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Como Determinar Assíntotas Horizontais: Regras das Funções Racionais

Coescrito por Grace Imson, MA

Sabe aquela linha horizontal que aparece traçada ou pontilhada em gráficos de equações? Pois bem: é a assíntota horizontal. Em uma função racional (uma equação com a razão de dois polinômios), a assíntota é uma linha que se curva perto da horizontal. Esta, por sua vez, ajuda a mostrar o comportamento final de uma função. Leia este artigo para aprender a encontrá-la e interpretar os resultados!

O que você precisa saber

A assíntota horizontal é uma linha horizontal traçada ou pontilhada em um gráfico. A linha de uma função pode se aproximar ou até cruzar essa assíntota.
Para encontrar a assíntota horizontal, compare os graus dos polinômios no numerador e denominador da função racional.
O grau de diferença entre os polinômios revela onde a assíntota horizontal fica em um gráfico.

Método 1

Método 1 de 4:

O que é a assíntota horizontal?

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1
A assíntota horizontal é uma linha que mostra o comportamento final de uma função racional. Em um gráfico, ela aparece como uma linha traçada ou pontilhada. Na hora de montar a função, a linha que você desenha pode se aproximar ou até cruzar a assíntota se ela ficar infinitamente grande ou pequena. ^{[1]
X
Fonte de pesquisa}
- A assíntota horizontal pode acontecer nos dois lados do eixo y. Não se esqueça de observar ambos!
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Método 2

Método 2 de 4:

Como calcular a assíntota horizontal de uma função racional?

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1
Remova todos os termos, exceto os que têm os maiores expoentes de $x$ . Como você não vai resolver a equação, basta comparar os principais termos da função racional. ^{[2]
X
Fonte de pesquisa}
- Exemplo 1: se a equação é $f(x)={\frac {x^{2}+x+3}{3x^{2}+5}}$ , remova todos os termos — exceto os principais — para obter ${\frac {x^{2}}{3x^{2}}}$ .
- Exemplo 2: imagine a equação $f(x)={\frac {2+5x^{2}+4x^{3}}{x^{4}+6}}$ . Depois de remover todos os termos, exceto os principais, você vai obter ${\frac {4x^{3}}{x^{4}}}$ .
- Exemplo 3: se você tem a equação $f(x)={\frac {x^{3}-1}{4+x^{2}}}$ , ignore as constantes para obter $f(x)={\frac {x^{3}}{x^{2}}}$ .
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2
Simplifique a razão para encontrar a assíntota horizontal da função. Lembre-se: você não vai resolver a equação, e sim simplificar os termos principais para ver os limites da função. ^{[3]
X
Fonte de pesquisa}
- Seguindo o exemplo 1 citado acima, ${\frac {x^{2}}{3x^{2}}}$ , anule o ${x^{2}}$ para obter ${\frac {1}{3}}$ , que mostra a assíntota horizontal.
- Seguindo o exemplo 2 citado acima, ${\frac {4x^{3}}{x^{4}}}$ , anule o ${x^{3}}$ de cima e remova ${x^{3}}$ do denominador para obter ${\frac {4}{x}}$ , que se torna $0$ .
- Seguindo o exemplo 3, $f(x)={\frac {x^{3}}{x^{2}}}$ , remova ${x^{2}}$ do numerador e do denominador para obter $x$ .
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Método 3

Método 3 de 4:

Regras e resultados da assíntota horizontal

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1
Se o numerador e o denominador têm o mesmo grau, use a razão de coeficiente. Caso os polinômios do numerador e denominador se anulem, você vai ficar apenas com os coeficientes. Use a razão desses coeficientes para encontrar a assíntota horizontal. ^{[4]
X
Fonte de pesquisa}
- Seguindo o exemplo 1 citado acima, $f(x)={\frac {x^{2}+x+3}{3x^{2}+5}}$ , você terminou com ${\frac {1}{3}}$ . Nesse caso, a assíntota horizontal é ${\frac {1}{3}}$ .
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2
Se o numerador tem um grau mais baixo, a assíntota horizontal fica em y = 0. Dá para expressar isso de outro jeito: N < G significa $y=0$ ou o numerador é menor que o denominador, então $y=0$ . ^{[5]
X
Fonte de pesquisa}
- Seguindo o exemplo 2 citado acima, $f(x)={\frac {2+5x^{2}+4x^{3}}{x^{4}+6}}$ , você ficou com $0$ , então a assíntota horizontal é $0$ — que também é o eixo x.
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3
Se o numerador tem um grau mais alto, não há assíntota horizontal. Lembre-se desta regra: N > G = sem assíntota horizontal. Quando o numerador é mais alto que o denominador, não é possível ter uma assíntota horizontal. ^{[6]
X
Fonte de pesquisa}
- No exemplo 3 citado acima, $f(x)={\frac {x^{3}-1}{4+x^{2}}}$ , você ficou com $x$ . Como $x$ é maior que um denominador não existente, essa equação não pode ter uma assíntota horizontal.
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Método 4

Método 4 de 4:

A assíntota horizontal é a mesma coisa que a assíntota oblíqua?

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Para encontrar uma assíntota oblíqua, faça a divisão longa dos polinômios. Observe que, ao encontrar a assíntota oblíqua, você também vai encontrar a vertical. ^{[7]
X
Fonte de pesquisa}

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Referências

Sobre este guia wikiHow

Coescrito por :

Grace Imson, MA

Professora de Matemática

Este artigo foi coescrito por Grace Imson, MA . Grace Imson é professora de matemática com mais de 40 anos de experiência. Atua hoje no City College of San Francisco e integrou o Departamento de Matemática da Saint Louis University. Ensinou matemática em todos os níveis de ensino. Possui Mestrado em Educação, especialização em Administração e Supervisão pela Saint Louis University. Este artigo foi visualizado 11 079 vezes.

Categorias: Matemática

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