Pdf downloaden
Pdf downloaden
Kwadraatafsplitsen is een handige techniek om een kwadratische vergelijking anders te schrijven waardoor het makkelijker wordt om deze te overzien en op te lossen. Je kunt een kwadraat herschrijven door deze opnieuw in te delen in beter hanteerbare stukken.
Stappen
-
Schrijf de vergelijking op. Laten we aannemen dat je de volgende vergelijking wilt oplossen: 3x 2 - 4x + 5.
-
Haal de coëfficiënt uit de vergelijking. Plaats de 3 buiten haakjes en deel elke term, behalve de constante, door 3. 3x 2 gedeeld door 3 is x 2 en 4x gedeeld door 3 is 4/3x. Dus ziet de nieuwe vergelijking er als volgt uit: 3(x 2 - 4/3x) + 5. De 5 staat buiten de haakjes omdat je deze niet hebt gedeeld door 3.
-
Deel de tweede term door 2 en kwadrateer. De tweede term, ook wel de b -term in de vergelijking, is 4/3. Halveer de tweede term. 4/3 ÷ 2, of 4/3 x 1/2, is gelijk aan 2/3. Kwadrateer deze term door zowel de teller als de noemer met zichzelf te vermenigvuldigen. (2/3) 2 = 4/9. Schrijf deze term op. [1] X Bron
-
Optellen en aftrekken. Je hebt deze "extra" term nodig om de eerste drie termen van de vergelijking om te zetten in een kwadraat. Maar onthoud goed dat je deze term hebt toegevoegd door het ook van de vergelijking af te trekken. Natuurlijk maakt het weinig uit om de termen eenvoudigweg weer met elkaar te combineren – dan keer je terug waar je begonnen bent. De nieuwe vergelijking zou er nu zo uit moeten zien: 3( x 2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5. [2] X Bron
-
Haal de term die je hebt afgetrokken buiten haakjes. Omdat je al werkt met de 3 buiten de haakjes, is het niet mogelijk om -4/9 zomaar buiten haakjes te zetten. Eerst moet je het met 3 vermenigvuldigen. -4/9 x 3 = -12/9, of -4/3. Heb je te maken met een vergelijking waar alleen een coëfficiënt 1 van x 2 in zit, dan mag je deze stap overslaan.
-
Zet de termen tussen haakjes om in een kwadraat. Je vergelijking ziet er nu zo uit: 3(x 2 -4/3x +4/9). Je hebt van voor naar achteren gewerkt om 4/9 te krijgen, wat eigenlijk een andere manier is om de factor te vinden die het kwadraat afmaakt. Dus je kunt deze termen herschrijven als: 3(x - 2/3) 2 . Je kunt dit controleren door te vermenigvuldigen waarbij je zult zien dat je weer dezelfde originele vergelijking als antwoord krijgt. [3] X Bron
- 3(x - 2/3) 2 =
- 3(x - 2/3)(x -2/3) =
- 3[(x 2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3(x 2 - 4/3x + 4/9)
-
Voeg de constanten samen. Je hebt nu nog twee constanten, 3(x - 2/3) 2 - 4/3 + 5. Het enige dat je nu nog hoeft te doen is -4/3 optellen bij 5 en dit geeft 11/3 als antwoord. Dit doe je door ze dezelfde noemer te geven: -4/3 en 15/3, en vervolgens beide tellers op te tellen om 11 te krijgen, waarbij de noemer gelijk blijft aan 3.
- -4/3 + 15/3 = 11/3.
-
Schrijf de vergelijking in een andere vorm. Nu ben je klaar. De uiteindelijke vergelijking is 3(x - 2/3) 2 + 11/3. Je kunt de 3 wegwerken door de vergelijking te delen door 3 waarna je de volgende vergelijking overhoudt:(x - 2/3) 2 + 11/9. Je hebt nu met succes de vergelijking in een andere vorm genoteerd: a( x - h ) 2 + k, waarbij k de constante is.Advertentie
-
Noteer de opgave. Laten we aannemen dat je de volgende vergelijking wilt oplossen: 3x 2 + 4x + 5 = 6
-
Tel de constanten bij elkaar op en plaats ze aan de linkerkant van het is-gelijk teken. Constante termen zijn die termen zonder een variabele. In dit geval heb je 5 aan de linkerkant en 6 aan de rechterkant. Je wilt 6 naar links verplaatsen, dus trek je 6 af van beide kanten van de vergelijking. Daardoor houd je 0 over aan de rechterkant (6-6) en -1 aan de linkerkant (5-6). De vergelijking ziet er nu zo uit: 3x 2 + 4x - 1 = 0. [4] X Bron
-
Breng de coëfficiënt van het kwadraat buiten haakjes. In dit geval is 3 de coëfficiënt van x 2 . Om 3 buiten haakjes te zetten haal je de 3 weg, plaats de overblijvende term tussen haakjes en deel elke term door 3. Dus, 3x 2 ÷ 3 = x 2 , 4x ÷ 3 = 4/3x, en 1 ÷ 3 = 1/3. De vergelijking ziet er nu als volgt uit: 3(x 2 + 4/3x - 1/3) = 0.
-
Deel door de constante die je zojuist buiten haakjes hebt gezet. Hiermee kom je eindelijk van die vervelende 3 af buiten de haakjes. Doordat je elke term door 3 deelt, kan deze weggewerkt worden zonder dat de vergelijking verandert. Nu heb je: x 2 + 4/3x - 1/3 = 0
-
Deel de tweede term door 2 en kwadrateer. Neem nu de tweede term, 4/3, de b term, en deel door 2. 4/3 ÷ 2 or 4/3 x 1/2, is 4/6, of 2/3. En 2/3 in het kwadraat is 4/9. Wanneer je hiermee klaar bent moet je deze aan de linker- en de rechterkant van de vergelijking schrijven omdat je eigenlijk gewoon een nieuwe term hebt toegevoegd. Dit moet je aan beide kanten van de vergelijking doen. De vergelijking ziet er nu zo uit: x 2 + 4/3 x + 2/3 2 - 1/3 = 2/3 2
-
Verplaats de oorspronkelijke constante naar de rechterkant van de vergelijking en voeg deze toe aan de term die er al staat. Verplaats de constante, -1/3, naar de rechterkant om er 1/3 van te maken. Tel deze op bij de andere term, 4/9, of 2/3 2 . Vind het kleinste gemene veelvoud zodat 1/3 en 4/9 bij elkaar kunnen worden opgeteld. Dit gaat als volgt: 1/3 x 3/3 = 3/9. Tel nu 3/9 op bij 4/9 zodat je 7/9 aan de rechterkant van de vergelijking hebt staan. Dit geeft: x 2 + 4/3 x + 2/3 2 = 4/9 + 1/3 en dan x 2 + 4/3 x + 2/3 2 = 7/9.
-
Schrijf de linkerkant van de vergelijking als kwadraat op. Omdat je al een formule hebt gebruikt om de missende term te vinden, is het lastigste stuk al gedaan. Alles wat je hoeft te doen is de x en de helft van de tweede coëfficiënt tussen haakjes te plaatsen en deze te kwadrateren, zoals dit :(x + 2/3) 2 . Merk op dat het ontbinden in factoren van het kwadraat 3 termen oplevert: x 2 + 4/3 x + 4/9. De vergelijking ziet er nu zo uit: (x + 2/3) 2 = 7/9.
-
Neem de wortel van beide kanten van de vergelijking. Aan de linkerkant van de vergelijking is de wortel van (x + 2/3) 2 gelijk aan x + 2/3. De rechterkant geeft +/- (√7)/3. De wortel van de noemer 9 is 3, en de wortel van 7 is √7. Vergeet niet om de +/- op te schrijven omdat een wortel van een getal positief of negatief kan zijn.
-
Zet de variabele apart. Om de variabele x te isoleren van de rest verplaats je de constante 2/3 naar de rechterkant van de vergelijking. Je hebt nu twee mogelijke antwoorden voor x:+/- (√7)/3 - 2/3. Dit zijn je twee antwoorden. Je kunt dit zo laten of de wortel verder uitwerken, mocht het zo zijn dat er gevraagd wordt om een antwoord zonder wortelteken.Advertentie
Tips
- Zorg dat je de +/- op de juiste plekken neerzet anders krijg je maar één antwoord.
- Zelfs al ken je de wortelformule, toch kan het geen kwaad om af en toe even te oefenen met kwadraatafsplitsen of tweedegraadsvergelijkingen uit te werken. Op die manier weet je zeker dat je weet hoe het moet als het nodig is.
Advertentie
Bronnen
Over dit artikel
Deze pagina is 4.410 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
