Pdf downloaden
Pdf downloaden
Een polynoom bevat een variabele (x) tot een bepaalde macht, en verscheidene termen en/of constanten. Om een polynoom te ontbinden in factoren, zal je de uitdrukking op moeten breken in kleinere uitdrukkingen die met elkaar worden vermenigvuldigd. Dit vereist wel een bepaald wiskundig niveau en kan dus lastig zijn om te begrijpen, als je nog niet zo ver bent.
Stappen
-
De vergelijking. Het standaardformaat voor een kwadratische vergelijking is:
ax 2 + bx + c = 0
Begin met het ordenen van de termen in je vergelijking, van de hoogste naar de laagste macht. Bijvoorbeeld, neem:
6 + 6x 2 + 13x = 0
We gaan deze uitdrukking opnieuw ordenen, zodat hij gemakkelijker wordt om mee te werken – simpelweg door het verplaatsen van de termen:
6x 2 + 13x + 6 = 0 -
Vind de factoren met behulp van één van de onderstaande methoden. Het ontbinden in factoren van de polynoom zal resulteren in twee kleinere uitdrukkingen die met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd om de oorspronkelijke polynoom te krijgen:
6x 2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
In dit voorbeeld, (2x +3) en (3x + 2) zijn factoren van de oorspronkelijke uitdrukking, 6x 2 + 13x + 6. -
Controleer je werk! Vermenigvuldig de factoren die je hebt gevonden. Combineer de gelijke termen en je bent klaar. Start met:
(2x + 3)(3x + 2)
Laten we dit testen, door de termen te vermenigvuldigen met behulp van EBBL (eerste - buitenste - binnenste - laatste), waardoor we krijgen:
6x 2 + 4x + 9x + 6
Nu tellen we 4x en 9x bij elkaar op omdat dit gelijke termen zijn. We weten dat de factoren kloppen omdat we de vergelijking waarmee we begonnen weer terugkrijgen:
6x 2 + 13x + 6 Advertentie
-Step-1-Version-3.jpg)
-Step-2-Version-3.jpg)
-Step-3-Version-3.jpg)
Als je een redelijk eenvoudige polynoom hebt, dan kun je misschien meteen zien wat de factoren zijn. Bijvoorbeeld, na wat oefening zijn veel wiskundigen instaat om te zien dat de uitdrukking 4x 2
+ 4x + 1
de factoren (2x + 1) en (2x + 1) heeft, gewoon omdat ze dit zo vaak hebben gezien. (Dit zal uiteraard niet zo gemakkelijk zijn met gecompliceerdere polynomen.) Laten we bij dit voorbeeld een minder standaard uitdrukking nemen:
-
Noteer de factoren van de a term en de c term. Gebruik de indeling ax 2 + bx + c = 0 , herken de a en c termen en noteer welke factoren er zijn. Voor 3x 2 + 2x - 8, houdt dit in:
a = 3 en heeft 1 paar factoren: 1 * 3
c = -8 en deze heeft 4 paar factoren: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, en -1 * 8. -
Noteer twee paar haakjes met een lege ruimte. Hier vul je de constanten van elke uitdrukking in:
( x )( x ) -
Vul de ruimte voor de x'en met een aantal mogelijke factoren van de a waarde. Voor de a term in ons voorbeeld, 3x 2 , is er slechts 1 mogelijkheid:
(3x )(1x ) -
Vul de 2 ruimtes in na de x'en met een paar factoren voor de constanten. Stel we kiezen 8 en 1. Vul dit in:
(3x 8 )(x 1 ) -
Bepaal welke tekens (plus of min) moeten staan tussen de x-variabelen en de getallen. Afhankelijk van de tekens van de oorspronkelijke uitdrukking, is het mogelijk om uit te vinden wat de tekens van de constanten moeten zijn. Laten we de twee constanten van de twee factoren h en k noemen:
Als ax 2 + bx + c dan (x + h)(x + k)
Als ax 2 - bx - c of ax 2 + bx - c dan (x - h)(x + k)
Als ax 2 - bx + c dan (x - h)(x - k)
In ons voorbeeld, 3x 2 + 2x - 8, is het teken:(x - h)(x + k), waarmee we de volgende twee factoren krijgen:
(3x + 8) en (x - 1) -
Test je keuze met de eerste-buitenste-binnenste-laatste vermenigvuldiging. Een snelle eerste test om te zien of de middelste term tenminste de juiste waarde heeft. Als dit niet zo is, dan heb je waarschijnlijk de verkeerde c factoren gekozen. Laten we het antwoord testen:
(3x + 8)(x - 1)
Door vermenigvuldiging krijgen we:
3x 2 - 3x + 8x - 8
Vereenvoudig deze uitdrukking door de gelijke termen erbij op te tellen (-3x) en (8x), en we krijgen vervolgens:
3x 2 - 3x + 8x - 8 = 3x 2 + 5x - 8
We weten nu dat we de verkeerde factoren hebben genomen:
3x 2 + 5x - 8 ≠ 3x 2 + 2x - 8 -
Wissel je keuzes om, als dit nodig is. Laten we in ons voorbeeld 2 en 4 proberen, in plaats van 1 en 8:
(3x + 2)(x - 4)
Nu is onze c term gelijk aan -8, maar het buitenste/binnenste product van (3x * -4) en (2 * x) is -12x en 2x, waarmee je niet de juiste b term of +2x krijgt.
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x -
Draai indien noodzakelijk de volgorde om. Laten we proberen om 2 en 4 om te draaien:
(3x + 4)(x - 2)
Nu is onze c term (4 * 2 = 8) en nog steeds in orde, maar de buitenste/binnenste producten zijn -6x en 4x. Als we deze combineren dan krijgen we:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x We komen nu aardig in de buurt van de 2x waar we willen zijn, maar het teken is nog niet juist. -
Controleer je tekens dubbel, indien noodzakelijk. We houden deze volgorde aan, maar verwisselen die met het minteken:
(3x - 4)(x + 2)
Nu is de c term nog steeds okay, en de buitenste/binnenste producten zijn nu (6x) en (-4x). Omdat:
6x - 4x = 2x
2x = 2x We zien nu de positieve 2x terug uit het oorspronkelijke probleem. Dit moeten de juiste factoren zijn.Advertentie
-Step-4-Version-3.jpg)
-Step-5-Version-3.jpg)
-Step-6-Version-3.jpg)
-Step-7-Version-3.jpg)
-Step-8-Version-3.jpg)
-Step-9-Version-3.jpg)
-Step-10-Version-3.jpg)
-Step-11-Version-3.jpg)
-Step-12-Version-3.jpg)
Deze methode geeft alle mogelijke factoren van a
en c
termen en gebruikt ze om uit te vinden wat welke factoren de juiste zijn. Als de getallen erg groot zijn, of het giswerk van andere methoden gaat te lang duren, gebruik dan deze manier. Een voorbeeld:
-
Vermenigvuldig de a term met de c term. In dit voorbeeld geldt, a is 6 en c is ook 6.
6 * 6 = 36 -
Vind de b term door ontbinden in factoren en testen. We zijn op zoek naar 2 getallen die factoren zijn van a * c , en samen de b term (13) vormen.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13 -
Substitueer de twee getallen die je krijgt in je vergelijking als de som van de b term. Laten we k en h nemen om de 2 getallen te representeren die we hebben, 4 en 9:
ax 2 + kx + hx + c
6x 2 + 4x + 9x + 6 -
Factoriseer de polynoom door te groeperen. Organiseer de vergelijking zo dat je de grootste gemene deler van de eerste twee termen en de laatste twee termen, kunt afzonderen. Beide factoren zouden hetzelfde moeten zijn. Tel de ggd's bij elkaar op en plaats ze tussen haakjes, naast de factoren; als resultaat krijg je de twee factoren:
6x 2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2) Advertentie
-Step-13-Version-3.jpg)
-Step-14-Version-3.jpg)
-Step-15-Version-3.jpg)
-Step-16-Version-3.jpg)
Gelijk aan de decompositie-methode. De 'triple play'-methode onderzoekt de mogelijke factoren van het product van a
en c
en gebruikt deze om uit te vinden wat b
moet zijn. Neem als voorbeeld de vergelijking:
-
Vermenigvuldig de a term met de c term. Evenals bij de decompositie-methode bepalen we hiermee de kandidaten voor de b term. In dit voorbeeld geldt: a is 8 en c is 2.
8 * 2 = 16 -
Vind de 2 getallen met dit getal als product en met een som die gelijk is aan de b term. Deze stap is gelijk aan de decompositie methode – we testen kandidaten voor de constanten. Het product van de a en c termen is 16, en de c term is 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10 -
Neem deze 2 getallen en substitueer ze in de 'triple play' formule. Neem de 2 getallen uit de vorige stap – laten we ze h en k noemen - en plaats ze in de uitdrukking:
((ax + h)(ax + k))/ a
Hiermee krijgen we:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8 -
Kijk welke van de twee termen in de noemer volledig kan worden gedeeld door a . In dit voorbeeld bekijken we of (8x + 8) of (8x + 2) kan worden gedeeld door 8. (8x + 8) is deelbaar door 8, dus delen we deze term door a en laten we de ander ongemoeid.
(8x + 8) = 8(x + 1)
De term die we hier hebben bewaard is die welke overblijft na het delen door de a term:(x + 1) -
Neem de grootste gemene deler (ggd) uit één van beide of allebeide termen, als dit mogelijk is. In dit voorbeeld zien we dat de tweede term een ggd heeft van 2, omdat 8x + 2 = 2(4x + 1). Combineer dit antwoord met de term die je hebt ontdekt in de vorige stap. Dit zijn de factoren van je vergelijking.
2(x + 1)(4x + 1) Advertentie
-Step-17-Version-3.jpg)
-Step-18-Version-3.jpg)
-Step-19-Version-3.jpg)
-Step-20-Version-3.jpg)
-Step-21-Version-3.jpg)
Sommige coëfficiënten in een polynoom kun je herkennen als 'kwadraten', of ook als het product van 2 dezelfde getallen. Door erachter te komen welke deze kwadraten zijn, kan het zijn dat je de polynomen veel sneller kunt ontbinden in factoren. We nemen de vergelijking:
-
Haal de ggd uit de vergelijking, als dit mogelijk is. In dit geval zien we dat 27 en 12 beide deelbaar zijn door 3, dus die kunnen we apart plaatsen:
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) -
Bepaal of de coëfficiënten van je vergelijking kwadraten zijn. Om deze methode te kunnen gebruiken is het noodzakelijk om de wortel te kunnen bepalen van de termen. (Merk op dat we de mintekens hebben weggelaten – omdat deze getallen kwadraten zijn, kan het voorkomen dat ze het product zijn van 2 negatieve getallen)
9x 2 = 3x * 3x en 4 = 2 * 2 -
Met behulp van de vierkantswortel die je hebt bepaald, kun je nu de factoren uitschrijven. We nemen de a en c waarden uit de voorgaande stap: a = 9 en c = 4, dus zijn de wortels hiervan: - √ a = 3 en √ c = 2. Dit zijn de coëfficiënten van de gefactoriseerde uitdrukkingen:
27x 2 - 12 = 3(9x 2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2) Advertentie
-Step-22-Version-3.jpg)
-Step-23-Version-3.jpg)
-Step-24-Version-3.jpg)
Als niets lijkt te werken en je kunt de vergelijking niet ontbinden, gebruik dan de abc-formule. Neem het volgende voorbeeld:
-
Vul de overeenkomstige waarden in, in de abc-formule:
x = -b ± √(b 2 - 4ac)
2a
We krijgen nu de uitdrukking:
x = -4 ± √(4 2 - 4•1•1) / 2 -
Los op voor x. Je zou nu 2 waarden moeten krijgen voor x. Dit zijn:
x = -2 + √(3) of x = -2 - √(3) -
Gebruik de waarden van x om de factoren te bepalen. Vul de x-waarden in die je hebt verkregen in de twee vergelijkingen, als constanten. Dit zijn je factoren. Als we de twee antwoorden h en k noemen, dan schrijven we de twee factoren als volgt op:
(x - h)(x - k)
In dit geval is het uiteindelijke antwoord:
(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3)) Advertentie
-Step-25-Version-3.jpg)
-Step-26-Version-3.jpg)
-Step-27-Version-3.jpg)
Als het toegestaan is (of verplicht) om een grafische rekenmachine te gebruiken, dan maakt dit het ontbinden in factoren heel wat gemakkelijker, zeker bij tentamens en examens. De volgende instructies zijn bedoeld voor een TI grafische rekenmachine. We gebruiken de vergelijking uit het voorbeeld:
-
Voer de vergelijking in je rekenmachine in. Je gaat de oplosser voor vergelijkingen gebruiken, ook wel bekend als het [Y = ] scherm.
-
Maak een grafiek van de vergelijking met de rekenmachine. Heb je de vergelijking ingevoerd, druk dan op [GRAPH] – je hoort nu een gebogen lijn, een parabool te zien als grafische weergave van je vergelijking (en het is een parabool, omdat we met een polynoom te maken hebben).
-
Ga na waar de parabool snijdt met de x-as. Omdat een tweedegraadsvergelijking traditioneel genoteerd wordt als ax 2 + bx + c = 0, zijn dit de twee x-waarden die ervoor zorgen dat de vergelijking gelijk is aan nul:
(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2 - Als je niet kunt zien waar de parabool snijdt met de x-as, druk dan op [2nd] en daarna op [TRACE]. Druk [2] of selecteer "zero". Schuif de cursor naar de linkerkant van een snijpunt en druk op [ENTER]. Schuif de cursor naar de rechterkant van een snijpunt en druk op [ENTER]. Schuif de cursor zo dicht mogelijk naar het snijpunt en druk op [ENTER]. De rekenmachine zal de x-waarde aangeven. Doe dit ook voor het andere snijpunt.
-
Voer de x-waarden in die je hebt verkregen, in de twee ontbonden uitdrukkingen. Als we de twee x-waarden h en k noteren als term, dan ziet de uitdrukking die we gebruiken er zo uit:
(x - h)(x - k) = 0
Dus onze twee factoren worden dan:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2) Advertentie
-Step-28-Version-2.jpg)
-Step-29-Version-2.jpg)
-Step-30-Version-2.jpg)
-Step-31-Version-2.jpg)
Tips
- Als je de polynoom hebt ontbonden met de abc-formule, en je antwoord bevat wortels, dan kun je de x-waarden omzetten naar breuken om ze te controleren.
- Als een term geen coëfficiënt ervoor heeft staan, dan is de coëfficiënt gelijk aan 1, bijv. x 2 = 1x 2 .
- Als je een TI-84 rekenmachine hebt, dan is er een programma genaamd SOLVER die een kwadratische vergelijking voor je op kan lossen. Deze lost ook hogere graads polynomen op.
- Na veel oefenen zal het je uiteindelijk lukken om polynomen uit je hoofd op te lossen. Maar voor de zekerheid is het beter om ze altijd uit te schrijven.
- Als een term niet bestaat, dan is de coëfficiënt gelijk aan nul. Dan kan het handig zijn om de vergelijking te herschrijven. Bijv. x 2 + 6 = x 2 + 0x + 6.
Advertentie
Waarschuwingen
- Als je dit concept leert in de wiskundeles, let dan op wat de leraar uitlegt en gebruik niet alleen maar je eigen favoriete methode. Het kan zijn dat je bij een toets gevraagd wordt een specifieke methode te gebruiken, of dat grafische rekenmachines niet zijn toegestaan.
Advertentie
Benodigdheden
- Potlood
- Papier
- Kwadratische vergelijking (ook wel een tweedegraads vergelijking)
- Grafische rekenmachine (eventueel)
Over dit artikel
Deze pagina is 8.455 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
