Pdf downloaden
Pdf downloaden
De determinant van een matrix wordt veelvuldig gebruikt binnen de wiskunde, lineaire algebra en hogere meetkunde. Buiten de wetenschappelijke wereld gebruiken technici en programmeurs van computer graphics de determinanten van matrices veelvuldig. [1] X Bron Lees dit artikel om de determinant van een 3x3 matrix te bepalen.
Stappen
-
Noteer je 3 x 3 matrix. We beginnen met een 3 x 3 matrix A en proberen de determinant |A| ervan te vinden. We gebruik de volgende algemene notatie voor de matrix (en dit is onze voorbeeldmatrix):
-
Kies één rij of kolom. Dit wordt je referentierij of kolom. Je krijgt hetzelfde antwoord ongeacht welke je kiest. Kies nu gewoon de eerste rij. Later geven we je advies over hoe je de optie moet kiezen die het gemakkelijkst te berekenen is.
- Laten we de eerste rij kiezen van ons voorbeeld matrix A. Omcirkel de 1 5 3. In algemene termen, omcirkel a 11 a 12 a 13 .
-
Streep de rij en kolom van het eerste element weg. Kijk naar rij of kolom die je hebt omcirkeld en selecteer het eerste element. Trek een lijn door de bijbehorende rij en kolom. Als het goed is levert dit nu vier getallen op. We behandelen dit als een 2 x 2 matrix.
- In ons voorbeeld is de referentierij 1 5 3. Het eerste element is in rij 1 en kolom 1. Streep rij 1 en kolom 1 volledig door. Noteer de overgebleven elementen als een 2 x 2 matrix :
-
1 5 3
24 7
46 2
-
Bepaal de determinant van de 2 x 2 matrix. Vergeet niet: de matrix heeft een determinant van ad - bc . [2] X Bron Je weet dit door het trekken van een kruis (X) door de 2 x 2 matrix. Vermenigvuldig de twee getallen verbonden door de \ van de X. Trek daarna het product af van de twee getallen verbonden door de /. Gebruik deze formule voor het bereken van de determinant van de matrix die je zojuist hebt gevonden.
- In ons voorbeeld is de determinant van de matrix = 4 * 2 - 7 * 6 = -34 .
- Deze determinant heet de minor van het element die we in onze oorspronkelijke matrix hebben gekozen. [3] X Bron In dit geval hebben we de minor van a 11 gevonden.
-
Vermenigvuldig het antwoord met het door jou gekozen element. Vergeet niet dat je een element hebt geselecteerd uit je referentierij (of kolom) toen je besloot welke rij en kolom je weg wou strepen. Vermenigvuldig dit element met de determinant die je zojuist hebt berekend voor de 2x2 matrix.
- In ons voorbeeld hebben we a 11 geselecteerd, die een waarde heeft van 1. Vermenigvuldig dit met -34 (de determinant van de 2x2 matrix) om 1*-34 = -34 te krijgen.
-
Bepaal het teken van je antwoord. Nu vermenigvuldig je het antwoord met 1 of met -1 voor het verkrijgen van de cofactor van je gekozen element. Welke je gebruikt is afhankelijk van de positie van het element in de 3x3 matrix. Leer de volgende eenvoudige tabel uit je hoofd om te achterhalen welk element wat veroorzaakt:
- +
- +
- + -
+ - + - Omdat we a 11 hebben gekozen, gemarkeerd met a +, vermenigvuldigen we het getal met +1 (met andere woorden, we doen er niets mee). Het antwoord is nog steeds -34 .
- Een andere manier om het teken te bepalen, is met de formule (-1) i+j , waarbij i en j de rij en kolom van het element vormen. [4] X Bron
- +
- +
-
Herhaal dit proces voor het tweede element in je referentierij of kolom. Ga weer verder met de originele 3x3 matrix, met de rij of kolom die je eerder hebt omcirkeld. Herhaal hetzelfde proces met dit element:
- Kruis de rij en kolom van dat element door. In dit geval selecteer je het element a 12 (met waarde 5). Kruis de eerste rij (1 5 3) en de tweede kolom door .
- Behandel de overgebleven elementen als een 2x2 matrix. In ons voorbeeld is de matrix
- Bepaal de determinant van deze 2x2 matrix. Gebruik de formule ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
- Vermenigvuldig dit met het gekozen element van de 3x3 matrix. -24 * 5 = -120
- Stel vast of je met -1 moet vermenigvuldigen. Gebruik de tekentabel of de formule (-1) ij . We hebben element a 12 gekozen, en dat is een – op de tekentabel. We moeten het teken van ons antwoord wijzigen: (-1)*(-120) = 120 .
-
Herhaal dit voor het derde element. Je moet nu nog een cofactor vinden. Bereken i voor de derde term in je referentierij of kolom. Hier volgt een snelle uitleg van de manier waarop je de cofactor berekend van 13 in ons voorbeeld:
- Kruis rij 1 en kolom 3 door en krijg
- De determinant daarvan is 2*6 - 4*4 = -4.
- Vermenigvuldig dit met het element a 13 : -4 * 3 = -12.
- Element a 13 is een + op de tekentabel, dus is het antwoord -12 .
-
Tel de drie resultaten bij elkaar op. Dit is de uiteindelijke stap. Je hebt cofactoren berekend, een voor elk element in een enkele rij of kolom. Tel deze bij elkaar op en je hebt de determinant van de 3x3 matrix gevonden.
- In ons voorbeeld is de determinant -34 + 120 + -12 = 74 .
Advertentie
-
Kies de referentie met de meeste nullen. Vergeet niet dat je elke rij of kolom als referentie kunt kiezen. Je zult hetzelfde antwoord krijgen, wat je ook kiest. Kies je een rij of kolom met nullen, dan hoef je alleen maar de cofactor te berekenen van de elementen die niet nul zijn. De reden is als volgt:
- Stel dat je rij 2 uitkiest, met de elementen a 21 , a 22 , en a 23 . Om dit probleem op te lossen kijken we naar drie verschillende 2x2 matrices. Stel we noemen deze A 21 , A 22 en A 23 .
- De determinant van de 3x3 matrix is a 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
- Als de termen a 22 en a 23 beide 0 zijn, dan wordt onze formule a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. Nu hoeven we alleen nog maar de cofactor te berekenen van een enkel element.
-
Tel de rijen bij elkaar op om de matrix te vereenvoudigen. Neem je de waarden van een rij en je telt die op bij een andere rij, dan zal de determinant van de matrix niet veranderen. Hetzelfde geldt voor kolommen. Je kunt dit herhaaldelijk doen — of de waarden vermenigvuldigen met een constante voordat je gaat optellen — om zoveel nullen in de matrix te krijgen als mogelijk. Dit kan je veel werk besparen.
- Bijvoorbeeld, stel je hebt een 3x3 matrix:
- Om de 9 in positie a 11 weg te kunnen werken kunnen we de tweede rij vermenigvuldigen met -3 en het resultaat optellen bij de eerste. De nieuwe eerste rij wordt dan [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- De nieuwe matrix is Probeer dezelfde truc te gebruiken voor de kolommen, om ook van a 12 een 0 te maken.
-
Leer de truc voor het oplossen van driehoeksmatrices. In deze special gevallen is de determinant simpelweg het product van de elementen langs de hoofddiagonaal, van a 11 linksboven tot a 33 rechtsonder. We hebben het nog steeds over 3x3 matrices, maar 'driehoekige' matrices hebben speciale patronen van waarden die niet nul zijn: [5] X Bron
- Bovendriehoeksmatrix: Alle elementen die niet nul zijn liggen op of boven de hoofddiagonaal. Alle waarden eronder zijn nul.
- Benedendriehoeksmatrix: Alle elementen die niet nul zijn liggen op of onder de hoofddiagonaal.
- Diagonale matrix: Alle elementen die niet nul zijn liggen op de hoofddiagonaal. (Een subset van de bovenstaande.)
Advertentie
Tips
- Deze methode is bruikbaar voor vierkante matrices van elke grootte. Bijvoorbeeld, als je deze gebruikt voor een 4x4 matrix, dan houd je na het "wegstrepen" een 3x3 matrix over, waarvoor je de determinant zoals hierboven aangegeven kunt berekenen. Wees gewaarschuwd, want met de hand wordt dit bijzonder saai om te doen!
- Als alle elementen van een rij of kolom gelijk zijn aan 0, dan is de determinant van die matrix gelijk aan 0.
Advertentie
Bronnen
- ↑ http://www.decodedscience.com/practical-uses-matrix-mathematics/40494
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html
- ↑ http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/Courses/250/Lectures/250L12.html
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
