Het onzekerheidsprincipe voor een kwantum harmonische oscillator verifiëren

De kwantum harmonische oscillator is de kwantum-analogie van de klassieke eenvoudige harmonische oscillator. Met behulp van de oplossing voor de grondtoestand (ground state solution), nemen we de positie en verwachtte impulswaarden, en controleren we er het onzekerheidsprincipe mee.

Deel 1

Deel 1 van 3:

Een oplossing voor de grondtoestand

Pdf downloaden

1
Denk aan de Schrödingervergelijking. Deze partiële differentiaalvergelijking is de fundamentele bewegingsvergelijking binnen de kwantummechanica, die beschrijft hoe een kwantumtoestand $\psi$ evolueert in de tijd. ${\hat {H}}$ duidt de Hamiltonian aan, de energieoperator welke de totale energie van een systeem beschrijft.
- $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi$
2
Schrijf de Hamiltonian uit voor de harmonische oscillator. Hoewel de positie- en impulsvariabelen zijn vervangen door hun overeenkomstige operatoren, lijkt de uitdrukking nog steeds op die van de kinetische en potentiële energie van een klassieke harmonische oscillator. Omdat we in de fysieke ruimte werken, wordt de operatorpositie gegeven door ${\hat {x}}=x,$ terwijl de impulsoperator wordt gegeven door ${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}.$
- ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{{2}}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{{2}}{\hat {x}}^{{2}}$
3
Schrijf de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking uit. We zien dat de Hamiltonian niet expliciet afhankelijk is van tijd, zodat de oplossingen van de vergelijking onveranderlijke toestanden zullen zijn. De tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking is een vergelijking van de eigenwaarde (eigenvalue), dus betekent het oplossen ervan dat we de energie-eigenwaarden en hun overeenkomstige eigenfuncties (eigenfunctions) -- de golffuncties -- vinden.
- $-{\frac {\hbar ^{{2}}}{2m}}{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}}\psi }{{\mathrm {d}}x^{{2}}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{{2}}x^{{2}}\psi =E\psi$
4
Los de differentiaalvergelijking op. Deze differentiaalvergelijking heeft variabele coëfficiënten en kan niet gemakkelijk worden opgelost met eenvoudige methoden. Echter, na normalisatie kan de oplossing voor de grondtoestand als volgt worden geschreven. Vergeet niet dat deze oplossing alleen een eendimensionale oscillator beschrijft.
- $\psi (x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/4}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{{2}}\right)$
- Dit is een Gaussiaan, gecentreerd op $x=0.$ We maken gebruik van het feit dat deze functie even is, voor het vereenvoudigen van onze berekeningen in het volgende deel.
Advertentie

Deel 2

Deel 2 van 3:

Verwachtingswaarden

Pdf downloaden

1
Denk aan de formule voor onzekerheid. De onzekerheid van een observeerbare waarde zoals een positie, is wiskundig gezien gelijk aan de standaarddeviatie. Dat wil zeggen: we bepalen de gemiddelde waarde, trekken elke waarde af van het gemiddelde, kwadrateren die waarden en berekenen het gemiddelde, en trekken vervolgens de vierkantswortel van het resultaat.
- $\sigma _{{x}}={\sqrt {\langle x^{{2}}\rangle -\langle x\rangle ^{{2}}}}$
2
Bepaal $\langle x\rangle$ . Omdat de functie even is, kunnen we afleiden uit de symmetrie dat $\langle x\rangle =0.$
- Als je de integraal uitschrijft die je moest evalueren, dan zie je dat de integrand een oneven functie is, want een oneven functie keer een even functie is oneven.
  - $\langle x\rangle =\int _{{-\infty }}^{{\infty }}x|\psi (x)|^{{2}}{\mathrm {d}}x$
- Een eigenschap van een oneven functie is dat voor elke positieve waarde van de functie, er een dubbelganger is - een bijbehorende negatieve waarde - die de functie wegwerkt. Aangezien we alle waarden van $x$ evalueren, weten we dat de integraal 0 wordt, zonder de berekeningen te hoeven doen.
3
Bereken $\langle x^{{2}}\rangle$ . Omdat onze oplossing is geschreven als een continue golffunctie, hanteren wij de onderstaande integraal. De integraal beschrijft de verwachtingswaarde voor $x^{{2}}$ , geïntegreerd over alle ruimte.
- $\langle x^{{2}}\rangle =\int _{{-\infty }}^{{\infty }}x^{{2}}|\psi (x)|^{{2}}{\mathrm {d}}x$
4
Substitueer de golffunctie in de integraal en vereenvoudig. We weten dat de golffunctie even is. Het kwadraat van een even functie is ook even, zodat we een factor 2 buiten haakjes kunnen brengen en de ondergrens kunnen verlagen naar 0.
- $\langle x^{{2}}\rangle =2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/2}}\int _{{0}}^{{\infty }}x^{{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{{2}}\right){\mathrm {d}}x$
5
Evalueer. Als eerste wordt $\alpha ={\frac {m\omega }{\hbar }}.$ Vervolgens integreren we niet per onderdeel, maar gebruiken we de gamma-functie.
- ${\begin{aligned}\langle x^{{2}}\rangle &=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/2}}\int _{{0}}^{{\infty }}x^{{2}}e^{{-\alpha x^{{2}}}}{\mathrm {d}}x,\ \ u=\alpha x^{{2}}\\&=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/2}}\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac {u}{\alpha }}e^{{-u}}{\mathrm {d}}u{\frac {1}{2\alpha x}},\ \ x={\sqrt {{\frac {u}{\alpha }}}}\\&=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/2}}\alpha ^{{-3/2}}\int _{{0}}^{{\infty }}u^{{1/2}}e^{{-u}}{\mathrm {d}}u\\&=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/2}}\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{{-3/2}}\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right),\ \ \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2}}\\&={\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}}}{\frac {{\sqrt {\pi }}}{2}}\\&={\frac {\hbar }{2m\omega }}\end{aligned}}$
6
Arriveer bij de onzekerheid in positie. Met behulp van de relatie die we hebben uitgewerkt in stap 1 van dit deel, volgt $\sigma _{{x}}$ onmiddellijk uit onze resultaten.
- $\sigma _{{x}}={\sqrt {{\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$
7

Bepaal $\langle p\rangle$ . Net als met de gemiddelde positie, kan een symmetrie-argument worden gemaakt, welke leidt tot $\langle p\rangle =0.$ .
8
Bereken $\langle p^{{2}}\rangle$ . In plaats van het direct toepassen van de golffunctie voor het berekenen van deze verwachtingswaarde, kunnen we de energie van de golffunctie gebruiken om de benodigde berekeningen te vereenvoudigen. De energie van de grondtoestand van de harmonische oscillator is hieronder gegeven.
- $E_{{0}}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$
9
Relateer de energie van de grondtoestand met de kinetische en potentiële energie van het deeltje. Te verwachten valt dat deze relatie niet alleen geldig is voor elke positie en impuls, maar ook voor hun verwachtingswaarden.
- ${\frac {1}{2}}\hbar \omega ={\frac {\langle p^{{2}}\rangle }{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{{2}}\langle x^{{2}}\rangle$
10
Los op voor $\langle p^{{2}}\rangle$ .
- $m\hbar \omega =\langle p^{{2}}\rangle +m^{{2}}\omega ^{{2}}{\frac {\hbar }{2m\omega }}$
- $\langle p^{{2}}\rangle ={\frac {m\hbar \omega }{2}}$
11
Arriveer bij de onzekerheid in de dynamiek.
- $\sigma _{{p}}={\sqrt {{\frac {m\hbar \omega }{2}}}}$
Advertentie

Deel 3

Deel 3 van 3:

De onzekerheidsrelatie verifiëren

Pdf downloaden

1
Beschouw Heisenbergs onzekerheidsprincipe voor positie en momentum. De onzekerheidsrelatie is een fundamentele grens aan de precisie waarmee we bepaalde paren observeerbare gegevens, zoals positie en impuls, kunnen meten. Bekijk de tips voor meer achtergrond over het onzekerheidsprincipe.
- $\sigma _{{x}}\sigma _{{p}}\geq {\frac {\hbar }{2}}$
2
Substitueer de onzekerheden van de kwantum harmonische oscillator.
- ${\begin{aligned}{\sqrt {{\frac {\hbar }{2m\omega }}}}{\sqrt {{\frac {m\hbar \omega }{2}}}}&\geq {\frac {\hbar }{2}}\\{\frac {\hbar }{2}}&\geq {\frac {\hbar }{2}}\end{aligned}}$
- Onze resultaten zijn in overeenstemming met het onzekerheidsprincipe. In feite bereikt deze relatie alleen gelijkheid in de grondtoestand – gaan we uit van een hogere energietoestand, dan neemt de onzekerheid van positie en momentum alleen maar toe.
Advertentie

Tips

Er zijn twee manieren waarmee we de vraag waarom de onzekerheidsrelatie bestaat kunnen toelichten.
- Vanuit de golfmechanica zijn de uitingen van de golffunctie in termen van positie en dynamiek, Fouriertransformaties van elkaar. Een eigenschap van de Fouriertransformatie is dat een functie en de Fouriertransformatie ervan niet beide eenduidig worden gelokaliseerd.
- Een eenvoudig voorbeeld is de Fouriertransformatie van de rechthoekige functie. Als de breedte van de functie afneemt (meer gelokaliseerd wordt), dan wordt de Fouriertransformatie (een sinuscurve) platter en platter. Een extreem voorbeeld is de Dirac-deltafunctie, waar de breedte oneindig klein is (perfecte lokaliteit). De Fouriertransformatie is een constante (oneindige onzekerheid).
- De andere manier om ernaar te kijken is vanuit de matrixmechanica. De positie- en impuls-operatoren hebben een commutatierelatie die niet nul is. Als twee operatoren commuteren, dan zou hun commutatierelatie nul zijn, zoals aangegeven door de haakjes hieronder.
  - $[{\hat {x}},{\hat {p}}]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar$
- Het blijkt dat deze commutatierelatie een fundamentele onzekerheidsprincipe moet impliceren. Wanneer een operator ${\hat {x}}$ handelt naar een toestand, dan stort de golffunctie in naar de eigentoestand van ${\hat {x}}$ met een unieke meetwaarde (de eigenwaarde). Echter, de eigentoestand van ${\hat {x}}$ hoeft geen eigentoestand te zijn van een andere operator ${\hat {p}}.$ Is dat het geval, dan is er geen unieke meetwaarde voor het observeerbare gegeven $p,$ wat betekent dat de toestand alleen geschreven kan worden als een lineaire combinatie van op impuls gebaseerde eigentoestanden. (Wanneer twee operatoren commuteren, dan hebben ze een simultane verzameling eigentoestanden met elkaar gemeen (dit heet ook wel degeneracy ) en kunnen de twee observeerbare gegevens gelijktijdig gemeten worden tot een willekeurige precisie. Dit is altijd het geval bij klassieke mechanica.)
- Dit is de bron van het onzekerheidsprincipe. Het is niet te wijten aan de beperkingen van onze instrumenten dat we de positie en impuls van een deeltje niet tot een willekeurige precisie kunnen meten. Het is eerder een fundamentele eigenschap van de deeltjes zelf.

Advertentie

Aanmelden

Het onzekerheidsprincipe voor een kwantum harmonische oscillator verifiëren

Stappen

Een oplossing voor de grondtoestand

Verwachtingswaarden

De onzekerheidsrelatie verifiëren

Tips

Gerelateerde artikelen

Over dit artikel

Was dit artikel nuttig?

Gerelateerde artikelen

Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!

Delen

Uitgelichte artikelen

Trending artikelen

Uitgelichte artikelen

Uitgelichte artikelen

Uitgelichte artikelen

Uitgelichte artikelen

Explore Categories