Pdf downloaden
Pdf downloaden
Een parabool is een tweedimensionale, spiegel-symmetrische curve die de vorm heeft van een boog. Elk punt op de parabool staat op gelijke afstand van een vast punt (de focus) en een vaste rechte lijn (de directrix). Om een parabool in kaart te brengen, moet je de top van de parabool vinden, evenals enkele punten aan weerszijden ervan, om het pad dat de punten afleggen te markeren.
Stappen
-
Begrijp de onderdelen van een parabool. Het is mogelijk dat je bepaalde informatie krijgt voordat je begint, en als je de terminologie kent, zal je onnodige stappen kunnen vermijden. Hier zijn de onderdelen van de parabool die je moet kennen: [1] X Bron
- De focus . Een vast punt aan de binnenkant van de parabool dat gebruikt wordt voor de formele definitie van de curve.
- De directrix . Een vaste, rechte lijn. De parabool is de locus of reeks punten waarin een bepaald punt zich op gelijke afstand van de focus en de directrix bevindt. (Zie bovenstaande grafiek.)
- De symmetrieas . Dit is een rechte lijn die door het keerpunt ('vertex') van de parabool loopt en op gelijke afstand ligt van overeenkomstige punten op de twee armen van de parabool.
- De vertex . Het punt waar de symmetrieas de parabool kruist, wordt de vertex van de parabool genoemd. Als de parabool naar boven of naar rechts opent, is de vertex een minimum van de kromme. Als de parabool naar beneden of naar links opent, is de vertex een maximum .
-
Ken de vergelijking van een parabool. De algemene vergelijking van een parabool is y = ax 2 + bx + c . Het kan ook geschreven worden in de nog algemenere vorm y = a(x – h)² + k , maar we zullen ons hier concentreren op de eerste vorm van de vergelijking.
- Als de (richtings)coëfficiënt a in de vergelijking positief is, opent de parabool naar boven (in een verticaal georiënteerde parabool), als de hoofdletter 'U' en is de vertex een minimum. Als de a negatief is, opent de parabool naar beneden en heeft de vertex een maximum. Als je moeite hebt om dit te onthouden, denk er dan zo over na: een vergelijking met een positieve a ziet eruit als een glimlach; een vergelijking met een negatieve a ziet eruit als een frons.
- Laten we zeggen dat je de volgende vergelijking hebt: y = 2x 2 -1 . Deze parabool heeft de vorm van een 'U' omdat de a (2) positief is.
- Als de vergelijking een y-term in plaats van een x-term in de tweede macht heeft, dan zal de parabool horizontaal georiënteerd zijn en zijwaarts geopend worden (naar rechts of links), zoals een 'C' of een achterwaartse 'C'. Bijvoorbeeld: de parabool y 2 = x + 3 opent naar rechts, als een 'C'.
-
Zoek de symmetrieas. Onthoud dat de symmetrieas de rechte lijn is die door het keerpunt (vertex) van de parabool loopt. In het geval van een verticale parabool (dal of berg) is de as dezelfde als de x-coördinaat van de vertex, dat is de x-waarde van het punt waar de symmetrieas de parabool kruist. Gebruik deze formule om de symmetrieas te vinden: x = -b/2a . [2] X Bron
- In het bovenstaande voorbeeld (y = 2x² -1), is a = 2 en b = 0'.' Nu kun je de symmetrieas berekenen door de getallen in te vullen: x = -0 / (2)(2) = 0'.'
- In dit geval is de symmetrieas x = 0 (dat is de y-as van het coördinatenstelsel).
-
Zoek de vertex. Als je de symmetrieas eenmaal kent, kun je die waarde inpluggen voor x om de y-coördinaat te krijgen. Deze twee coördinaten geven je de vertex van de parabool. In dit geval substitueer je 0 in 2x 2 -1 om de y-coördinaat te krijgen. y = 2 x 0 2 -1 = 0 -1 = -1. De vertex is (0,-1) en de parabool snijdt de y-as in -1. [3] X Bron
- De coördinaten van de vertex worden ook wel (h, k) genoemd. In dit geval is h gelijk aan 0 en k gelijk aan -1. De vergelijking van de parabool kan geschreven worden in de vorm y = a(x - h)² + k . In deze vorm is de vertex het punt (h, k) en hoef je geen berekeningen uit te voeren om de vertex te vinden anders dan de juiste interpretatie van de grafiek.
-
Maak een tabel met waarden voor x. Maak een tabel met bepaalde waarden voor x in de eerste kolom. Deze tabel geeft je de coördinaten die je nodig hebt om de grafiek van de vergelijking te tekenen.
- De middelste waarde van x moet de symmetrieas zijn in het geval van een 'verticale' parabool.
- Je moet ten minste twee waarden boven en onder de middelste waarde voor x in de tabel opnemen omwille van de symmetrie.
- In dit voorbeeld plaats je de waarde van de symmetrieas (x = 0) in het midden van de tabel.
-
Bereken de waarden van de overeenkomstige y-coördinaten. Substitueer elke waarde van x in de vergelijking van de parabool en bereken de overeenkomstige waarden van y. Plaats deze berekende waarden van y in de tabel. In dit voorbeeld worden de waarden van y als volgt berekend:
- Als x = -2, dan is y : y = (2) (-2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Als x = -1, dan is y : y = (2) (-1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Als x = 0, dan is y : y = (2) (0) 2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Als x = 1, dan is y : y = (2) (1) 2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Als x = 2, dan is y : y = (2) (2) 2 - 1 = 8 - 1 = 7
-
Vul de berekende waarden van y in de tabel in. Nu heb je ten minste vijf coördinatenparen voor de parabool gevonden, en ben je bijna klaar om de parabool te tekenen. Op basis van je werk heb je nu de volgende punten: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Onthoud dat de parabool (symmetrisch) wordt weergegeven ten opzichte van de symmetrieas. Dit betekent dat de y-coördinaten van de punten direct tegenover elkaar ten opzichte van de symmetrieas, aan elkaar gelijk zullen zijn. De y-coördinaten behorend bij de x-coördinaten -2 en +2 zijn beide 7; de y-coördinaten behorend bij de x-coördinaten -1 en +1 zijn allebei 1, enzovoort.
-
Teken de tabelpunten in het coördinatenstelsel. Elke rij van de tabel vormt een coördinatenpaar (x, y) op het coördinatenstelsel. Teken alle punten met behulp van de coördinaten in de tabel.
- De x-as is horizontaal, de y-as is verticaal.
- De positieve getallen op de y-as staan boven en de negatieve getallen onder het punt (0, 0).
- De positieve getallen op de x-as staan rechts en de negatieve getallen links van het punt (0, 0).
-
Verbind de punten met elkaar. Om de parabool in een grafiek weer te geven, verbind je de punten die in de vorige stap zijn getekend. De grafiek in dit voorbeeld ziet eruit als een U. Verbind de punten met behulp van licht gebogen (in plaats van rechte) lijnen. Hierdoor ontstaat het meest nauwkeurige beeld van de parabool (die over zijn gehele lengte licht gebogen is). Aan beide uiteinden van de parabool kunt je pijlen tekenen die van de vertex af wijzen, als je dat wilt. Dit geeft aan dat de parabool oneindig doorloopt. [4] X BronAdvertentie
Als je een snellere manier wilt om een parabool te verschuiven zonder dat je de vertex ervan opnieuw moet zoeken en verschillende punten op de parabool opnieuw moet aangeven, dan is het zaak dat je de vergelijking van een parabool goed begrijpt en leert om deze verticaal of horizontaal te verschuiven. Begin met de basisparabool: y = x 2 . Deze heeft een vertex in het punt (0, 0) en is een dalparabool. Enkele punten van de grafiek zijn: (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) en (2, 4). Je kunt een parabool verschuiven op basis van de vergelijking. [5] X Bron
-
Verschuif een parabool naar boven. Beschouw de vergelijking y = x 2 +1 . Dit verschuift de oorspronkelijke parabool naar boven met één eenheid. De vertex is nu (0, 1) in plaats van (0, 0). De vorm ervan is niet gewijzigd, maar elke y-coördinaat zal één eenheid naar boven worden verschoven. Dus in plaats van (-1, 1) en (1, 1), tekenen we de punten (-1, 2) en (1, 2).
-
Verplaats een parabool naar beneden. Neem de vergelijking y = x 2 -1 . We verschuiven de oorspronkelijke parabool naar beneden met één eenheid, zodat de vertex nu (0, -1) is in plaats van (0, 0,). Het zal nog steeds dezelfde vorm hebben als de originele parabool, maar elke y-coördinaat zal één eenheid naar beneden zijn verschoven. Dus, in plaats van (-1, 1) en (1, 1), bijvoorbeeld, tekenen we (-1, 0) en (1, 0).
-
Verplaats een parabool naar links. Beschouw de vergelijking y = (x + 1) 2 . Hierdoor verschuift de oorspronkelijke parabool één eenheid naar links. De vertex is nu (-1, 0) in plaats van (0, 0). De vorm van de oorspronkelijke parabool blijft gelijk, maar elke x-coördinaat wordt één naar links verschoven. In plaats van (-1, 1) en (1, 1), bijvoorbeeld, tekenen we (-2, 1) en (0, 1).
-
Verplaats een parabool naar rechts. Beschouw de vergelijking y = (x - 1) 2 . Dit is de oorspronkelijke parabool die één eenheid naar rechts is verschoven. De vertex is nu (1, 0) in plaats van (0, 0). De vorm van de oorspronkelijke parabool blijft gelijk, maar elke x-coördinaat wordt één plaats naar rechts verschoven. In plaats van (-1, 1) en (1, 1), bijvoorbeeld, tekenen we (0, 1) en (2, 1).Advertentie
Bronnen
- ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/parabola.html
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- ↑ http://www.sparknotes.com/math/algebra1/quadratics/section1.rhtml
- http://www.mathsisfun.com/definitions/parabola.html
- http://www.sparknotes.com/math/algebra1/quadratics/section1.rhtml
- http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm
- http://www.mathsisfun.com/geometry/parabola.html
Over dit artikel
Deze pagina is 4.857 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
