Pdf downloaden
Pdf downloaden
Integers zijn gehele getallen zonder breuken of decimalen. Als een wiskundig probleem vereist dat je de som berekent van een aantal gehele getallen van 1 tot een gegeven waarde N, dan is het niet nodig om elke waarde met de hand op te tellen. In plaats daarvan gebruik je, om tijd en moeite te besparen, de vergelijking (N(N + 1)) / 2 , waarbij N staat voor het hoogste aantal in de reeks.
Stappen
-
Definieer het grootste gehele getal als N. Bij het optellen van gehele getallen van 1 tot een gegeven getal N , moet je N zelf definiëren als een positief geheel getal. N is een geheel getal en kan dus geen decimaal getal of breuk zijn. N mag ook niet negatief zijn.
- Als voorbeeld, laten we zeggen dat we alle gehele getallen van 1 tot 100 willen optellen. In dit geval is 100 de waarde voor N, want dit is het laatste getal in onze serie, of, met andere woorden, het grootste getal van de optelling.
-
Vermenigvuldig N(N + 1) en deel door 2. Wanneer je de waarde van N hebt gedefinieerd, pas je deze waarde toe op de vergelijking (N(N + 1))/2. Deze vergelijking vindt de som van alle gehele getallen tussen 1 en N.
- In ons voorbeeld vullen we 100 in, de waarde voor N, in de vergelijking. (N(N + 1))/2 wordt dan (100 (100 + 1))/2.
-
Bereken het antwoord. De uiteindelijke waarde van deze vergelijking is de som van alle getallen tussen 1 en N.
- Laten we dit voorbeeld oplossen.
- (100(100 + 1))/2 =
- (100(101))/2 =
- (10100)/2 =
- 5050. de som van alle gehele getallen van 1 tot 100 is 5050 .
- Laten we dit voorbeeld oplossen.
-
Begrijp hoe de vergelijking (N(N + 1))/2 is afgeleid. Bekijk het voorbeeldprobleem nog een keer. Splits deze reek 1 + 2 + 3 + 4... + 99 + 100 in twee groepen -- van 1 tot 50 en een van 51 tot en met 100. Als je het eerste getal in de eerste groep (1) optelt bij het laatste getal in de tweede groep (100), dan krijg je 101. Hetzelfde antwoord (101) krijg je bij 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97, enzovoort. Als we elk nummer in de eerste groep optellen bij bijbehorende getal in de tweede groep, dan eindigen we met 50 paren van getallen met dezelfde som: 101. Dus, 50 x 101 = 5050, de som voor de gehele getallen van 1 tot en met 100. Merk op dat 50 de helft is van 100, en dat 101 is 100 + 1. In feite geldt deze observatie voor de som van elk positief geheel getal – de optelling van de componenten kunnen worden onderverdeeld in twee groepen, en de getallen in deze groepen kunnen aan elkaar worden toegewezen, op zodanige wijze, dat elk paar dezelfde som heeft. Merk op dat er bij een oneven reeks gehele getallen één getal over blijft -- dit heeft geen invloed op het uiteindelijke antwoord.
- In het algemeen kunnen we zeggen dat voor elk getal N, de som van de getallen van 1 tot N gelijk is aan (N/2)(N + 1). De vereenvoudigde vorm van deze vergelijking is (N(N + 1))/2, de vergelijking van de som van gehele getallen.
Advertentie
Methode 2
Methode 2 van 2:
De som van 1 tot N gebruiken voor het bepalen van de som van twee gehele getallen
Pdf downloaden
-
Beslis of je inclusief of exclusief optelt. Vaak is het niet de bedoeling om de som te bepalen van een bereik van gehele getallen van 1 tot een gegeven getal, maar zal je worden gevraagd om de som te vinden van een reeks gehele getallen tussen twee gehele getallen N 1 en N 2 , waarbij N 1 > N 2 en beide > 1 zijn. Het proces voor het vinden van deze som is relatief eenvoudig, maar voor we hiermee aan de slag gaan, moeten we besluiten of de som inclusief of exclusief is – met andere woorden, of het N 1 en N 2 omvat of alleen de gehele getallen ertussen, omdat de procedure in deze gevallen net iets van elkaar verschilt.
-
Voor het bepalen van de som van de gehele getallen tussen twee getallen N 1 en N 2 bepalen we eerst de som van elke waarde van N afzonderlijk en trekken die af. Over het algemeen hoef je alleen de som van de kleinere N-waarde af te trekken van de som van de grotere N-waarde, om het antwoord te vinden. Echter , zoals hierboven al aangegeven, is het belangrijk om te weten of deze optelling inclusief of exclusief is. Inclusief optellen vereist dat je 1 aftrekt van de waarde van N 2 voor je deze in de vergelijking invult, terwijl exclusief opsommen vereist dat je 1 aftrekt van de waarde voor N 1 .
- Laten we zeggen dat gevraagd is om de inclusieve
som te bepalen van de gehele getallen tussen N 1
= 100 en N 2
= 75. Met andere woorden, we moeten de som vinden van de reeks 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Hiertoe nemen we de som van de gehele getallen van 1 tot N 1
, en trekken die som af van de gehele getallen van 1 tot N 2
- 1 (vergeet niet dat we inclusief optellen, en dus 1 aftrekken van N 2
), en werken dit als volgt uit:
- (N 1 (N 1 + 1))/2 - ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 =
- (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
- 5050 - (74(75))/2 =
- 5050 - 5550/2 =
- 5050 – 2775 = 2275. De inclusieve som van de gehele getallen tussen 75 en 100 is 2275 .
- Laten we nu exclusief
op gaan tellen. De vergelijking blijft hetzelfde, behalve dat we in dit geval 1 aftrekken van N 1
in plaats van N 2
:
- ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 - (N 2 (N 2 + 1))/2 =
- (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
- (99(100))/2 - (75(76))/2 =
- 9900/2 – 5700/2 =
- 4950 – 2850 = 2100. De exclusieve som van de gehele getallen tussen 75 en 100 is 2100 .
- Laten we zeggen dat gevraagd is om de inclusieve
som te bepalen van de gehele getallen tussen N 1
= 100 en N 2
= 75. Met andere woorden, we moeten de som vinden van de reeks 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Hiertoe nemen we de som van de gehele getallen van 1 tot N 1
, en trekken die som af van de gehele getallen van 1 tot N 2
- 1 (vergeet niet dat we inclusief optellen, en dus 1 aftrekken van N 2
), en werken dit als volgt uit:
-
Begrijp waarom dit proces werkt. Beschouw de som van de gehele getallen van 1 tot en met 100 als 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 en de som van de gehele getallen van 1 tot en met 75 als 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. De inclusieve som van de gehele getallen van 75 tot en met 100 betekent 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. De som van 1-75 en 1-100 zijn dezelfde tot een met 75 -– op dat punt aangekomen 'stopt' de som van 1-75 en blijft de som van 1 - 100 doorgaan, met ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Daarom geeft het aftrekken van de som van de gehele getallen van 1-75 van de som van de gehele getallen van 1-100 ons de mogelijkheid om de som van de gehele getallen van 75-100 apart te plaatsen.
- Als we echter inclusief optellen, dan moeten we de som van 1-74 gebruiken in plaats van de som van 1-75, om er zeker van te zijn dat 75 in de uiteindelijk som is opgenomen.
- Evenzo gebruiken we bij het exclusief optellen, de som van 1-99, in plaats van de som van 1-100, om er zeker van te zijn dat 100 niet in de som is opgenomen. We kunnen de som van 1-75 gebruiken, omdat het aftrekken van deze som van de som van 1-99 het getal 75 uitsluit van onze uiteindelijke som.
Advertentie
Tips
- Het resultaat is altijd een geheel getal, omdat n of n+1 even is en daarom gedeeld kan worden door 2.
- In het kort: SOM(1 tot n) = n(n+1)/2
- SOM(a tot b)= SOM(1 tot b) - SOM(1 tot a-1).
Advertentie
Waarschuwingen
- Hoewel generalisaties naar negatieve getallen niet zeer moeilijk zijn, blijft deze uitleg beperkt tot alle positieve gehele getallen N, waarbij N ten minste 1 is.
Advertentie
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
