Skip to Content

Aanmelden/Registreren

De afgeleide bepalen van de vierkantswortel van x

Bijdragen van David Jia

Als je wiskunde hebt gehad op school, dan heb je ongetwijfeld de machtsregel geleerd om de afgeleide van eenvoudige functies te bepalen. Wanneer de functie echter een vierkantswortel of wortelteken bevat, zoals ${\sqrt {x}}$ , dan lijkt de machtsregel lastig om toe te passen. Met behulp van een eenvoudige substitutie van exponenten wordt het bepalen van de afgeleide van een dergelijke functie heel eenvoudig. Je kunt dan dezelfde substitutie toepassen en de kettingregel gebruiken om de afgeleide te bepalen van veel andere functies met wortels.

Methode 1

Methode 1 van 3:

De machtsregel toepassen

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/64\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-1.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Bekijk nogmaals de machtsregel voor afgeleiden. De eerste regel die je waarschijnlijk geleerd hebt voor het vinden van afgeleiden is de machtsregel. Deze regel zegt dat voor een variabele $x$ tot de macht van een getal $a$ , de afgeleide is, en als volgt berekend wordt: ^{[1]
X
Bron}
- $f(x)=x^{a}$
- $f^{\prime }(x)=ax^{a-1}$
- Bekijk de volgende voorbeeldfuncties en hun afgeleiden:
  - Als $f(x)=x^{2}$ , dan $f^{\prime }(x)=2x$
  - Als $f(x)=3x^{2}$ , dan $f^{\prime }(x)=2*3x=6x$
  - Als $f(x)=x^{3}$ , dan $f^{\prime }(x)=3x^{2}$
  - Als $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$ , dan $f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/69\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/69\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Herschrijf de vierkantswortel als exponent. Om de afgeleide van een vierkantswortelfunctie te vinden, moet je onthouden dat de vierkantswortel van een getal of variabele ook als exponent geschreven kan worden. De term onder het wortelteken wordt geschreven als basis, en wordt verheven tot de macht 1/2. De term wordt ook gebruikt als exponent van de vierkantswortel. Bekijk de volgende voorbeelden door: ^{[2]
X
Bron}
- ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$
- ${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}$
- ${\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2b\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2b\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Pas de machtsregel toe. Als de functie de eenvoudigste vierkantswortel is, $f(x)={\sqrt {x}}$ , pas dan de machtsregel als volgt toe, om de afgeleide te bepalen: ^{[3]
X
Bron}
- $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$ (Schrijf de originele functie op.)
- $f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \$ (Herschrijf de wortel als een exponent.)
  - $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \$ (Bepaal de afgeleide met de machtsregel.)
  - $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \$ (Vereenvoudig de exponent.)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/99\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/99\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Vereenvoudig het resultaat. In dit stadium moet je weten dat een negatieve exponent betekent dat je het omgekeerde neemt van wat het getal zou zijn met de positieve exponent. De exponent van $-{\frac {1}{2}}$ betekent dat je de vierkantswortel van de basis de noemer wordt van een breuk. ^{[4]
X
Bron}
- Gaan we verder met de vierkantswortel van de functie x van hierboven, dan kan de afgeleide als volgt worden vereenvoudigd:
  - $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$
  - $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}$
  - $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 3:

De kettingregel voor vierkantswortelfuncties toepassen

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/48\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/48\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Herzie de kettingregel voor functies. De ketenregel is een regel voor afgeleiden die je gebruikt wanneer de originele functie een functie binnen een andere functie combineert. De kettingregel zegt dat, voor twee functies $f(x)$ en $g(x)$ , de afgeleide van de combinatie van de twee functies als volgt kan worden gevonden: ^{[5]
X
Bron}
- Als $y=f(g(x))$ , dan $y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/58\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/58\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Definieer de functies voor de kettingregel. Het gebruik van de kettingregel vereist dat je eerst de twee functies definieert die samen je gecombineerde functie vormen. Voor vierkantswortelfuncties is de buitenste functie $f(g)$ de vierkantswortelfunctie en de binnenste functie $g(x)$ de functie die onder het wortelteken staat. ^{[6]
X
Bron}
- Bijvoorbeeld: stel dat je de afgeleide van ${\sqrt {3x+2}}$ wilt vinden. Definieer de twee delen dan als volgt:
  - $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$
  - $g(x)=(3x+2)$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/15\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Bepaald de afgeleiden van de twee functies. Om de kettingregel toe te passen op de vierkantswortel van een functie, moet je eerst de afgeleide vinden van de algemene vierkantswortelfunctie: ^{[7]
X
Bron}
- $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$
  - $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}$
  - $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$
- Bepaald dan de afgeleide van de tweede functie:
  - $g(x)=(3x+2)$
  - $g^{\prime }(x)=3$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Combineer de functies in de ketenregel. De kettingregel is $y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$ . Combineer de afgeleiden als volgt: ^{[8]
X
Bron}
- $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3$
- $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3$
- $y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}$
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 3:

De afgeleiden van wortelfuncties snel bepalen

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

1
Bepaal afgeleiden van een wortelfunctie volgens een snelle methode. Wanneer je de afgeleide van de vierkantswortel van een variabele of een functie wilt vinden, kun je een eenvoudige regel toepassen: de afgeleide zal altijd de afgeleide zijn van het getal onder het wortelteken, gedeeld door het dubbele van de oorspronkelijke vierkantswortel. Symbolisch gezien kan dit worden weergegeven als: ^{[9]
X
Bron}
- Als $f(x)={\sqrt {u}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Bepaal de afgeleide van het getal onder het wortelteken. Dit is een getal of functie onder het vierkantswortelteken. Om deze snelle methode toe te passen, zoek je alleen de afgeleide van het getal onder het wortelteken. Bekijk de volgende voorbeelden: ^{[10]
X
Bron}
- In de functie ${\sqrt {5x+2}}$ , is het wortelgetal $(5x+2)$ . De afgeleide is $5$ .
- In de functie ${\sqrt {3x^{4}}}$ , is het wortelgetal $3x^{4}$ . De afgeleide is $12x^{3}$ .
- In de functie ${\sqrt {sin(x)}}$ , is het wortelgetal $\sin(x)$ . De afgeleide is $\cos(x)$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a4\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Schrijf de afgeleide van het wortelgetal als teller van een breuk. De afgeleide van een wortelfunctie zal een breuk bevatten. De teller van deze breuk is de afgeleide van het wortelgetal. Dus zal, in de voorbeeldfuncties hierboven, het eerste deel van de afgeleide als volgt gaan: ^{[11]
X
Bron}
- Als $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{noemer}}}$
- Als $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{noemer}}}$
- Als $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{noemer}}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Schrijf de noemer op als het dubbele van de oorspronkelijke vierkantswortel. Met deze snelle methode is de noemer twee keer de oorspronkelijke vierkantswortelfunctie. In de drie voorbeeldfuncties hierboven zijn de noemers van de afgeleiden dus: ^{[12]
X
Bron}
- Als $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {\text{teller}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
- Als $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {\text{teller}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
- Als $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {\text{teller}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Combineer de teller en noemer om de afgeleide te vinden. Plaats de twee helften van de breuk bij elkaar en het resultaat zal de afgeleide zijn van de oorspronkelijke functie. ^{[13]
X
Bron}
- Als $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
- Als $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
- Als $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , dan $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
Advertentie

Gerelateerde artikelen

Advertentie

Bronnen

Meer weergeven...

Over dit artikel

Bijdragen van:

Bijlesdocent wiskunde

Dit artikel is bijdragen van David Jia . David Jia is bijlesdocent en oprichter van LA Math Tutoring, een bedrijf in Los Angeles, Californië dat privélessen verzorgt. David heeft meer dan tien jaar ervaring als docent en geeft leerlingen van alle leeftijden en uit verschillende leerjaren bijles in verschillende vakken. Hij helpt leerlingen tevens bij het aanmelden voor de universiteit en het voorbereiden op gestandaardiseerde universitaire toelatingsexamens als de SAT, ACT en ISEE. David kreeg na het behalen van de maximale score van 800 voor wiskunde en een score van 690 voor Engels op de SAT de Dickinson-beurs toegekend van de Universiteit van Miami, waar hij afstudeerde met een bachelordiploma in bedrijfskunde. Hij heeft tevens als online docent gewerkt en instructievideo’s gemaakt voor uitgevers van schoolboeken als Larson Texts, Big Ideas Learning en Big Ideas Math. Dit artikel is 24.827 keer bekeken.

Categorieën: Wiskunde

In andere talen

Afdrukken

Deze pagina is 24.827 keer bekeken.

Was dit artikel nuttig?

Advertentie

-

-

5106

.mwimg a.image{display:none}#header_logo{display:none}#cse-search-box{display:none}#cse-search-box-noscript{display:block !important}#cse-search-box-noscript .cse_q{color:#FFF;background-color:#B3CE9C}.wh_search .cse_q{width:88%}#mw-mf-main-menu-button{display:none;visibility:hidden}.header .search{display:none}#search_footer .cse_sa{background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/white_mag.png);background-size:22px}.related_box{display:block;background:#EEE;border:5px solid #FFF;vertical-align:bottom;width:127px;background-size:180px;float:left;height:120px;position:relative}.related_box p{line-height:15px !important;font-size:13px;background-color:rgba(67,95,44,.4);color:#FFF;font-weight:bold;padding:8px;margin:0 !important;position:absolute;bottom:0}#noscript_header_logo{display:table-cell;vertical-align:middle;background-position:50% 77%;background-repeat:no-repeat;background-image:url(/extensions/wikihow/mobile/images/wikihow_logo_230.png);background-size:105px;width:auto;height:51px;padding:0 14px}.articleinfo{display:none}#iorg_free_data{z-index:50;width:100%;position:fixed}#ara_recommendations{display:none}

Design a Mobile Website

View Site in Mobile | Classic

Share by: