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Com uma calculadora, encontrar a raiz cúbica de um número está a poucos cliques de distância. No entanto, você talvez não tenha uma calculadora à disposição ou queira apenas impressionar os amigos com a capacidade de fazê-lo de cabeça. Existe um processo que, de início, parece trabalhoso, mas que se torna fácil com a prática. Será de grande ajuda lembrar-se de alguns conceitos matemáticos básicos e de álgebra sobre os números cúbicos.
Passos
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Escreva o problema. Calcular a raiz cúbica de um número será praticamente como resolver um problema de divisão longa, com algumas diferenças especiais. O primeiro passo é configurar o problema no formato adequado. [1] X Fonte de pesquisa
- Escreva o número cuja raiz cúbica será calculada. Anote os dígitos em grupos de três, usando a vírgula decimal como ponto de início. Nesse exemplo, você encontrará a raiz cúbica de 10. Escreva-o como 10, 000 000. Os zeros adicionais servem para dar precisão ao cálculo.
- Faça um sinal de raiz cúbica sobre o número. Ela serve à mesma finalidade que a linha da barra de divisão, com a única diferença sendo a forma do símbolo.
- Coloque uma vírgula decimal sobre a linha, diretamente acima da vírgula decimal do número.
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Conheça os cubos de números com dígito único. Você deverá usá-lo em seus cálculos. Eles são os seguintes:
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Encontre o primeiro dígito da solução. Escolha o número que, ao ser elevado ao cubo, chega mais perto do número original. [2] X Fonte de pesquisa
- Nesse exemplo, o primeiro dos três números é 10. Encontre o maior cubo perfeito que se aproxime de 10. Esse valor é igual a 8, e a raiz cúbica será igual a 2.
- Escreva o número 2 sobre a linha do radical, acima do número 10. Escreva o valor de , que é 8, abaixo do número 10, desenhe a linha e faça a subtração, assim como é feito em uma divisão longa. O resultado será 2.
- Depois da subtração, você terá o primeiro dígito da solução. É preciso decidir se ele representa um resultado suficientemente preciso, o que, na maioria das vezes, não será o caso. Você pode conferir a resposta elevando ao cubo esse dígito e decidindo se o resultado se aproxima o suficiente do desejado. Aqui, uma vez que é igual a 8 e não está muito próximo de 10, você deve continuar.
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Prepare-se para encontrar o próximo dígito. Copie o próximo grupo de três números abaixo e desenhe uma pequena linha vertical à esquerda do valor resultante. Esse será o número-base para se descobrir o dígito seguinte na solução da raiz cúbica. Nesse exemplo, você terá o número 2000, formado pelo 2 resultante da subtração anterior em conjunto com o grupo de três zeros que foram para baixo. [3] X Fonte de pesquisa
- À esquerda da linha vertical, você resolverá o próximo divisor como a soma de três números separados. Faça os espaços para esses números com três sublinhas e três sinais de mais entre elas.
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Encontre o início do próximo divisor. Para a primeira parte do divisor, escreva 300 vezes o quadrado do número que estiver acima do radical. Nesse caso, como se trata de 2, e 2 2 é igual a 4, temos que 4*300 = 1200. Escreva 1200 no primeiro espaço. O divisor para esse passo da solução será 1200 mais algo que será encontrado a seguir. [4] X Fonte de pesquisa
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Encontre o próximo número na solução da raiz cúbica. Encontre o próximo dígito da solução escolhendo o que pode ser multiplicado pelo divisor, que é 1200 e poucos, e subtraído dos 2000 restantes. Esse valor só pode ser 1, já que 2 vezes 1200 é igual a 2400, valor maior que 2000. Escreva o número 1 no próximo espaço acima do radical. [5] X Fonte de pesquisa
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Determine o restante do divisor. O divisor para esse passo da solução é feito de três partes. A primeira parte representa os 1200 que você já tem. Será preciso acrescentar dois termos para completar o divisor. [6] X Fonte de pesquisa
- Agora, calcule 3 vezes 10 para cada um dos dois dígitos na solução acima do radical. Nesse exemplo, isso quer dizer 3*10*2*1, que é 60. Some o resultado aos 1200 já presentes para resultar em 1260.
- Por fim, some o quadrado do último dígito. Nesse exemplo, esse número é 1, e 1 2 ainda é igual a 1. Logo, o divisor total é igual a 1200+60+1, ou 1261. Escreva esse valor à esquerda da linha vertical.
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Multiplique e subtraia. Complete essa parte da solução multiplicando o último dígito — nesse caso, 1 — pelo divisor recém-calculado, 1261. 1*1261=1261. Escreva essa resposta abaixo de 2000 e faça a subtração, que resultará em 739.
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Decida se você deseja prosseguir para maior precisão. Depois de completar a subtração de cada passo, é preciso considerar se a resposta é precisa o suficiente. Com relação à raiz cúbica de 10, depois da primeira subtração, encontramos apenas 2, o que não é um valor muito exato. Agora, depois de uma segunda parte, temos a solução 2,1. [7] X Fonte de pesquisa
- Você pode conferir essa precisão multiplicando 2,1*2,1*2,1. O resultado será igual a 9,261.
- Caso acredite que o resultado é preciso o suficiente, você pode parar por aqui. Se quiser algo mais exato, leia adiante para entender a outra parte.
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Encontre o divisor para a próxima seção. Nesse caso, para uma resposta mais prática e mais precisa, repita os passos da seguinte maneira: [8] X Fonte de pesquisa
- Desça o próximo grupo de três dígitos. Nesse caso, há três zeros, que acompanharão o número 739 para resultar em 739000.
- Calcule o divisor multiplicando 300 vezes o quadrado do número que está acima do radical. Isso equivale a , igual a 132300.
- Selecione o próximo dígito da solução de modo a multiplicá-la por 132300 e ainda restar com algo inferior a 739000. Uma boa opção seria o número 5, uma vez que 5*132300 = 661500. Escreva o dígito 5 no próximo espaço acima do radical.
- Calcule 3 vezes o número anterior sobre o radical, 21, vezes o último dígito escrito, 5, vezes 10. Isso resulta em .
- Finalmente, eleve o último número ao quadrado. Isso resulta em .
- Some as partes do divisor para obter 132300+3.150+25=135475.
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Multiplique o divisor pelo valor da solução. Depois de ter calculado o divisor da próxima seção e expandido a solução em um dígito, faça o seguinte:
- Multiplique o divisor pelo último dígito da solução. 135475*5 = 677375.
- Faça a subtração. 739000 - 677375 = 61625.
- Decida se a solução 2,15 é precisa o suficiente. Eleve-a ao cubo para obter .
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Escreva a resposta final. O resultado acima do radical é a raiz cúbica, precisa nesse ponto em até três casas decimais. Nesse exemplo, a raiz cúbica de 10 é igual a 2,15. Confirme que, ao se calcular 2,15 3 =9,94, obtém-se algo próximo de 10. Se for necessário encontrar uma exatidão ainda maior, basta continuar o processo em tantos passos quanto necessários.Publicidade
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Use números cúbicos para definir limites superiores e inferiores. Se você precisa saber qual é a raiz cúbica de praticamente qualquer número, comece escolhendo um cubo perfeito tão aproximado quanto possível, sem exceder o objetivo. [9] X Fonte de pesquisa
- Por exemplo, se você quer encontrar a raiz cúbica de 600, lembre-se (ou use uma tabela de números cúbicos) de que e . Logo, a solução para a raiz cúbica de 600 estará entre 8 e 9. Você usará os números 512 e 729 como limites superiores e inferiores da solução.
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Estime o próximo dígito. O primeiro dígito veio de seu próprio conhecimento de números cúbicos. Para encontrar o próximo, estime alguns valores entre 0 e 9 com base na posição do valor entre os dois limites.
- No exemplo acima, o objetivo de 600 se encontra entre os limites de 512 e 729. Dessa forma, escolha 5 como próximo dígito.
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Teste a estimativa elevando-a ao cubo. Experimente multiplicar a estimativa atual para observar qual é sua proximidade do objetivo.
- Nesse exemplo, multiplique .
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Ajuste a estimativa como necessário. Depois de elevar ao cubo a última estimativa, observe onde o resultado chega na comparação com o objetivo. Se o resultado supera o alvo, você terá que descer a estimativa em um número ou mais. Se estiver abaixo do alvo, no entanto, pode ser necessário subi-lo até exceder o objetivo.
- Por exemplo, nesse problema, supera o objetivo, que é 600. Desse modo, você deve diminuir a estimativa para 8,4. Eleve esse número e compare-o ao valor desejado. Você descobrirá que . Esse resultado está abaixo do objetivo. Logo, você saberá que a raiz cúbica de 600 deve ser maior que 8,4 e menor que 8,5.
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Estime o próximo dígito para ter uma precisão ainda maior. Você deve continuar esse processo de estimar dígitos de 0 a 9 até responder de forma tão precisa quanto desejar. Para cada estimativa, comece observando o ponto em que os últimos cálculos chegam, entre os limites.
- Nesse exemplo, a última seção de cálculos mostra que , enquanto . O objetivo de 600 está ligeiramente mais próximo de 592 do que de 614. Para a próxima estimativa, escolha um número um pouco abaixo da metade entre 0 e 9. Uma boa estimativa seria 4, chegando à raiz cúbica de 8,44.
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Continue a testar estimativas e a fazer ajustes. Tanto quanto necessário, eleve ao cubo a estimativa e observe como ela se compara ao alvo. Você deve encontrar os valores que estão logo abaixo e logo acima do objetivo.
- Nesse exemplo, observe que . Esse resultado está logo acima do alvo e, por isso, faremos o teste com 8,43. Isso resultará em . Logo, você saberá que a raiz cúbica de 600 está acima de 8,43 e abaixo de 8,44.
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Continue tanto quanto necessário, até atingir a precisão desejada. Prossiga repetindo os passos de estimativa, comparando-os e voltando estimá-los por tanto tempo quanto necessário até que a solução seja tão precisa quanto desejado. Observe que, com cada casa decimal, o resultado se aproxima cada vez mais do objetivo.
- No exemplo da raiz cúbica de 600, ao usar duas casas decimais, 8,43, você dista do resultado em menos de 1. Caso continue com uma terceira casa decimal, você descobrirá que , distando menos de 0,1 da resposta final.
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Revise a expansão binomial. Para entender a razão pela qual esse algoritmo funciona na descoberta de raízes cúbicas, você deve primeiro lembrar-se de como é a expansão cúbica binomial. É provável que isso tenha sido ensinado em alguma de suas aulas de álgebra do ensino médio (e, caso seja como a maioria das pessoas, você se esqueceu disso logo a seguir). Escolha duas variáveis e para representar números de dígitos únicos. A seguir, crie o binômio para representar um número de dois dígitos.
- Usar o termo é o que cria um número de dois dígitos. Independente do dígito escolhido para , o colocará na coluna das dezenas. Por exemplo, se é igual a 2 e é igual a 6, se torna 26. [10] X Fonte de pesquisa
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Expanda o binômio em um cubo. Aqui, estamos trabalhando de forma reversa, criando primeiro o cubo e, depois, vendo por que a solução para raízes cúbicas funciona. Precisamos descobrir o valor de . Para isso, multiplica-se . Essa expressão é longa demais para ser desenvolvida aqui, mas o resultado será . [11] X Fonte de pesquisa
- Para mais dicas confira este artigo.
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Entenda o que significa o algoritmo da divisão longa. Observe que o método para calcular a raiz cúbica funciona como a divisão longa. Nela, você encontra dois fatores que se multiplicam em conjunto para resultar no produto do número inicial. No cálculo, o valor presente (número que fica acima do radical) será a raiz cúbica. Isso quer dizer que ele representa o termo (10A+B). Por agora, os valores de A e B são irrelevantes, desde que você entenda a relação que têm com a resposta final. [12] X Fonte de pesquisa
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Revise a versão expandida. Ao olhar para um polinômio desenvolvido, você verá a razão pela qual o algoritmo de raízes cúbicas funciona. Entenda que o divisor de cada passo do algoritmo representa a soma de quatro termos que devem ser calculados e somados entre si. Eles são os seguintes: [13] X Fonte de pesquisa
- O primeiro termo contém um múltiplo de 1000. Você eleva o número que deve ser elevado ao cubo e observa se está dentro dos limites para a divisão longa com relação ao primeiro dígito. Isso resulta no termo 1000A 3 na expansão binomial.
- O segundo termo da expansão binomial possui o coeficiente 300 (que vem, de fato, na forma ). Lembre-se de que, no cálculo da raiz cúbica, o primeiro dígito em cada passo é multiplicado por 300.
- O segundo dígito em cada passo do cálculo vem do terceiro termo da expansão binomial. Nela, você poderá encontrar o termo 30AB 2 .
- O dígito final de cada passo será o termo B 3 .
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Observe o aumento da precisão. Ao trabalhar com o algoritmo da divisão longa, cada passo completado traz mais precisão à resposta. Por exemplo, o problema do artigo busca encontrar a raiz cúbica de 10. No primeiro passo, a solução é 2, porque é um valor próximo, mas inferior a 10. Na verdade, . Depois de um segundo processo, você obterá o resultado 2,1. Ao se fazer o cálculo, , algo bem mais próximo do objetivo. Depois de uma terceira tentativa, você encontra o valor 2,15, que resulta em . Você pode continuar o trabalho em grupos de três dígitos para obter tanta precisão na resposta quanto necessário. [14] X Fonte de pesquisaPublicidade
Dicas
- Como tudo o mais na matemática, a prática leva à perfeição. Quanto mais você praticar, melhor ficará nesse cálculo.
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Avisos
- É fácil cometer erros no cálculo. Confira os resultados com cuidado e faça novos testes.
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Materiais Necessários
- Lápis ou caneta
- Pedaço de papel
- Régua
- Borracha
Referências
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
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