Pdf downloaden
Pdf downloaden
Vectoren zijn grootheden die bestaan uit een grootte en een richting (bijvoorbeeld: snelheidsvector of vectoriële snelheid, versnelling en verplaatsing), in tegenstelling tot scalaire grootheden, die alleen een grootte kennen (zoals snelheid, afstand en energie). Terwijl scalairen bij elkaar kunnen worden opgeteld middels hun groottes (bijvoorbeeld 5 kJ + 6kJ = 11kJ), zijn vectoren iets gecompliceerder om mee te rekenen. Zie Stap 1 hieronder om meer te leren over manieren om dit te kunnen doen.
Stappen
-
Druk de dimensies van een vector uit middels vectornotatie. Omdat vectoren een grootte hebben en een richting, is het meestal eenvoudig om ze op te breken in hun x-, y- en/of z-dimensies. Deze dimensies worden meestal uitgedrukt in een notatie die gelijk is aan het beschrijven van een punt in een coördinatenstelsel (bijv. <x, y, z>, etc.). Als deze punten bekend zijn, dan is het optellen of aftrekken van vectoren zo eenvoudig als het optellen of aftrekken van hun x, y, en z coördinaten.
- Merk op dat vectoren 1, 2, of 3-dimensionaal kunnen zijn. Dus, vectoren kunnen een x-component, een x en y-component, of een x, y en z-component hebben. Ons voorbeeld hieronder gaat over 3-dimensionale vectoren, maar het proces is gelijk aan die van het platte vlak of een lijn.
- Laten we aannemen dat we twee 3-dimensionale vectoren hebben, vector A en vector B. We kunnen deze vectoren opschrijven in de vectornotatie als A = <a1, b1, c1> and B = <a2, b2, c2>, waarbij a1 en a2 de x-componenten, b1 en b2 de y-componenten, en c1 en c2 de z-componenten zijn.
-
Om twee vectoren bij elkaar op te tellen, tel je de componenten op. Als de componenten van twee vectoren bekend zijn, dan is het mogelijk om de vectoren te bepalen door hun overeenkomstige componenten op te tellen. Met andere woorden, tel de x-component van de eerste vector op bij de x-component van de tweede en doe hetzelfde voor y en z. De antwoorden die je krijgt door het optellen van x, y, en z-componenten van de oorspronkelijke vectoren zijn de x, y en z-componenten van de nieuwe vector.
- Met algemene woorden, A+B = <a1+a2,b1+b2,c1+c2>.
- Laten we de twee vectoren A en B bij elkaar optellen. A = <5, 9, -10> en B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, or <22, 6, -12> .
-
Om twee vectoren af te trekken, trek je hun componenten van elkaar af. Hetzelfde dus als bij het optellen, maar dan omgekeerd. Als de componenten van twee vectoren bekend zijn, dan is het aftrekken van de ene vector van de andere niet meer dan het aftrekken van de componenten.
- Met algemene woorden, A-B = <a1-a2,b1-b2,c1-c2>
- Laten we de twee vectoren A en B van elkaar aftrekken. A = <18, 5, 3> en B = <-10, 9, -10>. A - B = <18--10, 5-9, 3--10>, of <28, -4, 13> .
Advertentie
-
Vectoren aangeven met een pijl. Omdat vectoren een grootte en een richting hebben, kun je ze aangeven met een pijl. Met andere woorden, ze hebben een "beginpunt" en een "eindpunt", wijzend in de richting van de vector, waarbij de grootte van de vector door de pijl wordt aangegeven.
- Als je een tekening van een vector maakt op schaal, moet je zorgvuldig de hoeken opmeten. Verkeerde hoeken resulteren in een foutief antwoord bij deze methode.
-
Teken de pijlen in kop-staart volgorde. Hierbij wordt de kop van de pijl tegen de staart van de volgende pijl geplaatst. Omdat je slechts twee vectoren optelt, is dit het enige dat je hoeft te doen om de resulterende vector te vinden.
- Merk op dat de volgorde waarin je de vectoren tekent niet belangrijk is, mits we aannemen dat je steeds hetzelfde startpunt gebruikt. Vector A + Vector B = Vector B + Vector A
-
Om af te trekken maak je de vector "negatief". Het aftrekken van vectoren met deze visuele methode is relatief eenvoudig. Draai de richting van de vector om, maar zorg dat de grootte hetzelfde blijft, en voeg dit volgens de kop-staart methode toe zoals je gewend bent. Met andere woorden, om een vector af te trekken draai je de vector 180 o en tel je op.
-
Als je meer dan twee vectoren wilt optellen of aftrekken, koppel dan al die vectoren volgens de kop-staart methode achter elkaar. De volgorde doet er niet toe. Je kunt dit gebruiken voor elk willekeurig aantal vectoren.
-
Teken een nieuwe vector vanaf de staart van de eerste vector naar de kop van de laatste. Of je nu met 2 of met 100 vectoren werkt, de vector die zich uitstrekt vanaf het startpunt (de staart van je eerste vector) tot het eindpunt van de toegevoegde vectoren (de kop van je laatste vector) is de resulterende vector, of ook wel de som van alle vectoren. Merk op dat deze vector gelijk is aan de vector die je hebt verkregen door het optellen van de x, y, en/of z-componenten van alle vectoren.
- Omdat je alle vectoren op schaal hebt getekend, en de hoeken exact hebt gemeten, kun je de grootte van de resultante vector vinden door de lengte te meten. Je kunt ook de hoek opmeten die deze resultante maakt met een specifieke vector of met de horizontaal/verticaal etc. om de richting te vinden.
- Omdat je niet alle vectoren op schaal hebt getekend, zal je waarschijnlijk de grootte van de resultante moeten berekenen met goniometrie. Gebruik hiervoor de sinus- of de cosinusregel. Omdat je meer dan twee vectoren bij elkaar optelt, is het handig om er eerst twee op te tellen en vervolgens hun resultante bij de derde vector, enzovoort. Zie het volgende deel voor meer informatie.
-
Geef de resultante vector weer via de grootte en richting. Vectoren worden bepaald door hun lengte en richting. Zoals hierboven al aangegeven, aangenomen dat je de vectoren accuraat hebt getekend, is de grootte van de vector gelijk aan de lengte en de richting, en is de hoek relatief aan de de verticaal, horizontaal, etc. Gebruik de eenheden van de vectoren die je bij elkaar hebt opgeteld om de eenheden te kiezen voor de grootte van de resultante vector.
- Als voorbeeld: als de vectoren die we hebben opgeteld, een snelheidsvector weergeeft in ms -1 , dan zouden we de resultante vector kunnen weergeven als "een snelheidsvectore van x ms -1 bij y o ten opzichte van de horizontaal" .
Advertentie
Methode 3
Methode 3 van 3:
Het optellen en aftrekken van vectoren door het bepalen van de componenten
Pdf downloaden
-
Maak gebruik van goniometrie om de componenten van de vector te vinden. Hierbij heb je de grootte en richting relatief ten opzichte van de horizontaal of verticaal nodig, en moet je wat praktische kennis hebben van goniometrie. Stel we hebben een 2-D vector. Eerst maak je van de vectoren de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, waarbij de andere twee zijden parallel lopen aan de x- en de y-as. Deze twee zijden kun je beschouwen als kop-staart vectoren die, bij elkaar opgeteld, de oorspronkelijke vector opleveren.
- De lengtes van de twee zijden zijn gelijk aan de groottes van de x en y-componenten van je vector en kunnen worden berekend met behulp van goniometrie. Als x de grootte is van de vector, dan is de zijkant, aangrenzend aan de hoek van de vector (relatief ten opzichte van de horizontaal, verticaal, etc.) gelijk aan xcos(θ) , terwijl de tegenoverliggende gelijk is aan xsin(θ) .
- Het is ook belangrijk rekening te houden met de richting van je componenten. Als de component in de negatieve richting wijst van één van de assen, dan krijgt het een minteken. Als bijvoorbeeld in het platte vlak een component naar links of naar beneden wijst, dan krijgt het een minteken.
- Bijvoorbeeld, laten we stellen dat we een vector hebben met grootte 3 en een richting 135 o relatief ten opzichte van de horizontaal. Met deze informatie kunnen we bepalen dat de x-component gelijk is aan 3cos(135) = -2,12 en de y-component is 3sin(135) = 2,12
-
Tel de overeenkomstige componenten van twee of meer vectoren bij elkaar op. Wanneer je de componenten van alle vectoren hebt gevonden, tel je gewoon de groottes bij elkaar op om de componenten te vinden van je resultante vector. Tel eerst de groottes van de horizontale componenten (parallel aan de x-as) bij elkaar op. Tel daarna de groottes van de verticale componenten (parallel aan de y-as) bij elkaar op. Als een component een minteken (-) ervoor heeft staan, dan wordt de grootte ervan afgetrokken. De antwoorden die je krijgt zijn de componenten van je resultante vector.
- Bijvoorbeeld, we nemen de vector uit de vorige stap, <-2,12 en 2,12>, en tellen deze op bij de vector <5,78 en -9>. In dit geval is onze resultante vector <-2,12+5.78 en 2,12-9>, of <3,66 en -6,88> .
-
Bereken de grootte van de resultante vector met de stelling van Pythagoras. Met deze stelling, c 2 =a 2 +b 2 , kun je de lengte vinden van de zijden van rechthoekige driehoeken. Omdat de driehoek die wordt gevormd door de resultante vector en zijn componenten een rechthoekige driehoek is, kunnen we deze stelling gebruiken om de lengte van de vector en daarmee de grootte te vinden. Met c als de grootte van de resultante vector, welke je probeert te vinden, stel je a in als de grootte van de x-component en b als de grootte van de y-component. Los op met algebra.
- Om de grootte van de vector te vinden waarvan we in de vorige stap de componenten hebben bepaald, <3,66 en -6,88>, maken we gebruik van de Stelling van Pythagoras. Los op als volgt:
- c 2 =(3,66) 2 +(-6,88) 2
- c 2 =13,40+47,33
- c=√60,73 = 7,79
- Om de grootte van de vector te vinden waarvan we in de vorige stap de componenten hebben bepaald, <3,66 en -6,88>, maken we gebruik van de Stelling van Pythagoras. Los op als volgt:
-
Bereken de richting van de resultante met de tangens. Tenslotte bepalen we de richting van de resultante vector. Gebruik de formule θ=tan -1 (b/a) , waarbij θ de hoek is die de resultante maakt met de x-as van de horizontaal, waarbij b de grootte is van de y-component en a de grootte van de x-component.
- Om de richting te bepalen van onze voorbeeldvector, gebruiken we θ=tan -1
(b/a).
- θ=tan -1 (-6.88/3.66)
- θ=tan -1 (-1.88)
- θ=-61.99 o
- Om de richting te bepalen van onze voorbeeldvector, gebruiken we θ=tan -1
(b/a).
-
Geef de resultante vector weer via de grootte en richting. Zoals boven aangegeven worden vectoren gedefinieerd door hun grootte en richting. Zorg dat je de juiste eenheden gebruikt voor de grootte van de vector.
- Bijvoorbeeld, als de voorbeeldvector een kracht (in Newton) voorstelt, dan kunnen we dit schrijven als "een kracht van 7,79 N op -61,99 o van de horizontaal" .
Advertentie
Tips
- Vectoren moet je niet verwarren met groottes.
- Je kunt de grootte vinden van een vector in de ruimte door de formule a 2 =b 2 +c 2 +d 2 te gebruiken, waarbij a de grootte is van de vector en b, c en d de componenten in elke richting.
- Vectoren die worden voorgesteld als x i + y j + z k kunnen worden opgeteld of afgetrokken door het eenvoudigweg optellen of aftrekken van de coëfficiënten van de drie vectoren. Het antwoord staat dan eveneens in de vorm i, j, k.
- Kolomvectoren kunnen worden opgeteld en afgetrokken, door het optellen of aftrekken van de waarden in elke rij.
Advertentie
Over dit artikel
Deze pagina is 31.072 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
