Como Calcular o Coeficiente de Correlação

Coescrito por Michael R. Lewis

Costuma ser bastante útil saber se duas ações costumam apresentar movimentações conjuntas. Para uma carteira diversificada, você deve ter ações que possuem certa independência entre si. O Coeficiente de Correlação Pearson ajuda a mensurar a relação entre os retornos de duas ações diferentes.

Método 1

Método 1 de 3:

Calculando o desvio-padrão e a covariância

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Analise os retornos da ação. Para calcular o coeficiente de correlação, você precisa de dados dos retornos (variações diárias no preço) de duas ações ao longo do mesmo período. Os retornos são determinados como sendo a diferença entre os preços de fechamento ao longo de dois dias de execução. Por exemplo, se uma ação fechou em ${\text{R}}\$\ 2,00$ na terça-feira e em ${\text{R}}\$\ 2,04$ na quarta-feira, isso indica um retorno de $2\%$ . ^{[1]
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- Os dados relativos aos preços da ação podem ser obtidos em páginas dedicadas a analisar o mercado, como Bloomberg Stocks e Yahoo! Finanças .
- Quando os dados estiverem já presentes, organize os retornos em forma de sequência, colocando ambas as ações de forma relativa, como Ação ${\text{x}}$ e Ação ${\text{y}}$ , a fim de simplificar os seus cálculos.
- Por exemplo, os dados para a ação ${\text{x}}$ podem ser $0,9$ , $1,3$ , $1,7$ , $0,4$ e $0,7$ ao longo de cinco dias, enquanto os dados para a ação ${\text{y}}$ podem ser $2,5$ , $3,5$ , $3,6$ , $3,1$ e $2,3$ .
- Os coeficientes de correlação podem variar ou mesmo trocar sinais ao longo do tempo (do positivo ao negativo), de modo que o período escolhido é de suma importância.
- Investidores em curto prazo podem não ter qualquer dificuldade em usar $20$ a $50$ dias de dados, mas aqueles que trabalham com longos períodos podem preferir usar de $150$ a $250$ . ^{[2]
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Calcule a média de cada série. Determine a média do conjunto de retornos somando cada um dos termos e dividindo essa soma pela quantidade de dias no período selecionado ( $n$ ). A média será representada pela letra grega $\mu$ , sendo que $\mu _{{{\text{x}}}}$ representa a média dos retornos da ação ${\text{x}}$ e $\mu _{{{\text{y}}}}$ representa a média dos retornos da ação ${\text{y}}$ . ^{[3]
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- Prosseguindo com o exemplo anterior, a quantidade de dias, ou $n$ , equivalerá a $5$ . Em outras palavras, a média dos retornos da ação ${\text{x}}$ será igual a $\mu _{{{\text{x}}}}={\frac {0,9+1,3+1,7+0,4+0,7}{5}}$ , ou $1,0$ .
- De forma semelhante, os retornos da ação ${\text{y}}$ apresentarão uma média igual a $\mu _{{{\text{y}}}}={\frac {2,5+3,5+3,6+3,1+2,3}{5}}$ , ou $3,0$ .
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Calcule a covariância . Ela representa a relação entre duas variáveis em mudança dinâmica. Se a variável aumenta ou diminui nos mesmos períodos, há uma correlação positiva, de modo que a covariância é também positiva. No entanto, se elas se movem opostas uma com relação à outra, a covariância é negativa. A covariância é calculada através da fórmula $\sigma _{{{\text{xy}}}}={\frac {\sum _{{n=1}}^{{n}}({\text{x}}_{{n}}-\mu _{{{\text{x}}}})\times ({\text{y}}_{n}-\mu _{{{\text{y}}}})}{n-1}}$ . ^{[4]
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- Na equação, ${\text{x}}_{{n}}$ e ${\text{y}}_{{n}}$ representam o retorno das ações em cada dia do período. A ideia é somar o produto das diferenças entre o retorno da ação e o retorno médio para cada dia.
- Por exemplo, a porção da fórmula relativa ao primeiro dia seria calculada como $(0,9-1,0)\times (2,5-3,0)$ . Isso seria somado ao resultado para os outros quatro dias e, a seguir, dividido por $4$ , ou ( $5-1$ ).
- Isso resulta em ${\frac {0,77}{4}}$ , que é igual a $0,1925$ .
- A covariância entre os retornos das ações ${\text{x}}$ e ${\text{y}}$ é igual a $0,1925$ .
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Calcule a variância de cada ação. Ela é semelhante à covariância, mas é calculada separadamente para cada variável ou, nesse caso, para cada conjunto de retornos de ações. A variância representa a intensidade com a qual uma variável se move acima ou abaixo de sua média ao longo do período. Seu cálculo é feito de forma bem parecida ao presente na covariância, com a diferença de que o produto das diferenças de ambas as variáveis é substituído pelo quadrado da diferença das mesmas variáveis com relação à média.
- Em específico, a equação é escrita como ${\frac {\sum _{{n=1}}^{{n}}(V_{{n}}-\mu _{{V}})^{2}}{n-1}}$ , de modo que $V$ representa a variável em questão (quer ${\text{x}}$ ou ${\text{y}}$ ).
- Isso quer dizer que a parte da equação para o primeiro dia de retornos relacionado à ação ${\text{x}}$ será calculado como $(0,9-1,0)^{2}$ , resultando em $0,01$ .
- Continue trabalhando com cada dia de ${\text{x}}$ , somando à medida em que prossegue. A seguir, divida o resultado por $n-1$ para obter a sua resposta.
- No exemplo, o cálculo superior seria igual a $0,832$ , de modo que a variável seria igual a esse valor dividido por quatro, ou $0,208$ . Em outras palavras, a variância dos retornos de ${\text{x}}$ , ou $\sigma _{{{\text{x}}}}^{2}$ , é igual a $0,208$ .
- Seguindo o mesmo processo com os rendimentos de ${\text{y}}$ , tem-se que $\sigma _{{{\text{y}}}}^{{2}}=0,272$ .
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Determine o desvio-padrão . O desvio-padrão, ou $\sigma$ , é a raiz quadrada da variância . Basta calcular as raízes quadradas de $\sigma _{{{\text{x}}}}^{2}$ e $\sigma _{{{\text{y}}}}^{{2}}$ e você terá os desvios-padrão de cada uma delas.
- Depois do cálculo, os resultados equivalerão a $\sigma _{{{\text{x}}}}=0,456$ e $\sigma _{{{\text{y}}}}=0,522$ .
- Observe que esses cálculos foram arredondados em três casas decimais para facilitar os que virão mais adiante. Vale lembrar que mais casas decimais aumentam a precisão dos resultados.
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Método 2

Método 2 de 3:

Calculando o coeficiente de correlação

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Escreva a equação do coeficiente de correlação. O coeficiente de correlação Pearson é felizmente mais simples de calcular do que as partes que o constituem: a covariância e os desvios-padrão. O coeficiente de correlação de ${\text{x}}$ e ${\text{y}}$ , $\rho _{{{\text{xy}}}}$ , é calculado como ${\frac {\sigma _{{{\text{xy}}}}}{\sigma _{{{\text{x}}}}\times \sigma _{{{\text{y}}}}}}$ . De forma simplificada, trata-se da covariância de ${\text{x}}$ e ${\text{y}}$ dividida pelo produto de seus desvios-padrão.
- No caso das ações do exemplo, a equação ficaria definida como $\rho _{{{\text{xy}}}}={\frac {0,1925}{0,456\times 0,522}}$ .
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Determine o coeficiente de correlação. Comece simplificando o denominador, multiplicando ambos os desvios-padrão. A seguir, divida a covariância no numerador pelo resultado encontrado. A solução será o seu coeficiente de correlação, que estará representado como um número decimal entre $-1$ e $1$ (e não em forma percentual). ^{[5]
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- Prosseguindo no exemplo, a equação resulta em $\rho _{{{\text{xy}}}}=0,809$ . Desse modo, o coeficiente de relação entre os retornos das ações ${\text{x}}$ e ${\text{y}}$ é igual a $0,809$ .
- Observe que o resultado foi, novamente, arredondado em três casas decimais.
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Calcule $R^{{2}}$ . O quadrado do coeficiente de correlação, ou $R^{{2}}$ , também é usado para medir a proximidade linear entre os retornos. Em outras palavras, ele indica quanto do movimento de uma variável é influenciado pelo de outras. No entanto, ele especifica qual das variáveis age sobre a outra (se ${\text{x}}$ faz com que ${\text{y}}$ se mova ou se ${\text{y}}$ faz com que ${\text{x}}$ se mova). Calcule $R^{{2}}$ elevando o resultado do coeficiente de correlação à potência de dois. ^{[6]
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- Por exemplo, o $R^{{2}}$ relativo ao coeficiente de correlação do exemplo seria igual a $\rho _{{{\text{xy}}}}^{{2}}=0,809^{{2}}=0,654$ .
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Método 3

Método 3 de 3:

Usando o coeficiente de correlação

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Entenda o resultado do coeficiente de correlação. Ele pode ser entendido como um indicador de duas coisas. A primeira delas é se ambas as variáveis se movem na mesma direção ao mesmo tempo. Se sim, o coeficiente de correlação é positivo e, se não, o coeficiente de correlação é negativo. A segunda delas é que ele é capaz de indicar quão semelhantes são esses movimentos. O coeficiente de correlação, quando próximo de $1$ ou $-1$ , representa uma correlação perfeitamente positiva ou negativa, respectivamente.
- Os coeficientes de correlação sempre variam entre $1$ e $-1$ . Um resultado igual a $0$ indica apenas que não existe qualquer correlação presente. ^{[7]
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- Desse modo, o resultado de $0,809$ do exemplo do artigo indicaria que as ações ${\text{x}}$ e ${\text{y}}$ estão altamente correlacionadas entre si. Ambas apresentam flutuações de preço na mesma direção e, geralmente, também na mesma magnitude.
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Minimize os riscos de sua carteira. O uso principal de correlação se encontra na preparação de carteiras com variedades balanceadas. Ações ou outros ativos em uma carteira podem ser avaliados de forma comparativa para que se determine o coeficiente de correlação entre eles. O objetivo, no caso, é colocar ações com correlações baixas ou negativas na mesma carteira. Logo, quando o preço da primeira ação se move, a segunda provavelmente se moverá na direção oposta ou de forma independente. O resultado desse mecanismo é uma diversificação eficiente da carteira do investidor.
- Essa prática minimiza o "risco não sistemático" que está presente quando se lida com ativos individuais. ^{[8]
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Amplie a análise a outros ativos. O coeficiente de correlação também é muito usado para avaliar relações entre outros conjuntos de dados, como retornos de fundos mútuos, retornos de fundos de índice e índices de mercado. Os coeficientes de correlação podem ser calculados entre esses conjuntos de dados e os retornos das ações a fim de se obter maior diversificação em uma carteira ou de se descobrir como o preço de uma ação se move com relação a outras movimentações do mercado. Trata-se de uma ferramenta muito útil para prever as variações no preço de uma ação que podem vir a ocorrer com uma determinada mudança no mercado. ^{[9]
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- Por exemplo, o valor da ação de uma mineradora de ouro pode estar positivamente relacionado com o preço do ouro (coeficiente de correlação alto e positivo). Se houver a expectativa de que o preço do ouro subirá, um investidor tem razão para crer que o valor da ação da empresa também siga no mesmo caminho.
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Represente os pontos dos retornos das ações para obter um gráfico de dispersão. Você pode fazer uso de um aplicativo de planilhas para anotar datas e retornos das ações, facilitando o registro de cada propriedade dos dados. Além disso, em um programa especializado é possível determinar qual é o estilo de gráfico que mais combina com os dados inseridos. Nesse caso, o ideal é trabalhar com uma linha de regressão .
- No Excel, você pode inseri-la clicando no gráfico e seguindo por Design do Gráfico → Adicionar Elemento de Gráfico → Linha de Tendências . A seguir, o programa fará o cálculo da linha com base nos dados inseridos. ^{[10]
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- O coeficiente de correlação é uma medida da proximidade entre os retornos de duas ações com respeito à linha de regressão. Em outras palavras, com que proximidade os valores de retorno satisfazem a uma relação linear como ${\text{y}}=\beta {\text{x}}+\alpha$ para as constantes $\alpha$ e $\beta$ .
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