Pdf downloaden
Pdf downloaden
Verwachtingswaarde is een term uit de statistiek, en een concept gebruikt om te beslissen hoe nuttig of schadelijk een actie zal worden. Om de verwachtingswaarde te berekenen is het noodzakelijk om een goed begrip te krijgen van elke uitkomst in een bepaalde situatie en de bijbehorende waarschijnlijkheid, ofwel de kans dat een bepaalde uitkomst zich voordoet. De onderstaande stappen geven een aantal voorbeeldopgaven om je het concept van de verwachtingswaarde duidelijk te maken.
Stappen
-
Lees de opgave door. Voor je gaat nadenken over alle mogelijke uitkomsten en waarschijnlijkheden, is het belangrijk dat je het probleem goed begrijpt. Bijvoorbeeld een dobbelspel dat €10 kost per spel. Een 6-kantige dobbelsteen wordt eenmaal geworpen en je winst is afhankelijk van het getal dat je gooit. Wordt er een 6 geworpen, dan win je €30; een 5 levert €20 op; een willekeurig ander cijfer levert niets op.
-
Maak een lijst met alle mogelijke uitkomsten. Het helpt om een lijst te maken van alle mogelijke uitkomsten in een gegeven situatie. [1] X Bron In het bovenstaande voorbeeld zijn er 6 mogelijke uitkomsten. Dit zijn: (1) gooi een 1 en je verliest €10, (2) gooi een 2 en je verliest €10, (3) gooi een 3 en je verliest €10, (4) gooi een 4 en je verliest €10, (5) gooi een 5 en win €10, (6) gooi een 6 en win €20.
- Merk op dat elke uitkomst €10 lager is dan hierboven beschreven, omdat je eerst €10 per spel moet betalen, ongeacht het resultaat.
-
Bepaal de waarschijnlijkheid van elke uitkomst. In dit geval is de waarschijnlijkheid van elke 6 uitkomsten hetzelfde. De kans dat een willekeurig cijfer wordt gegooid is 1 op 6. Om dit gemakkelijker te maken om te noteren, schrijven we de breuk (1/6) als decimaal met behulp van een rekenmachine: 0,167. Noteer deze waarschijnlijkheid naast elke uitkomst, zeker als je een probleem wilt oplossen met verschillende kansen voor elke uitkomst.
- Het kan zijn dat je rekenmachine van 1/6 iets maakt als 0,166667. We ronden dit af op 0,167 om het makkelijker te maken ermee te rekenen, zonder in te boeten aan nauwkeurigheid.
- Als je een zeer nauwkeurig resultaat wilt, maak er dan geen decimaal van, maar voer gewoon 1/6 in de formule in en reken dit zo uit op je rekenmachine.
-
Noteer de waarde van elke uitkomst. Vermenigvuldig het aantal € van een resultaat met de kans dat dat resultaat zal voorkomen, om uit te rekenen hoeveel geld dat resultaat bijdraagt aan de verwachtingswaarde. Bijvoorbeeld, het resultaat van het werpen van een 1 is -€10 en de kans op het werpen van een 1 is 0,167. De waarde van het gooien van een 1 is daarom (-10) * (0,167).
- Het is niet nodig om deze uitkomsten nu te berekenen, als je een rekenmachine hebt die meerdere bewerkingen tegelijkertijd kan uitvoeren. Je krijgt een meer accurate uitkomst als je de hele vergelijking invoert.
-
Tel de waarde van elke uitkomst bij elkaar op om de verwachtingswaarde te krijgen van een gebeurtenis. Om verder te gaan met het bovenstaande voorbeeld, de verwachtingswaarde van het dobbelspel is: (-10 *0,167) + (-10 *0,167) + (-10 *0,167) + (-10 *0,167) + (10 *0,167) + (20 *0,167), of - €1,67. Dus kun je verwachten om bij dit spel elke keer €1,67 te verliezen (per spel).
-
Wat zijn de implicaties van het berekenen van de verwachtingswaarde. In het bovenstaande voorbeeld hebben we vastgesteld dat de te verwachten winst (verlies) uit zou komen op - €1,67 per worp. Dit is een onmogelijke uitkomst voor 1 spel; je kunt daarbij €10 verliezen, €10 winnen, of €20 winnen. Maar op de lange termijn is de verwachtingswaarde wel een bruikbare, gemiddelde kans. Als je dit spel maar blijft spelen, dan zal je ongeveer €1,67 per spel gaan verliezen, gemiddeld. Een andere manier om over de verwachtingswaarde na te denken is door het toekennen van bepaalde kosten (of baten) aan het spel; je zou dit spel alleen maar moeten spelen als je het waard vindt, leuk genoeg vindt om er elke keer €1,67 aan uit te geven.
- Hoe vaker een situatie zich herhaald, des te accurater de verwachtingswaarde een weergave is van de daadwerkelijke, gemiddelde uitkomst. Bijvoorbeeld, misschien speel je het spel 5 maal achter elkaar en je verliest elke keer, wat resulteert in een gemiddeld verlies van €10. Maar, als je het spel nog 1000 keer speelt zal het gemiddelde resultaat steeds dichter in de buurt komen van de verwachtingswaarde van -€1,67 per spel. Dit principe heet "de wet van de grote getallen."
Advertentie
Methode 2
Methode 2 van 3:
Het berekenen van de verwacht waarde voor een specifiek resultaat
Pdf downloaden
-
Maak gebruik van deze methode om uit te rekenen wat het gemiddeld aantal munten is dat je moet omkeren voordat zich een bepaald patroon voordoet. Je kunt de methode bijvoorbeeld gebruiken om achter het verwachte aantal munten te komen dat je moet omgooien tot je tweemaal achter elkaar kop hebt. Dit probleem is wat lastiger dan een standaard probleem over verwachtingswaarden, dus lees eerst het bovenstaande deel van dit artikel, mocht je nog niet vertrouwd zijn met het begrip verwachtingswaarde.
-
Stel we zijn op zoek naar een waarde x. Je probeert te bepalen hoeveel munten je gemiddeld moet omgooien om tweemaal kop achter elkaar te krijgen. We maken nu een vergelijking om het antwoord te vinden. Het antwoord waar we naar op zoek zijn noemen we x. We maken stap voor stap de benodigde vergelijking. We hebben op dit moment het volgende:
- x = ___
-
Denk er eens over na wat er gebeurt als de eerste keer omgooien munt geeft. In de helft van de gevallen zal dit het geval zijn. Is dit het geval, dan heb je een keer omgooien "verspeeld", terwijl de kans om tweemaal achter elkaar kop te gooien niet is veranderd. Evenals voor het gooien van de munt is de verwachting dat je een gemiddeld aantal malen moet gooien voor je tweemaal een kop krijgt op rij. Met andere woorden zou je verwachten dat je een x-aantal malen moet gooien, plus degene die je al hebt gedraaid. [2] X Bron In de vorm van een vergelijking::
- x = (0,5)(x+1) + ___
- We gaan de lege ruimte opvullen terwijl we doorgaan met denken over andere situaties.
- Je kunt breuken gebruiken in plaats van decimalen als dat gemakkelijker is, of noodzakelijk.
-
Denk er over na wat er gebeurt als je kop gooit. Er is een kans van 0,5 (of 1/2) dat je een kop gooit de eerste keer. Dit lijkt dichter in de buurt te komen van het doel om tweemaal achter elkaar een kop te gooien, maar hoeveel? De gemakkelijkste manier om daarachter te komen is door te bedenken wat je opties zijn tijdens de tweede worp:
- Als de tweede worp munt is, dan zijn we weer terug bij het begin.
- Als de tweede keer ook een kop is, dan zijn we klaar!
-
Leer hoe je de waarschijnlijkheid kunt berekenen dat twee gebeurtenissen beide zullen voorkomen. We weten inmiddels dat je 50% kans hebt dat je een kop gooit, maar wat is de kans dat je tweemaal achter elkaar een kop gooit? Om deze kans te berekenen, vermenigvuldig je de kans van beide met elkaar. In dit geval is dit 0,5 x 0,5 = 0,25. Dit is ook natuurlijk de kans dat je eerst kop en daarna munt gooit, omdat ze beide een kans hebben van 0.5 om voor te komen: 0,5 x 0,5 = 0,25.
-
Tel het resultaat op voor "kop, daarna munt" bij de vergelijking. Nu we de kans hebben berekend dat deze gebeurtenis zich zal voordoen, kunnen we verder gaan met het uitbreiden van de vergelijking. Er bestaat een 0,25 (of 1/4) kans dat we twee keer gooien verspillen zonder een stap verder te komen. Maar nu hebben we nog steeds een x-aantal meer worpen nodig gemiddeld om het resultaat te krijgen dat we willen behalen, plus de 2 die we al hebben gegooid. In de vorm van een vergelijking wordt dit (0,25)(x+2), wat we nu kunnen toevoegen aan de vergelijking:
- x = (0.5)(x+1) + (0.25)(x+2) + ___
-
Voeg het resultaat voor "kop, kop" toe aan de vergelijking. Als je kop, kop gooit met de eerste twee keer gooien van de munten, dan ben je klaar. Je hebt het resultaat verkregen in exact 2 worpen. Zoals we al eerder hadden vastgesteld is er een kans van 0,25 dat dit gebeurt, dus is de vergelijking hiervoor (0,25)(2). Onze vergelijking is nu volledig:
- x = (0,5)(x+1) + (0,25)(x+2) + (0,25)(2)
- Als je niet zeker weet of je elke mogelijke situatie wel hebt doordacht, dan is er een makkelijke manier om te controleren of de vergelijking compleet is. Het eerste getal in elke deel van de vergelijking is een representatie van de kans dat een gebeurtenis zich zal voordoen. Dit zal bij elkaar opgeteld altijd 1 zijn. Hier geldt dat 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, dus we weten dat we elke situatie hebben meegenomen.
-
Vereenvoudig de vergelijking. Laten we de vergelijking nog wat eenvoudiger maken door te vermenigvuldigen. Onthoud dat, als je iets tussen haakjes ziet staan op de volgende manier: (0,5)(x+1), dat je dan 0,5 vermenigvuldigt met elke term die tussen de tweede set haakjes staat. Hierdoor krijg je het volgende: 0,5x + (0.5)(1), of 0,5x + 0,5. Laten we dit doen voor elke term in de vergelijking, om deze termen vervolgens te combineren zodat het allemaal wat eenvoudiger oogt:
- x = 0,5x + (0,5)(1) + 0,25x + (0,25)(2) + (0,25)(2)
- x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
- x = 0,75x + 1,5
-
Los op voor x. Evenals in elke vergelijking zal je de x aan een kant van de vergelijking moeten isoleren om deze uit te kunnen rekenen. Onthoud dat x hetzelfde betekent als "het gemiddeld aantal munten dat je moet gooien om tweemaal kop achter elkaar te krijgen." Wanneer we x hebben berekend, hebben we ook ons antwoord gevonden.
- x = 0,75x + 1,5
- x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
- 0,25x = 1,5
- (0,25x)/(0,25) = (1,5)/(0,25)
- x = 6
- Gemiddeld zal je een munt 6 keer moeten gooien voor je tweemaal kop gooit.
Advertentie
-
Wat is een verwachtingswaarde nu eigenlijk. De verwachtingswaarde is niet noodzakelijk het resultaat dat het meest voor de hand liggend is of logisch. Soms kan een verwachtingswaarde zelfs een onmogelijke waarde zijn in een gegeven situatie. De verwachtingswaarde kan bijvoorbeeld +€5 voor een spel met een prijs van niet meer dan €10. Wat de verwachtingswaarde aangeeft is hoeveel waarde een bepaalde gebeurtenis heeft. Als een spel een verwachtingswaarde heeft van +€5, dan kun je het spelen als je vindt dat dit de tijd en het geld waard is dat je per spel kunt krijgen. Als een ander spel een verwachtingswaarde heeft van -€20, dan speel je het alleen als je vindt dat elk spel de €20 dubbel en dwars waard is.
-
Het concept begrijpen van onafhankelijke gebeurtenissen. In het dagelijks leven denken velen onder ons dat we een geluksdag hebben als er een paar goede dingen gebeuren, en we verwachten dat de rest van de dag ook zo zal verlopen. Op dezelfde manier kunnen we denken dat we voor een dan wel genoeg ongeluk hebben gehad en dat er nu toch echt wat leuks moet gebeuren. Wiskundig gezien gaan de dingen niet op die manier. Als je een gewone munt gooit, dan is er exact evenveel kans dat je kop gooit of een munt. Het maakt niet uit hoe vaak je al gegooid hebt; de volgende keer dat je gooit werkt het nog steeds op dezelfde manier. Het gooien van de munt is "onafhankelijk" van de andere worpen, het wordt er niet door beïnvloed.
- Het geloof dat je geluk kunt hebben of juist ongeluk bij het gooien van munten (of een willekeurig ander kansspel), of dat al je ongeluk nu wel op is en het geluk aan jouw kant komt te staan, heet ook wel gokkersbedrog (of the gambler's fallacy). Dit heeft te maken met de neiging van mensen om riskante of domme beslissingen te nemen als ze het gevoel hebben dat het geluk aan hun kant komt te staan, of dat ze "lucky streak" or if they feel their "luck is about to turn."
-
De wet van de grote getallen goed begrijpen. Je zou misschien kunnen denken dat de verwachtingswaarde niet echt handig is, omdat het je slechts zelden verteld wat het daadwerkelijk resultaat is van een situatie. Als je hebt berekend dat de verwachtingswaarde van een roulette-spel -€1 is, en je speelt 3 maal het spel, dan zal je meestal uitkomen op -€10, of +€60, of een ander resultaat. De "wet van de grote getallen" helpt bij het uitleggen waarom de verwachtingswaarde bruikbaarder is dan je zou denken: hoe vaker je speelt, des te dichter bij de verwachtingswaarde het gemiddelde resultaat zal uitkomen. Wanneer je kijkt naar de grote getallen van gebeurtenissen, dan is de kans groot dat het uiteindelijke resultaat dicht in de buurt ligt van de verwachtingswaarde.Advertentie
Tips
- Voor die situaties waarbij er meerdere uitkomsten mogelijk zijn, kun je een spreadsheet maken in de computer om de verwachtingswaarde te berekenen middels de uitkomsten en hun waarschijnlijkheden.
- De € berekeningen hierboven werken ook in andere valuta.
Advertentie
Benodigdheden
- Potlood
- Papier
- Rekenmachine
Bronnen
Over dit artikel
Deze pagina is 8.338 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
