슬이 파란색, 세 번째 구슬이 흰색일 확률은 얼마인가?
- 첫 번째 사건이 발생할 확률은 5/20이다. 두 번째 사건은 4/19이며 세 번째는 11/18의 확률로 발생한다. 이를 다 곱하면 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368이 되며 이는 3.2%이다.
광고 - 예시 1:
육면체 주사위에서 5를 두 번 굴릴 확률은 얼마인가?
두 사건의 확률은 동일하게 1/6이었다.
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비율 확인하기. 예를 들어 한 골프 선수의 배당률이 9:4라고 가정해보자. 이 비율은 이길 확률과 이기지 못할 확률을 비교한 것이다.
- 배당률이 9:4인 경우에는 9가 골프 선수가 이길 확률이고 4가 이기지 못할 확률이다. 따라서 이길 확률이 더 높다고 보는 것이다.
- 스포츠에서는 배당률을 말할 때 숫자 사이에 "대"를 넣는다. 먼저 이길 확률이 앞에 오고 질 확률이 뒤에 가는 것이다. 처음에는 헷갈릴 수도 있지만 이를 알아두는 것은 중요하다. 이 글에서는 확률 계산에 초점을 맞추고 있으므로 비율로는 얘기하지 않을 것이다.
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비율을 확률로 바꾸기. 비율을 확률로 바꾸는 것은 상당히 쉽다. 비율을 두 개의 사건으로 나눈 뒤에 두 숫자를 더해 총 가능성의 수를 얻으면 된다.
- 골프 선수가 이기는 사건은 9, 지는 사건은 4이다. 따라서 총 가능성의 수는 9 + 4 또는 13이다.
- 이제 하나의 사건을 계산하는 것처럼 확률을 구하면 된다.
- 9 ÷ 13 = 0.692 또는 69.2%. 즉, 골프 선수가 이길 확률은 9/13이다.
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두 개의 사건 또는 결과가 동시에 일어나지 않는다는 사실 알기. 두 사건은 항상 따로 일어난다고 생각해야 한다.
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확률이 음수가 될 수 없음을 알기. 결과가 음수값이 나왔다면 검산을 해보자.
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모든 결과를 다 더했을 때 1 또는 100%가 나온다는 사실 알기. 모든 가능성(결과)을 다 합치면 1 또는 100%가 나와야 한다. 만약 다른 숫자가 나왔다면 고려하지 않은 가능성이 있거나 계산 실수를 한 것이다.
- 육면체 주사위를 굴렸을 때 3이 나올 확률은 1/6이다. 하지만 다른 숫자가 나올 확률 역시 동일하게 1/6이다. 따라서 주사위를 굴려서 숫자가 나올 확률은 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, 1 또는 100%이다.
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불가능한 사건의 확률은 0으로 적기. 즉, 특정 사건이 발생할 확률이 없다는 뜻이다.광고
팁
- 주관적인 확률은 특정 사건에 대한 개인의 생각으로 정할 수 있다. 확률에 대한 주관적 해석은 사람에 따라 달라진다.
- 특정 사건에 원하는 확률(숫자)을 부여하는 것은 가능하지만 가능성이 있는 확률이어야 한다. 즉, 확률의 법칙을 모두 따라서 숫자를 정해야 한다는 뜻이다.
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출처
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