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Um cubo é uma figura tridimensional que possui largura, altura e comprimento equivalentes. Essa figura tem seis faces quadradas, e todos os seus lados têm comprimentos equivalentes, formando ângulos retos. Descobrir o volume de um cubo é algo fácil – geralmente, basta multiplicar seu comprimento × largura × altura . Como os lados de um cubo possuem o mesmo comprimento, outra forma de pensar no volume é s 3 , onde s é o comprimento de um de seus lados. Veja o Passo 1 abaixo para obter uma análise mais detalhada desses processos.
Passos
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Encontre o comprimento de um lado do cubo. Geralmente, em problemas que pedem o valor do volume de um cubo, o comprimento de um dos lados é fornecido. Caso tenha acesso a essa informação, é possível calcular o volume do cubo. Se quiser descobrir o volume na vida real, e não em um exercício de matemática, use uma régua ou fita métrica para calcular essa medida.
- Para compreender melhor o processo do cálculo do volume de um cubo, vamos usar um exemplo ao seguir os passos desta seção. Vamos imaginar que o lado de um cubo mede 2 cm. Essa informação vai ser usada para calcular seu volume no próximo Passo.
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Eleve o comprimento do lado ao cubo. Ao encontrar o valor do lado de um cubo, eleve-o à terceira potência. Em outras palavras, multiplique-o duas vezes por si mesmo. Se s equivale ao comprimento da lateral, multiplique s × s × s (ou, de forma mais simples, s 3 ). O resultado vai ser o volume do cubo.
- Esse processo é basicamente o mesmo que encontrar a área da base e multiplicá-la pela altura (ou, em outras palavras, comprimento × largura × altura), já que a área da base é encontrada pela multiplicação de sua base pela sua altura. Como o comprimento, largura e altura de um cubo são equivalentes, é possível encurtar esse processo elevando qualquer uma dessas medidas à terceira potência.
- Vamos continuar com o exemplo. Como o comprimento da lateral do cubo mede 2 cm, podemos multiplicar 2 x 2 x 2 (ou 2 3 ) = 8 .
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Identifique a resposta em unidades cúbicas. Como o volume é a medida do espaço tridimensional, a resposta deve estar em unidades cúbicas por definição. Geralmente, esquecer de colocar a unidade de medida em exercícios de matemática pode fazer com que você perca pontos, então fique atento a esse detalhe.
- No exemplo utilizado, como a medida original está em centímetros, a resposta final vai ser identificada com a unidade "centímetros cúbicos" (ou em 3 ). Portanto, a resposta "8" vai se tornar representada por 8 in 3 .
- A resposta final vai ser indicada sempre de acordo com a medida usada inicialmente. Por exemplo, se a medida da lateral do cubo fosse de 2 "metros" - em vez de 2 cm -, a resposta final seria em metros cúbicos (m 3 ).
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Calcule a área da superfície do cubo. Embora a forma mais fácil de calcular o volume de um cubo seja elevar o comprimento de um de seus lados à terceira potência, ela não é a única forma existente. O comprimento de um lado do cubo ou a área de uma de suas faces pode ser calculado a partir de diversas outras propriedades dessa figura, o que significa que, ao conhecer alguma dessas informações, é possível calcular o volume do cubo indiretamente. Por exemplo, se você sabe o valor da área da superfície do cubo, tudo o que precisa ser feito para calcular o volume é dividir a área da superfície por 6 e depois calcular a raiz quadrada desse valor para encontrar o comprimento de um dos lados do cubo . Em seguida, basta elevar o comprimento da lateral à terceira potência para calcular o volume. Esta seção apresenta um passo a passo desse processo.
- A área da superfície de um cubo é obtida pela fórmula 6 s 2 , onde s equivale ao comprimento de um dos lados do cubo. Essa fórmula é praticamente o mesmo que calcular a área bidimensional das seis faces de um cubo e somar esses valores. Vamos usá-la para calcular o volume do cubo a partir de sua área da superfície.
- Como exemplo, imagine um cubo cuja superfície sabemos que mede 50 cm 2 , mas desconhecemos o valor do comprimento de sua lateral. Nos próximos Passos, usaremos essa informação para calcular seu volume.
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Divida a área da superfície do cubo por 6. Como o cubo possui 6 faces com uma área equivalente, dividir sua área por 6 resulta na área de uma de suas faces. Essa área é igual aos comprimentos de seus dois lados multiplicados (l × w, w × h ou h × l).
- Em nosso exemplo, divida 50/6 = 8,33 cm 2 . Não se esqueça que uma resposta bidimensional tem unidades quadradas (cm 2 , m 2 , e assim por diante).
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Tire a raiz quadrada desse valor. Como a área de uma das faces do cubo equivale a s 2 ( s × s ), tirar a raiz quadrada desse valor resulta no comprimento de um dos lados do cubo. Após tirar essa medida, você vai ter informações suficientes para calcular o valor do volume como faria normalmente.
- No exemplo utilizado, √8,33 = 2,89 cm .
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Eleve esse valor à terceira potência para encontrar o volume do cubo. Agora que sabemos o valor do comprimento da lateral do cubo, basta elevá-lo à terceira potência (multiplique-o duas vezes por ele mesmo) para encontrar o volume do cubo conforme descrito na seção acima. Parabéns – você calculou o volume de um cubo a partir de sua área da superfície.
- No exemplo usado, 2,89 × 2,89 × 2,89 = 24,14 cm 3 . Não esqueça de usar a unidade de medida para identificar a resposta.
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Divida a diagonal de uma das faces do cubo por √2 para calcular o comprimento da lateral. Por definição, a diagonal de um quadrado perfeito equivale a √2 × o comprimento de uma de suas laterais. Portanto, se você somente conhece o valor da diagonal de uma das faces do cubo, é possível calcular o valor de sua lateral dividindo a diagonal por √2. Em seguida, o processo para calcular o volume é relativamente simples, como descrito nos Passos acima.
- Por exemplo, digamos que uma das faces do cubo tenha uma diagonal de 7 metros de comprimento. Para calcular o valor da lateral do cubo, divida 7/√2 = 4,96 metros. Agora, é possível calcular o volume multiplicando 4,96 3 = 122,36 metros 3 .
- Observe que, em termos gerais, d 2 = 2 s 2 onde d é o comprimento da diagonal de uma das faces do cubo, e s é o comprimento de uma das laterais. Isso acontece porque, de acordo com o Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo equivale à soma dos quadrados dos outros dois lados. Sendo assim, como a diagonal de uma das faces do cubo e dois lados dessa face formam um triângulo retângulo, d 2 = s 2 + s 2 = 2 s 2 .
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Eleve a diagonal dos dois cantos opostos do cubo ao quadrado, depois divida por 3 e tire a raiz quadrada para calcular o comprimento da lateral. Caso a única informação que você tenha sobre um cubo seja o comprimento de um segmento de linha tridimensional que se estende na diagonal de um canto do cubo até o canto oposto, ainda assim é possível calcular o volume. Como d forma um dos lados de um triângulo retângulo que tem a diagonal entre os dois cantos opostos do cubo como hipotenusa, podemos afirmar que D 2 = 3 s 2 , onde D = é a diagonal tridimensional entre os cantos opostos do cubo.
- Isso ocorre por causa do Teorema de Pitágoras. D , d e s formam um triângulo retângulo com D como hipotenusa, então podemos dizer que D 2 = d 2 + s 2 . Como descobrimos anteriormente que d 2 = 2 s 2 , podemos dizer que D 2 = 2 s 2 + s 2 = 3 s 2 .
- Como exemplo, vamos dizer que sabemos que a diagonal de um canto da base do cubo até o canto oposto no topo do cubo é de 10 m. Se quiser calcular o volume, basta usar 10 no lugar de D
na equação acima, da seguinte forma.
- D 2 = 3 s 2 .
- 10 2 = 3 s 2 .
- 100 = 3 s 2
- 33,33 = s 2
- 5,77 m = s. Em seguida, basta elevar o comprimento da lateral à terceira potência para calcular o volume do cubo.
- 5,77 3 = 192,45 m 3
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