Pdf downloaden
Pdf downloaden
In Algebra, is een tweedegraadsvergelijking een polynoom die bestaat uit 3 termen, van de vorm ax 2 + bx + c. Polynomen kennen veel toepassingen in de wiskunde en wetenschap, en tweedegraadsvergelijkingen kunnen ontbinden, is een belangrijke vaardigheid. Hoewel de meeste tweedegraadsvergelijkingen gewoon kunnen worden ontbonden, zijn er verscheidene gevallen waarbij een tweedegraadsvergelijking op een speciale manier moeten worden ontbonden in factoren. Als geen van de methoden in de hierna volgende gids bruikbaar zijn, dan is het misschien nodig om methoden toe te passen voor het ontbinden van hogere polynomen.
Stappen
-
Orden de argumenten van de tweedegraadsvergelijking van groot naar klein. Een argument is één variabele in de polynoom; de normale volgorde voor het plaatsen van de termen is van de hoogste macht naar de laagste. Dus, 5 + x 2 + 6x moet worden gerangschikt als x 2 + 6x + 5.
-
Breng elke factor die in alle drie de termen voorkomt buiten haakjes. Als de constanten van de tweedegraadsvergelijking allemaal veelvouden zijn van hetzelfde getal, dan kun je deze buiten haakjes brengen, of als elk component van de tweedegraadsvergelijking een gelijke variabele heeft, dan kan die variabele buiten haakjes worden geplaatst.
- Bijvoorbeeld, in de tweedegraadsvergelijking -8a 2 + 24a + 144, is elke constante een veelvoud van 8, en dus kan 8 buiten haakjes worden geplaatst, waardoor we -8(a 2 - 3a - 18) krijgen. Ook al zijn de coëfficiënt -3 en de constante -18 beide deelbaar door -3, de coëfficiënt 1 van de eerste term is dat niet, dus kunnen we niet verder ontbinden in factoren.
- In de tweedegraadsvergelijking - x 2 - 2x - 1, is elke term deelbaar door -1, wat na ontbinden geschreven kan worden als (-1)(x 2 + 2x + 1).
-
3Zoek naar patronen die het ontbinden van een tweedegraadsvergelijking gemakkelijker maken. Voor meer en gedetailleerdere informatie en voorbeelden, zie de methode voor het oplossen van speciale gevallen van een tweedegraadsvergelijking.
-
Probeer als het ook maar even mogelijk is, de tweedegraadsvergelijking op te delen in 2 tweetermen van de vorm (mx + n)(qx + r). Dit is vaak gewoon proberen wat werkt, maar er zijn handigheidjes die dit gemakkelijker maken. Laten we nu eerst ervan uitgaan dat de eerste term in de tweedegraadsvergelijking (de x 2 term) gelijk is aan 1 (de term ziet er eerder uit als x 2 dan bijv., 3x 2 ). De m en q waarden van de tweeterm zijn 1, dus je oplossing gaat er in de volgende vorm uitzien (x + b)(x + d). Vind daarna voor je vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c, de waarden n en r zó, dat geldt: n * r = c and n + r = b.
- In het voorbeeld geldt x 2 + 6x + 5, 5 * 1 = 5 en 5 + 1 = 6. Dus, de oplossing is (x + 1)(x + 5).
- Als niet alle termen in de tweedegraadsvergelijking positief zijn, vergeet dan niet om rekening te houden met de negatieve getallen. Bijvoorbeeld, x 2 - 3x - 18 ontbind in (x - 6)(x + 3) omdat -6 + 3 = -3 en -6 * 3 = -18.
-
5Als de constante in de eerste term niet gelijk is aan 1 (bijv. als het eerder lijkt op 3x 2 dan op x 2 ), wordt ontbinden in factoren iets moeilijker, en via ax 2 + bx + c krijg je uiteindelijk een oplossing in de vorm (mx + n)(qx + r). Voor een juiste oplossing, m * q = a, m * r + n * q = b, en n * r = c.
- Begin met het maken van een lijst van alle mogelijke factoren van a en c. Controleer vervolgens welk paar factoren werkt, met behulp van de restricties zoals boven aangegeven.
- Bijvoorbeeld, neem 3x 2 + 10x + 8. Mogelijke factorenparen van 3 zijn 1 * 3. Mogelijke factorenparen van 8 zijn 1 * 8 en 2 * 4. Omdat 3 * 1 = 3 (de term van de tweedegraadsvergelijking), 1 * 4 + 2 * 3 = 10 (de b term), en 2 * 4 = 8 (de c term), de oplossing is (3x + 4)(x + 2).
Advertentie
-
Controleer of de constante in de eerste term of de derde term van de vergelijking een priemgetal is. Een priemgetal is alleen deelbaar door zichzelf en 1. Hiermee neemt het aantal mogelijke binomiale factoren af. In het voorgaande voorbeeld: x 2 + 6x + 5 is er maar 1 mogelijke reeks binomiale factoren, (x + 5)(x + 1), omdat 5 een priemgetal is.
-
Controleer of de tweedegraadsvergelijking een perfect vierkant is. Hierbij is het nodig dat de waarden van de coëfficiënten a en c van de vergelijking ax 2 + bx + c perfecte vierkanten zijn (en positief!), en dat de waarde van b het dubbele is van de waarde van het product van de vierkantswortel van a en c.
- (x + a) 2 wordt x 2 + 2ax + a 2 . Bijvoorbeeld, (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9, en (3x + 2) 2 = 9x 2 + 12x + 4.
- Evenzo, (x - a) 2 wordt x 2 - 2ax + a 2 . Bijvoorbeeld, (x - 3) 2 = x 2 - 6x + 9.
-
Voor sommige tweedegraadsvergelijkingen van de vorm x 2 - n 2 geldt:
- (x + a)(x - a) wordt x 2 - a 2 . So x 2 - 9 kan snel worden ontbonden in factoren tot (x + 3)(x - 3), en 4x 2 - 4 = (2x + 2)(2x - 2).
Advertentie
Voor tweedegraadsvergelijkingen van de vorm ax 2 + bx + c die lastig of onmogelijk te ontbinden zijn, gebruik je de abc-formule.
-
2Voer a, b, en c in en los het eerste deel van de formule op. Stel we hebben de tweedegraadsvergelijking x 2 + 5x + 6.
- Begin met b 2 - 4ac, en dat is 5 2 - 4(1)(6) = 1. De vierkantswortel van 1 is 1.
- Sluit af met het oplossen van de vergelijking. -b + 1 = -5 + 1 = -4. Deel dit door 2a (2 * 1 = 2) om -2 als antwoord te krijgen.
-
3Los het andere deel op. We weten al dat de vierkantswortel van b 2 - 4ac = 1. -b - 1 = -6. Deel dit door 2a (2) om -3 te krijgen.
-
4Controleer je oplossingen door ze in te vullen voor x. Soms zijn één of meerdere van de antwoorden geen geldige oplossingen (bijvoorbeeld, als het imaginaire getallen zijn). Maar als een tweedegraadsvergelijking een oplossing heeft, dan vind de vergelijking deze wel.
- Merk op dat als we deze vergelijking hadden ontbonden in factoren, in plaats van de abc-formule te gebruiken, we dan als antwoord (x + 2)(x + 3) hadden gekregen. Als je deze vergelijking gelijk stelt aan 0, dan krijg je twee oplossingen, x = 2 and x = -3, die we ook met de formule hadden gevonden.
Advertentie
Sommige tweedegraadsvergelijkingen zijn van een hogere orde, maar in wezen slechts kwadratisch. Zijn ze eenmaal als zodanig herkend, dan kun je ze zo behandelen door substitutie te gebruiken.
-
Kijk naar de variabelen in elke term. Bijvoorbeeld, x 6 - 7x 3 + 12 lijken een macht van 6 te zijn, maar na substitutie van u=x 3 , wordt dit u 2 - 7u + 12. Hierdoor houd je een vergelijking over die veel makkelijker op te lossen is.
- Meer complexe substituties kunnen helpen bij het oplossen van lastiger problemen. Bijvoorbeeld, x 5 y - 7x 3 y 2 + 12y 3 wordt vereenvoudigd naar xy 3 (u 2 - 7u + 12) en na substitutie u = x 2 /y. Een dergelijke substitutie is mogelijk, telkens wanneer de som van de macht van de twee termen, tweemaal de macht van de overblijvende term.
-
Als een dergelijke substitutie kan plaatsvinden, ontbind dan de eenvoudige polynoom, in dit geval, u 2 - 7u + 12 = (u-3)(u-4)
-
Maak de substitutie ongedaan en pas x toe op de oplossing. Dus, vervang u door x 3 , x 6 - 7x 3 + 12 = (x 3 - 3)(x 3 - 4). Indien mogelijk of gewenst kan elke factor nog worden vereenvoudigd.Advertentie
Tips
- Gebruik het criterium van Eisenstein om snel te bepalen of een polynoom niet te herleiden is en niet kan worden ontbonden in factoren. Dit criterium geldt voor elke polynoom maar vooral bij een tweedegraadsvergelijking. Als er een priemgetal p bestaat waardoor de laatste twee termen deelbaar zijn en voldoet aan de volgende voorwaarden, dan is de polynoom niet te herleiden:
- De constante term (de c in een tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + bx + c) is een meervoud van p maar niet van p 2 .
- De eerste term (hier, a) is geen meervoud van p.
- Bijvoorbeeld, 14x 2 + 45x + 51 is onherleidbaar omdat er een priemgetal (3) in staat waardoor zowel 45 als 51 deelbaar zijn, maar niet 14 en 51, die niet deelbaar zijn door 3 2 .
- Je kunt polynomen van meerdere variabelen ontbinden in factoren met behulp van de bovenstaande methoden als ze tweedegraadsvergelijkingen zijn, uitgaande van een bepaalde variabele. Bijvoorbeeld, neem 4x 3 y 2 - 5x 4 + 15y. Dit kan herschreven worden als (4x 3 )y 2 + 15y - 5x 4 . Merk op dat dit past in de vorm ax 2 + bx + c, waarbij a = 4x 3 en c = 5x 4 . Deze vergelijking kan daarna worden opgelost met de abc-formule.
- Je kunt het ontbinden in factoren van tweedegraadsvergelijking oefenen door het maken van opgaven in een boek waarin algebra wordt behandeld.
Advertentie
Waarschuwingen
- Hoewel waar voor kwadraten zijn tweedegraadsvergelijkingen die in factoren kunnen worden ontbonden niet perse het product van twee tweetermen. Een tegenvoorbeeld is x 4 + 105x + 46 = (x 2 + 5x + 2)(x 2 - 5x + 23).
Advertentie
Benodigdheden
- Algebra-/wiskundeboek
- Papier en potlood
Bronnen
- http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut28_facttri.htm
- in factoren-tweedegraadsvergelijkings.htm http://www.themathpage.com/alg/ontbinden in factoren-tweedegraadsvergelijkings.htm
- http://www.themathpage.com/alg/perfect-square-tweedegraadsvergelijking.htm
- in factoren/tweedegraadsvergelijking/ http://www.algebrahelp.com/lessons/ontbinden in factoren/tweedegraadsvergelijking/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial
Over dit artikel
Deze pagina is 12.241 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
