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Como Diferenciar a Raiz Quadrada de X

Coescrito por David Jia

Se você já estudou Cálculo, é provável que tenha aprendido a regra da potência para se encontrar a derivada de funções básicas. No entanto, quando a função contém uma raiz quadrada ou um radical, como no caso de ${\sqrt {x}}$ , essa regra fica difícil de ser aplicada. Com uma simples substituição do expoente, diferenciar essa função fica bastante fácil. Você poderá então aplicar a mesma substituição e usar a regra da cadeia para diferenciar várias outras funções envolvendo radicais.

Método 1

Método 1 de 3:

Usando a regra da potência

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1
Revise a regra da potência nas derivadas. A primeira regra que você provavelmente aprendeu no cálculo das derivadas é a regra das potências. Ela afirma que, para uma variável $x$ elevada a qualquer expoente $a$ , sua derivada ficará da seguinte maneira: ^{[1]
X
Fonte de pesquisa}
- $f(x)=x^{a}$
- $f^{{\prime }}(x)=ax^{{a-1}}$
- Como exemplo, relembre os conceitos com as seguintes funções com derivadas:
  - Se $f(x)=x^{2}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=2x$ ;
  - Se $f(x)=3x^{2}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=2\times 3x=6x$ ;
  - Se $f(x)=x^{3}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=3x^{2}$ ;
  - Se $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$ , logo $f^{{\prime }}(x)=4\times {\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$ .
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2
Reescreva a raiz quadrada em forma de expoente. Para encontrar a derivada de uma função de raiz quadrada, você precisa se lembrar de que a raiz quadrada de qualquer número ou variável também pode ser escrita em forma de expoente. O termo abaixo do radical será escrito como base e elevado ao expoente ${\frac {1}{2}}$ . Considere os exemplos seguintes: ^{[2]
X
Fonte de pesquisa}
- ${\sqrt {x}}=x^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {4}}=4^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
- ${\sqrt {3x}}=(3x)^{{{\frac {1}{2}}}}$ .
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3
Aplique a regra da potência. Se a função for a raiz quadrada mais simples, $f(x)={\sqrt {x}}$ , aplique a regra da potência como se segue para encontrar a derivada: ^{[3]
X
Fonte de pesquisa}
- $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$ (escreva a função original) ;
- $f(x)=x^{{({\frac {1}{2}})}}\ \ \ \ \$ (reescreva o radical em forma de expoente) ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{({\frac {1}{2}}-1)}}\ \ \$ (ache a derivada pela regra da potência) ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{(-{\frac {1}{2}})}}\ \ \$ (simplifique o expoente) .
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4
Simplifique o resultado. A essa altura, é importante reconhecer que um expoente negativo indica fazer uso da recíproca, ou o que o número seria tendo o expoente positivo. Em outras palavras, o expoente $-{\frac {1}{2}}$ significa que voc6e terá a raiz quadrada da base na forma do denominador de uma fração. ^{[4]
X
Fonte de pesquisa}
- Continuando a partir da função acima com a raiz quadrada de x, a derivada poderá ser simplificada como:
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}x^{{-{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{{\sqrt {x}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ .
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Método 2

Método 2 de 3:

Usando a regra da cadeia para funções de raiz quadrada

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1
Revise a regra da cadeia em funções. Ela é usada nas derivadas quando a função original combina uma função dentro de outra. A regra da cadeia indica que, para duas funções $f(x)$ e $g(x)$ , a derivada da combinação de ambas pode ser calculada da seguinte forma: ^{[5]
X
Fonte de pesquisa}
- Se $y=f(g(x))$ , logo $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)\times g^{{\prime }}(x)$ .
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2
Determine as funções para a regra da cadeia. Para usar essa regra, você precisa antes definir as duas funções que compõem a função combinada. Nas funções de raiz quadrada, a função externa $f(g)$ será a raiz quadrada, enquanto a função interna $g(x)$ será o que aparece abaixo do radical. ^{[6]
X
Fonte de pesquisa}
- Por exemplo, considere o cálculo para se encontrar a derivada de ${\sqrt {3x+2}}$ . Defina as duas partes como se segue:
  - $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $g(x)=(3x+2)$ .
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3
Determine as derivadas de ambas as funções. Para aplicar a regra da cadeia à raiz quadrada de uma função, é necessário antes determinar a derivada da função geral, mais externa: ^{[7]
X
Fonte de pesquisa}
- $f(g)={\sqrt {g}}=g^{{{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2}}g^{{-{\frac {1}{2}}}}$ ;
  - $f^{{\prime }}(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$ .
- A seguir, determine a derivada da segunda função, mais interna:
  - $g(x)=(3x+2)$ ;
  - $g^{{\prime }}(x)=3$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ec\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Combine as funções na regra da cadeia. Relembre a regra da cadeia, $y^{{\prime }}=f^{{\prime }}(g)\times g^{{\prime }}(x)$ , e combine as derivadas como a seguir: ^{[8]
X
Fonte de pesquisa}
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}\times 3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2)}}}}\times 3$ ;
- $y^{{\prime }}={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2)}}}}$ .
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Método 3

Método 3 de 3:

Usando um atalho para derivadas de funções com radical

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1
Aprenda o atalho para derivadas de qualquer função com radical. Ao tentar encontrar a derivada da raiz quadrada de uma variável ou função, você pode aplicar um padrão simples. Ela sempre será a derivada do radicando dividida pelo dobro da raiz quadrada original. Simbolicamente, isso pode ser exibido da seguinte forma: ^{[9]
X
Fonte de pesquisa}
- Se $f(x)={\sqrt {u}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {u^{{\prime }}}{2{\sqrt {u}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/67\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Encontre a derivada do radicando. Esse é o termo ou a função abaixo do sinal da raiz. Para aplicar esse atalho, determine qual é a derivada apenas do radicando. Considere os seguintes exemplos: ^{[10]
X
Fonte de pesquisa}
- Na função ${\sqrt {5x+2}}$ , o radicando é $(5x+2)$ . Sua derivada será $5$ .
- Na função ${\sqrt {3x^{4}}}$ , o radicando é $3x^{4}$ . Sua derivada será $12x^{3}$ .
- Na função ${\sqrt {\sin(x)}}$ , o radicando é $\sin(x)$ . Sua derivada será $\cos(x)$ .
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3
Escreva a derivada do radicando em forma de numerador de uma fração. A derivada de uma função com radical envolverá uma fração. Seu numerador representa a derivada do radicando. Para os exemplos acima, a primeira parte da derivada fica como a seguir: ^{[11]
X
Fonte de pesquisa}
- Se $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{{\text{denom}}}}$ ;
- Se $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{{\text{denom}}}}$ ;
- Se $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{{\text{denom}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7d\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Escreva o denominador como o dobro da raiz quadrada original. Usando esse atalho, o denominador equivalerá a duas vezes a raiz quadrada original. Logo, para as três funções de exemplo acima, os denominadores das derivadas serão: ^{[12]
X
Fonte de pesquisa}
- Para $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{num}}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{num}}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {{\text{num}}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-460px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5e\/Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg\/v4-728px-Differentiate-the-Square-Root-of-X-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Combine o numerador e o denominador para encontrar a derivada. Coloque ambas as metades da fração juntas e o resultado será a derivada da função original. ^{[13]
X
Fonte de pesquisa}
- Para $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$ ;
- Para $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ , logo $f^{{\prime }}(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$ .
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Sobre este guia wikiHow

Coescrito por :

Tutor de Matemática

Este artigo foi coescrito por David Jia . David Jia é Tutor Acadêmico e Fundador da LA Math Tutoring, uma empresa de tutoria particular em Los Angeles, California. Com mais de 10 anos de experiência de ensino, David ajuda estudantes de todas as idades e níveis a aprender sobre inúmeros assuntos, além de assessorar vestibulandos que pretendem prestar exames como SAT, ACT, ISEE e muito mais. Após obter uma nota perfeita de 800 em matemática e 690 em inglês no exame SAT, David recebeu uma Bolsa Dickinson pela University of Miami, onde se formou em Administração. Além disso, David trabalhou como instrutor em vídeos online para empresas de materiais didáticos como Larson Texts, Big Ideas Learning e Big Ideas Math. Este artigo foi visualizado 48 401 vezes.

Categorias: Cálculo

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