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O pentágono é um polígono com cinco lados retos. Quase todos os problemas de geometria que você terá que resolver farão menção ao pentágono regular, com cinco lados iguais. Há duas formas simples para se calcular a área, dependendo de quanta informação você tem disponível.
Passos
Método 1
Método 1 de 3:
Descobrindo a área a partir do comprimento do lado e do apótema
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Comece usando o comprimento do lado e o apótema. Esse método funciona com pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Além do comprimento do lado, você precisará da medida do “apótema” do pentágono. Essa é a linha que vai do centro do pentágono até seu lado, em um ângulo de 90°, formando com ele um triângulo reto.
- Não confunda o apótema com o raio, que é a linha que toca o canto (vértice), e não o ponto central do lado. Se você conhece apenas o comprimento do lado e o raio, siga a leitura do próximo método.
- Usaremos um pentágono de exemplo com lados de comprimento 3 unidades e apótema com medida igual a 2 unidades.
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Divida o pentágono em cinco triângulos. Desenhe cinco linhas que começam no centro do pentágono e vão até cada um dos vértices (cantos) dele. Agora você tem cinco triângulos.
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Calcule a área de um triângulo. Cada triângulo tem uma medida de base igual ao comprimento do lado e, ainda, uma medida de altura igual ao comprimento do apótema (lembre-se de que a altura de um triângulo parte de um vértice até o lado oposto, em um ângulo reto). Para calcular a área de qualquer triângulo, basta calcular ½ × base × altura.
- Em nosso exemplo, Área do Triângulo = ½ × 3 × 2 = 3 unidades quadradas.
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Multiplique por cinco para descobrir a área total. Dividimos o pentágono em cinco triângulos iguais. Para calcular a área total, basta multiplicar a área de um dos triângulos por cinco.
- Em nosso exemplo, A (pentágono completo) = 5 × A (triângulo) = 5 × 3 = 15 unidades quadradas.
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Comece usando o comprimento do lado. Esse método apenas funciona com pentágonos regulares, que apresentam cinco lados de igual medida.
- Nesse exemplo, usaremos um pentágono com lado de medida igual a 7 unidades.
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Divida o pentágono em cinco triângulos. Desenhe uma linha que vai do centro do pentágono a qualquer um de seus vértices, repetindo esse procedimento em todos eles. Agora, você tem cinco triângulos de tamanho idêntico.
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Divida um triângulo pela metade. Desenhe uma linha que vai do centro do pentágono até a base de um dos triângulos. Essa linha deverá tocar a base em um ângulo reto de 90°, dividindo-o em dois triângulos menores e idênticos.
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Rotule um dos triângulos menores. Já podemos rotular um dos lados e um dos ângulos de um triângulo pequeno.
- A base do triângulo é igual a ½ do lado do pentágono. Em nosso exemplo, isso é igual a ½ × 7 = 3,5 unidades.
- O ângulo existente no centro do pentágono será sempre igual a 36° (começando com um centro com 360° completos, é possível dividir a forma em 10 triângulos menores — 360 ÷ 10 = 36, de modo que o ângulo existente em um dos triângulos será igual a 36°).
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Calcule a altura do triângulo. A altura do triângulo equivale a uma linha que passa, em ângulo reto, do centro de qualquer dos lados até o centro do pentágono. É possível usar a trigonometria básica para descobrir o comprimento desse lado: [1] X Fonte de pesquisa
- Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente.
- O lado oposto ao ângulo de 36° é a base do triângulo (metade do lado do pentágono) e o lado adjacente a ele equivale à sua altura.
- tan(36°) = oposto/adjacente;
- Em nosso exemplo, tan(36°) = 3,5/altura;
- altura × tan(36°) = 3,5;
- altura = 3,5/tan(36°);
- altura = (aproximadamente) 4,8 unidades.
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Calcule a área do triângulo . A área de um triângulo é igual a ½ × base × altura (A = ½bh). Agora que você conhece a altura, insira esses valores na fórmula para descobri-la em seu triângulo pequeno.
- Em nosso exemplo, Área de um dos triângulos menores = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 unidades quadradas.
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Multiplique para descobrir a área do pentágono. Um desses triângulos menores cobre 1/10 da área do pentágono. Para descobrir a área total, multiplique a área do triângulo menor por 10.
- Em nosso exemplo, a área do pentágono inteiro = 8,4 × 10 = 84 unidades quadradas.
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Use o perímetro e o apótema. O apótema é uma linha que sai do centro do pentágono e toca um dos lados dele, em um ângulo reto. Se você souber o comprimento dele, é possível usar essa simples fórmula.
- Área de um pentágono regular = pa /2, onde a = perímetro e a = apótema. [2] X Fonte de pesquisa
- Se você não conhece o tamanho do perímetro, calcule-o a partir do comprimento do lado (s): p = 5s.
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Use o comprimento do lado. Se você apenas conhece o comprimento do lado, use a seguinte fórmula: [3] X Fonte de pesquisa
- Área de um pentágono regular = (5s 2 )/(4tan(36°)), onde s = comprimento do lado.
- tan(36°) = √(5-2√5). [4] X Fonte de pesquisa Desse modo, se a sua calculadora não possui uma função “tan”, use a fórmula Área = (5s 2 )/(4√(5-2√5)).
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Escolha uma fórmula que use apenas a medida do raio. Você pode até mesmo calcular a área se conhecer apenas o raio. Use a seguinte fórmula: [5] X Fonte de pesquisa
- Área de um pentágono regular = (5/2) r 2 sin(72°), onde r é a medida do raio.
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Dicas
- Pentágonos irregulares, ou pentágonos com lados desiguais, são mais difíceis de estudar. A melhor forma de abordá-los costuma ser dividi-los em triângulos e somar a área de cada um deles. Você pode ainda precisar desenhar uma forma maior ao redor do pentágono, calcular a área dela e subtrair a área do espaço extra.
- As fórmulas são derivadas a partir de métodos geométricos, de modo similar àqueles descritos aqui. Tente descobrir meios de entendê-los e de descobrir as fórmulas por conta própria. Aquela usada a partir do raio é mais difícil de derivar do que as outras (dica: você precisa da identidade do ângulo duplo).
- Os exemplos oferecidos aqui usam valores arredondados para fins de simplificação. Se você medir um polígono real com o comprimento de lado usado, obterá resultados levemente distintos com respeito a comprimentos e área.
- Se possível, use tanto um método geométrico quanto a fórmula, e compare as duas formas para garantir que a resposta esteja correta. Você pode obter resultados diferentes se inserir a fórmula inteira de uma vez (já que os valores não serão arredondados ao longo do processo), mas que estarão bastante próximos.
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Referências
- ↑ https://www.mathsisfun.com/geometry/regular-polygons.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/geometry/regular-polygons.html
- ↑ http://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html
- ↑ http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/simpleTrig.html
- ↑ http://www.mathopenref.com/polygonregularareaderive.html
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